重新一个简单的问题，向量是什么？
比如说一个二维向量：从根本上来说它是平面内一个箭头？为了方便起见，我们用坐标来描述它。或者说它是一个实数对？而我们只是将它形象理解成为平面内一个箭头。 又或者这两者只是更深层次的东西的体现？一方面将向量解释为一组数字给人感觉清晰明了，思维向量或者一百维向量看上去就像是可以操作的真实具体的概念。 与之相反，四维空间之类的东西只是一个模糊的几何概念。不用手比划一下是很难解释清楚的！ 但是另一方面，对于那些在实践中运用线性代数的人尤其是熟悉基变换的人来说，他们通常感觉所处理的空间独立于坐标存在。而且坐标描述时机上有些随意。因为它依赖于你所选的基向量。 线性代数的核心话题，如行列式和特征向量等，他们似乎不受所选坐标系的影响。 行列式告诉你是一个变换对面积的缩放比例，特征向量则是在变幻中留在它所张成空间中的向量，这两者都是暗含与空间中的性质。你可以自由选取坐标系这并不会改变它们最根本的值。 但是如果一组向量根本上并不是一组实数构成，它们的本质更具空间性。 这不禁让人产生疑问----那么数学家所说的空间或者空间性是什么意思？ 为了进一步说这是怎么回事，这期大部分时间会讨论一种既不是剪头也不是数字但是同样具有向量特性的东西《函数》。 从某种意义上来说，函数实际上只是另一种向量，类比两个向量的加法。 我们也可以将两个函数f和g相加，从而获得一个新函数（f+g）这种做法是合理的，
你可能已经知道它的结果了，但是真正把它叙述出来还是挺拗口的，这个新函数在任一一点的值比如在-4处的值，就是f和g在这一点处，即-4的和。
更一般的说这个和任意一点x处的值（f+g）x等于f（x）加上g（x），这和向量对应坐标相加非常相似，只不过在某种程度上，它有无穷多个坐标要相加。
类似的，函数与一个实数相乘也有合理的解释，知识与输出的值与那个数相乘，这再次和向量对应坐标数乘类似，只是感觉上要有无穷个坐标要数乘。
因为对向量所能进行的操作不过相加和数乘两种，所以最初以空间中箭头为背景考虑的的线性代数的和理概念和解决问题的手段，应该能原封不动的被我们取出来。然后应用于函数。 举个例子，函数的线性变换有一个完全合理的解释，这个变换接受一个函数，并把它变成另一个函数。
从微积分中可以找到一个常见的例子(导数)，他将一个函数变换到另一个函数。 关于这点有时候你听到的是算子而不是变换，不过他们的意思一样，你自然想问，一个函数变换是线性的是什么意思？ 相比于矩阵与线性变换一章讨论的定义方法，线性的严格定义是相对抽象而符号繁重的。但是抽象带来的好处是我们，能得到一般性的结论，它不仅适用于箭头，也适用于函数。 妈祖以下两个性质的变换是线性的。 这两条性质通常被称为可加性和成比例。 可加性意味着如果你吧两个向量v和w相加，然后对它们的和应用变换，得到的结果和变换后的v和变换后的w相加一致。
成比例是说，你将一个向量v与某个数相乘，然后应用变换，得到的结果和变换后的v与这个数相乘一致。 你经常会听到的一种描述方法是“线性变换保持向量加法运算和向量数乘运算”。 在前几期讨论过网格平行且等距分布的概念。只是这两条性质在二维空间中这一特殊情况下的体现。 这两条性质的一个最重要的推论是，一个线性变换可以通过它对基向量的作用完全描述，这使得矩阵乘法成为可能。因为任意向量都能表达为基向量以某种方式进行线性组合，所以求一个向量变换后的结果实际上就是求出变换后的基向量以相同方式进行线性组合的结果。 稍后你就会明白跟剪头一样这一点对函数来说同样正确。 比如说：学微积分的学生经常会用到一个事实，即求导具有可加性和成比例性。 即使他们没有听过这种说法，如果你把两个函数相加，然后求导数，等同于先求两个函数的导数，然后把结果相加。
类似的如果你，将函数与数相乘，然后求导数，等同于先求导数然后把结果与数相乘。
为了真正掌握这里的类比运算，我们来看看用矩阵描述求导是什么样子的。 你可能有些棘手，因为函数空间倾向于有无穷维。不过这个练习实际上很符合要求。 我们现在把目光限制在多项式空间上，比如说x²+3x+5或者4x^-5x^2等等，虽然这个空间中每一个多项式只有有限项，但是整个空间应该包含任意高次的多项式.
首先我们要做的是给这个空间赋予坐标的含义，这需要选取一个基，因为多项式已经是数乘x的不同次幂再做加和的形势，所以我们很自然得就取x的不同次幂作为基函数，换句话说第一个基函数就是一个常函数，即b0（x）=1，第二个基函数，是b1（x）=x，然后是b2（x） = x^2然后是b3（x） = x^3，以此类推。
基函数在这里起到的作用和i帽j帽k帽在向量的世界中起到的作用类似，因为多项式的次可以任意高，所以这个基函数集也是无穷大的。 这只是说明我们把多项式当向量来处理时，它们会有无穷多个坐标。 比如说多项式x^+3x+5用坐标来描述的话就是5,3,1然后跟上无穷多个0，你可以这样理解它，5 乘以第一个基函数加上3乘以第二个基函数加上1乘以第三个基函数在此之后其他基函数不在出现. 多项式4x^7+5x^2的坐标就是0,0，-5，0,0,0,0，4然后加上一串无限长的0，总的来说，因为每一个多项式都只有有限项，所以它的坐标就是有限的长的一串数再跟加上无限城的一串零。 在这个坐标系中求导是用一个无限阶矩阵来描述的，其中绝大部分是0，不过次对角线上按序排列着正整数，稍后讨论如何才能求出这个矩阵，不过熟悉它最好的方法是看看它的作用过程。
取出多项式x^3+5x^2+4x+5的坐标，然后将它放到矩阵的右侧，对结果第一坐标有贡献的就只有14这一项，也就是说结果的常数项是4，这对应用与4x导数是常数4，对矩阵向量乘积第二项有贡献的只有25这一项，也就是说结果中x前的系数是10，这对应于5x^2的导数（10x）与之类似，矩阵向量乘积的第三个坐标，就是31，这对应于x^3的导数，是3x2，在此之后的坐标都是零，求导满足线性性质，使得这一结果成为可能。
出乎我们意料的是，矩阵向量乘法和求导像是毫不相干的，但它们其实是一家人。 实际上这系列讨论过的大部分关于向量的概念，比如说点积或者特征向量，在函数世界中都有直接的类比，不过他们名称不同，比如说内积或特征函数。
回到向量是什么这个问题上，我想在这里指出的是，数学中有很多类似向量的事物。只要你出来的对象集具有合理的数乘和相加概念，不管是空间中的箭头，，一组数，函数的集合，还是你定义的其它奇怪东西的集合，线性代数中所有关于向量、线性变换和其它的概念应该都适用于它。
这些类似向量的事物，比如箭头一组数函数等它们构成的集合被称为向量空间。
