如何计算矩阵的叉积：这个计算很有趣。
你写下一个矩阵，它的第一列是v的坐标，第二列是w的坐标，但奇怪的是第一列的元素是i帽j帽和k帽。出于计算的原因，你假定它们都是数，然后你再计算这个奇怪矩阵的行列式。
如果你忽略其中的古怪之处一心扑在计算上，你会得到一个常数除以i帽加上常数除以j帽再加上常数除以k帽。
你具体如果计算这个行列式无关紧要，重点在于你最终会得到三个数可以分别解读为向量的坐标。
通常从这里开始，老师也只是让学生相信，最终得到的向量有以下几何性质，它的长度等于v和w所确定的平行四边形的面积，它的方向同时与v和w垂直，并且它满足右手定则，也就是说如果（右手）是指指向v的方向中指指向w的方向，那么当大拇指竖起来时它指向所得向量的方向，你可以通过蛮力计算来验证这些事实。
定义一个三维空间到数轴的特定线性变换，并且它是根据向量v和w来定义的，然后当我们将这个变换与三维空间中的对偶向量关联时，这个对偶向量就会是v和w的叉积。之所以这么做，是因为理解这个变换能够解释清楚叉积计算过程和几何意义之间的关系。
在回顾一下，还记得何如在二维空间中计算叉积吗？你有两个向量v和w，v的坐标作为矩阵第一列w的坐标作为矩阵的第二列，然后就计算它的行列式，这里没有出现基向量或者其它乱七八糟的东西就是一个结果为普通数的行列式，几何上说它给出了两个向量张成的平行四边形的面积，它还可能出现负值取决于两个向量的定向。
如果你并不知道三维向量的叉积，并且尝试去外推，你可能会想，它涉及三个向量u，v和w，将它们的坐标作为一个3*3矩阵的列，然后计算这个矩阵的行列式，从几何上讲这个行列式给出了三个向量张成的平行六面体的体积，外加一个正负号取决于这三个向量是否满足右手定则，当然你们都知道这不是一个三维向量的叉积，真正的三维向量叉积是接受两个向量并输出一个向量，它并不是接收三个向量并输出一个数，不过这个想法已经非常接近真实的叉积了。
将第一个向量u看做可变向量比如（x，y，z）而v和w保持不变，那么我们就有一个从三维空间到数轴的函数了，你输入一个向量xyz然后通过矩阵行列式得到一个数，这个向量的第一列是（x，y，z）其余两列是常向量v和w的坐标，这个函数的几何意义是对于任一输入的向量（x，y，z），你都考虑由它和v与w确定的平行六面体，得到它的体积然后根据定向确定符号。
这看上去感觉是一件很随意的事，我是说这个函数是从哪里来的，为什么这么定义？眼下可能会出乎你的意料，不过如果你愿意接受它对它具有的性质进行实验这对理解叉积很关键。
这个函数的一个至关重要的性质在于它是线性的，根据行列式的性质说明这一点为什么正确？
一旦你知道它是线性的，我们就能开始引进对偶性的思想了。
一旦你知道它是线性的，你就知道可以通过矩阵乘法来描述这个函数，具体地说因为这个函数从三维空间到一维空间就会存在一个1*3矩阵代表这个变换。
而对偶性的整体思路是，从多维空间到一维空间变换的特别之处，在于你可以将这个矩阵立起来，并且将整个变换看做这个特定向量的点积，我们要找的就是这个特殊的三维向量，称之为p，使得p与其它任一向量（x，y，z）的点积等于一个33的矩阵的行列式，这个33的矩阵第一列为（x，y，z）其余两列分别为v和w的坐标，稍后再说它的几何意义现在先说它的计算意义。
p与向量（x，y，z）点乘给出的结果是某个数乘以x加上某个数乘以y加上某个数乘以z这里的某些数就是p的坐标。
但是当你计算右侧的行列式时你可以将其整理为，某个常数乘以x加上某个常数乘以y加上某个常数乘以z，这里的某些常数涉及了v和w的坐标的特定组合，因此这些常数也就是v和w坐标的特定组合就是我们寻找的向量p的坐标。
等号右侧的过程对于那些进行过叉积计算的人来说是很熟悉的，像这样合并x，y和z前面的常数项，把i帽j帽和k帽放进矩阵第一列进行计算，然后合并各项前面的系数没有区别。
在矩阵中加入i帽j帽和k帽不过是在传递一个信号，告诉我们应该把这些系数解读为一个向量的坐标，因此这一切都在说明，这个奇怪的运算可以看做是以下问题的答案。当你将向量p和某个向量（x，y，z）点乘时，所得结果等于一个3*3矩阵的行列式，这个矩阵第一列为（x，y，z）其余两列为v和w的坐标。
什么样的向量p才能满足这一特殊性质？
它是一个需要理解的重要问题。
从几何角度回答：当你将向量p和某个向量（x，y，z）点乘时所得一个结果等于一个由（x，y，z）和v与w确定的平行六面体的有向体积，什么样的向量p才能满足这一特殊性质。
记住一点，向量p与其它向量的点积的几何解释，是将其它向量投影到p上，然后将投影长度与p的长度相乘。
考虑到这一点，对于我们所关心的平行六面体的体积我来说明一种思考方法。首先获得v和w确定的平行四边形的面积，乘以向量（x，y，z）在垂直于平行四边形方向上的分量，（不是（x，y，z）的长度），换句话说我们找到的线性函数对于给定向量的作用是将这个向量投影到垂直于v和w的直线上，然后将投影的长度与v和w张成的平行四边形的面积相乘。但是，这和垂直于v和w且长度为平行四边形的面积的向量与（x，y，x）点乘是同一回事。更重要的是如果你选择了合适的向量方向，点积为正的情况就会与（x，y，z）、v和w满足右手定则的情况相吻合。这意味着我们找到了一个向量p，使得p和某个向量（x，y，z）点乘时，所得到一个结果是3*3的矩阵的行列式，这个矩阵的三列分别为（x，y，z）、v的坐标与w的坐标，因此我们之前通过特殊符号技巧进行计算所得到的向量必然在几何上与这个向量对应，这就是叉积的计算过程与几何解释有关联的根本原因。
总结：
首先定义了一个三维空间到数轴的线性变换，并且它是由向量v和w进行定义的，然后我通过两种不同的方式来考虑这个变换的对偶向量。就是说应用变换和与对偶向量点乘等价。一方面计算方法引导你使用下面这种技巧，在矩阵第一列中插入i帽j帽和k帽然后计算行列式。
但是从几何角度考虑，我们可以推断出这个对偶向量，必然与v和w垂直，并且其长度与这两个向量张成的平行四边形的面积相同。
这两种方法给出了同一个变换的对偶向量，因此这两个向量必然相同。
