在本章会切中学生通常学习叉积的要点。
我们从二维空间开始说起。
假如你有两个向量，v和w，考虑它们所张成的平行四边形，这句话的意思是，你取v的副本将它的起点移动到w的终点，再取一个w的副本，将它的起点移动到v的终点，屏幕上，这四个向量组成了一个平行四边形。
v和w的叉积（写作x形乘积符号）就是这个平行四边形的面积，差不多是这样。
我们还要考虑定向问题。大致来讲如果v在w的右侧那么v叉乘w为正，并且值等于平行四边形的面积。但是如果v在w的左侧，那么v叉乘w为负即平行四边形面积的相反数。
注意这里是说顺序会对叉积有影响。
如果你不计算w叉乘v而是交换二者位置计算，那么叉积就是之前计算结果的相反数。
用来记住顺序的方法是，当你按序求两个基向量的叉积即i帽叉乘j帽结果应该是正的，实际上基向量的顺序就是定向的基础，因为i帽在j帽的右侧，所我记得v在w的右侧时v叉乘w为正。
以下图所示的向量为例，直接告诉你平行四边形面积为7，因为v在w的左侧，它们的叉积应该为负，所以v叉乘w应该为-7。
如果不想依赖别人给出的答案直接计算面积，行列式就在这里起作用了。
对于二维向量的叉积，v叉乘w需要将v作为矩阵的第一列w作为矩阵的第二列，然后直接计算行列式，这是因为v和w的坐标为列所构成的矩阵，与一个将i帽和j帽分别移至v和w的线性变换相对应，行列式就是变换前后面积变化比例的度量。
而我们关注的就是以i帽和j帽为边的单位正方形，在变换之后这个单位正方形，变成了我们关心的平行四边形，所以说，通常用来度量面积变化比例的行列式，因为这个平行四边形来源于面积为1的正方形。
更重要的是，如果v在w的左侧也就是说变换后定向发生了改变，那么行列式就为负。
举个例子：比如v的坐标为（-3，1），w的坐标为（2，1）以它们的坐标为列构成的矩阵的行列式为（-31）-（21）也就是-5，所以很显然它们构成的面积为5，而且因为v在w的左侧结果自然为负。
你可能注意到一点，当两个向量垂直至少是进阶垂直时，和他们指向接近时相比，此时的叉积更大，因为当两条边接近垂直时平行四边形的面积会更大，你可能还注意到了其它东西，如果你放大其中一个向量比如将v放大为原来的三倍，平行四边形的面积也同时放大为原来的三倍，也就是说3v叉乘w刚好是v叉乘w的三倍，即便上面的数学运算看上去非常好，严格意义来讲这些并不是叉积。
真正的叉积是通过两个三维向量生成一个新的三维向量。
和之前一样，我们还是要考虑这两个向量围成的平行四边形而这个平行四边形的面积依然会发挥重要的作用。
说的具体一些，比如这两个向量围成的平行四边形的面积为2.5，但是之前提到叉积的结果不是一个数而是一个向量，这个向量的长度就是平行四边形的面积，在这里也就是2.5，而这个向量的方向与平行四边形垂直。
不过是那个边呢？因为长度是2.5，并且垂直于给定面得向量有两个。
这里就需要用到右手定则，右手食指指向v的方向，伸出中指指向w的方向，当你把大拇指竖起来时它所指的方向就是叉积的方向。
比如果假设v的长度为2，指向z轴正方向，向量w的长度为2指向y轴正方向，在这个简单的例子里它们围成的图形实际上是正方形，因为它们相互垂直且长度相等，又因为正方形的面积为4，所以它们的叉积是一个长度为4的向量。
根据右手定则，它的叉积应该是x轴负方向，因此v和w叉积应该是-4乘以i帽。
对于更一般的情况，如果你愿意的话，这里有个公式可以让你记忆，但是它可以用一个三阶行列式来代替，是这种运算记忆起来更加简便。
这一过程乍一看非常奇怪，你写下一个三阶矩阵，第二列和第三列分别为v和w的坐标，第一列却是i帽j帽和k帽，然后计算这两个矩阵的行列式。
很明显！令人糊涂的地方在这里，让向量作为一个矩阵元究竟是什么意思？
假装i帽j帽k帽都是数，当你进行计算时，最终得到的是这三个基向量的线性组合，这个线性组合所决定的向量是唯一一个与v和w垂直，长度为v和w围成的平行四边形的面积，并且遵守右手定则的向量，从某种意义上来讲这就是符号上的技巧，但这么做是有原因的。
行列式重要性的体现并非完全巧合，基向量作为矩阵元也不是信手而为，要想理解这一切的源头，我们需要用到对偶性的思想。
