当看到有一对描述向量的数时，比如3,-2，我们将每一个坐标看做一个标量，也就是说如何压缩或者拉伸一个向量。
在xy坐标中有两个非常特别的向量：
一个指向正右方单位为1通常被称为i帽或者x方向的单位向量，
一个指向正上方单位为1通常被称为j帽或者y方向的单位向量，
现在想象向量[3,-2]，其中的x坐标是一个标量，它是将i^拉伸为原来的三倍，y坐标也是一个标量，它将j^反向并拉伸为原来的两倍，从这个角度去看这个向量其实是经过缩放向量的和(3)i帽 + (-2)j帽,缩放向量并且相加这一概念至关重要，i帽和j帽两个向量有着特殊的名称，特们合并起来被称为坐标系的基（i帽,j帽是xy坐标系中的基向量）。
我们可以选择不同的基向量获得一个新的合理坐标系，通过改变所选择的标量可以获得所有的二维向量。
每当我们用数字描述向量时，都依赖我们正在使用的基，两个数乘向量的和被称为这两个向量的线性组合。
如果固定一个标量让另外一个标量自由变化，所产生的向量的重点会描出一条直线。
如果让两个标量自由变化考虑到所有可能得到的向量，可能有两种情况，大部分情况下，对于一对初始向量，能到达空间中的每一个点所有二维向量尽在掌握，但是也有糟糕的情况，当两个初始向量恰好共线时，所产生的的向量的终点被限制在一条过原点的直线上，实际上还有第三种可能两个向量都是零向量，那就只能乖乖地待在原点了。
所有可以表示为给定向量的线性组合的向量的集合，被称作给定向量张成的空间。
对大部分二维向量来说，他们张成的空间是所有二维向量的组合，但它们共线时，它们张成的空间就是终点落在一条直线上向量的集合。
还记得曾经的问题，线性代数紧紧围绕着向量加法和数乘吗？两个向量张成的空间实际上是在问：“仅通过向量加法与向量数乘这两种运算，能获得所有的向量集合是什么？”。
通常我们是如何将向量看做点的？想想落在一条直线上的一些向量会觉得拥挤，同时想想所有二维向量填满平面时会觉得非常拥挤！为了对付这种情况，通常我们用向量的重点表示这个向量，而像往常一样，它的起点仍旧位于原点，用这种方法来看，如果你要考虑落在一条直线上的所有向量的时候，只需要考虑直线本身就可以了。类似：同时考虑所有的二维向量时，将每个向量抽象为它的终点，实际上就不需要考虑所有的剪头了，只需要考虑无限大的二维平面本身即可。
当考虑一个向量时就把它看做是一个箭头，当考虑多个向量时就把它们都看做是点。
对大部分二维向量时它们张成的空间是整个无限大的二维平面，但如果共线，它们张成的空间就是一条直线。
如果我们再去考虑三维空间，张成空间就会变得有趣了：举个例子，在三维空间中取两个指向不同方向的向量，它们的张成空间是什么？这两个向量张成的空间就是它们所有可能的线性组合，也就是缩放再相加之后所有可能得到的向量。
大概想象下，逐渐改变线性组合中的两个标量，把缩放后的向量相加然后跟着最终向量的终点走，这个终点会画出三维空间中某个经过原点的平面，这个平面就是这两个向量张成的空间，或者更确切地说，所有终点落在这个平面上的的集合是这个两个向量张成的空间。
如果加上第三个向量，那个它张成的空间又是什么样子呢，三个向量线性组合的定义基本和之前一样：选择三个标量，对三个向量分别进行缩放然后把结果相加，而这个三向标量所有可能的线性组合构成了它们的张成空间。这里会有两种情况，如果第三个向量恰好落在前两个向量所张成的平面上，它们张成的空间并不改变，你还是被困在这个平面中。换句话说：“在线性组合中引入第三个向量并没有让你走得更远！”。但是你随机选择一个向量它几乎不可能落在前两个向量所张成的平面中，在这种情况下，由于第三个向量指向不同的方向我们就能得到所有的三维向量。
当你缩放第三个向量时，它将前两个向量张成的平面沿它的方向来回移动从而扫过整个空间。
当你完全利用了你掌握自由变化的三个标量从而得到空间中所有的三维向量。
至于第三个向量已经落在前两个向量张成的空间中，或者两个向量恰好共线的情况，我们需要一些专业术语来描述它们，即一组向量中至少有一个是多余的没有对张成空间做出任何贡献，有多个向量并且可以移除其中一个而不减小张成的空间，当这种情况发生时，我们称它们是线性相关的。另一种表述方式是其中一个向量可以表示为其他向量的线性组合，因为这个向量已经落在其他向量张成的空间之中，另一方面，如果所有的向量都给张成空间增加了新的维度，它们就称为是线性无关的。
思考：
空间中的一组基的严格定义：“张成该空间的一个线性无关的向量的集合”。
思考下为什么这么定义合乎情理！
