「这是我参与2022首次更文挑战的第42天，活动详情查看：2022首次更文挑战」。
一、N年后牛的数量
第一年农场有1只成熟的母牛A，往后的每年：
1）每一只成熟的母牛都会生一只母牛
2）每一只新出生的母牛都在出生的第三年成熟
3）每一只母牛永远不会死
返回N年后牛的数量
1、分析
今年的牛 = 去年活下来的牛+ 三年前新出生的牛
利用斐波那契数列推导公式：F(n) = F(n-1) + F(n-3)
F1 = 1，F2 = 2，F3 = 3，F4 = 4
求出矩阵
所以Fn = F3*1 + F2*0 + F1*1
2、实现
2.1、递归实现
public static int c1(int n) {
if (n < 1) {
return 0;
}
if (n == 1 || n == 2 || n == 3) {
return n;
}
return c1(n - 1) + c1(n - 3);
}
2.2、有限变量实现
public static int c2(int n) {
if (n < 1) {
return 0;
}
if (n == 1 || n == 2 || n == 3) {
return n;
}
int res = 3;
int pre = 2;
int prepre = 1;
int tmp1 = 0;
int tmp2 = 0;
for (int i = 4; i <= n; i++) {
tmp1 = res;
tmp2 = pre;
res = res + prepre;
pre = tmp1;
prepre = tmp2;
}
return res;
}
2.3、矩阵快速幂技巧
public static int c3(int n) {
if (n < 1) {
return 0;
}
if (n == 1 || n == 2 || n == 3) {
return n;
}
int[][] base = {
{1, 1, 0},
{0, 0, 1},
{1, 0, 0}};
int[][] res = matrixPower(base, n - 3);
return 3 * res[0][0] + 2 * res[1][0] + res[2][0];
}
private static int[][] matrixPower(int[][] m, int p) {
int[][] res = new int[m.length][m[0].length];
for (int i = 0; i < res.length; i++) { // 单位矩阵
res[i][i] = 1;
}
// res = 矩阵中的1
int[][] t = m;// 矩阵1次方
for (; p != 0; p >>= 1) {
if ((p & 1) != 0) {
res = muliMatrix(res, t);
}
t = muliMatrix(t, t);
}
return res;
}
// 两个矩阵乘完之后的结果返回
private static int[][] muliMatrix(int[][] m1, int[][] m2) {
int[][] res = new int[m1.length][m2[0].length];
for (int i = 0; i < m1.length; i++) {
for (int j = 0; j < m2[0].length; j++) {
for (int k = 0; k < m2.length; k++) {
res[i][j] += m1[i][k] * m2[k][j];
}
}
}
return res;
}
二、贴瓷砖问题
用
1*2的瓷砖，把N*2的区域填满返回铺瓷砖的方法数
1、分析
2排N列的区域
F(n) = F(n-1) + F(n-2)
瓷砖摆放：
- 竖着摆，则还剩下n-1
- 横着摆，则还剩下n-2
2、实现
跟走楼梯一样，看走楼梯实现
三、走楼梯问题
一个人可以一次往上迈1个台阶，也可以迈2个台阶
返回这个人迈上N级台阶的方法数
1、分析
斐波那契数列问题：F(n) = F(n-1) + F(n-2)
到达最后一个台阶有两种办法：
- 从n-1层台阶走一步
- 从n-2层台阶走两步
2、实现
2.1、递归实现
public static int climbStairs(int n) {
if (n < 1) {
return 0;
}
if (n == 1 || n == 2) {
return n;
}
return climbStairs(n - 1) + climbStairs(n - 2);
}
2.2、有限变量实现
public static int climbStairs(int n) {
if (n < 1) {
return 0;
}
if (n == 1 || n == 2) {
return n;
}
int res = 2;
int pre = 1;
int tmp = 0;
for (int i = 3; i <= n; i++) {
tmp = res;
res = res + pre;
pre = tmp;
}
return res;
}
2.3、矩阵快速幂技巧
public static int climbStairs(int n) {
if (n < 1) {
return 0;
}
if (n == 1 || n == 2) {
return n;
}
int[][] base = {{1, 1}, {1, 0}};
int[][] res = matrixPower(base, n - 2);
return 2 * res[0][0] + res[1][0];
}
private static int[][] matrixPower(int[][] m, int p) {
int[][] res = new int[m.length][m[0].length];
for (int i = 0; i < res.length; i++) { // 单位矩阵
res[i][i] = 1;
}
// res = 矩阵中的1
int[][] t = m;// 矩阵1次方
for (; p != 0; p >>= 1) {
if ((p & 1) != 0) {
res = muliMatrix(res, t);
}
t = muliMatrix(t, t);
}
return res;
}
// 两个矩阵乘完之后的结果返回
private static int[][] muliMatrix(int[][] m1, int[][] m2) {
int[][] res = new int[m1.length][m2[0].length];
for (int i = 0; i < m1.length; i++) {
for (int j = 0; j < m2[0].length; j++) {
for (int k = 0; k < m2.length; k++) {
res[i][j] += m1[i][k] * m2[k][j];
}
}
}
return res;
}
四、总结
斐波那契数列问题，常见解的时间复杂度O(N)，还有更优的解法，就是矩阵快速幂技巧，时间复杂度O(logN)
前置知识：
