「这是我参与11月更文挑战的第5天，活动详情查看：2021最后一次更文挑战」。
一、斐波那契数列是什么？
斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波那契数列以如下被以递推的方法定义：F(0)=0，F(1)=1, F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)（n ≥ 2，n ∈ N*）。
二、斐波那契数列实现
递归实现
时间复杂度:O(n)
public static int f1(int n) {
if (n < 1) {
return 0;
}
if (n == 1 || n == 2) {
return 1;
}
return f1(n - 1) + f1(n - 2);
}
非递归实现
时间复杂度:O(n)
public static int f2(int n) {
if (n < 1) {
return 0;
}
if (n == 1 || n == 2) {
return 1;
}
int res = 1;
int pre = 1;
int tmp = 0;
for (int i = 3; i <= n; i++) {
tmp = res;
res = res + pre;
pre = tmp;
}
return res;
}
矩阵乘法实现
矩阵乘法代码实现
public static int[][] multiMatrix(int[][] m1, int[][] m2) {
int[][] res = new int[m1.length][m2[0].length];
for (int i = 0; i < m1.length; i++) {
for (int j = 0; j < m2[0].length; j++) {
for (int k = 0; k < m2.length; k++) {
res[i][j] += m1[i][k] * m2[k][j];
}
}
}
return res;
}
public static void main(String[] args) {
int[][] m1 = {{2, 1},
{4, 3}};
int[][] m2 = {{1, 2},
{1, 0}};
int[][] ans = multiMatrix(m1, m2);
for (int[] row : ans) {
System.out.println(Arrays.toString(row));
}
}
结果如下：
斐波那契数列矩阵推导
斐波那契数列的线性求解（O(N)）的方式非常好理解，同时利用线性代数，也可以改写出另一种表示 | F(N) , F(N-1) | = | F(2), F(1) | * 某个二阶矩阵的N-2次方，求出这个二阶矩阵，进而最快求出这个二阶矩阵的N-2次方。
public static int f3(int n) {
if (n < 1) {
return 0;
}
if (n == 1 || n == 2) {
return 1;
}
int[][] base = {
{ 1, 1 },
{ 1, 0 }
};
int[][] res = matrixPower(base, n - 2);
return res[0][0] + res[1][0];
}
public static int[][] matrixPower(int[][] m, int p) {
int[][] res = new int[m.length][m[0].length];
for (int i = 0; i < res.length; i++) {
res[i][i] = 1;
}
int[][] tmp = m;
for (; p != 0; p >>= 1) {
if ((p & 1) != 0) {
res = muliMatrix(res, tmp);
}
tmp = muliMatrix(tmp, tmp);
}
return res;
}
