「LeetCode」118.杨辉三角

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题目描述🌍

给定一个非负整数 numRows，生成「杨辉三角」的前 numRows 行。

在「杨辉三角」中，每个数是它左上方和右上方的数的和。

示例 1：

输入: numRows = 5
输出: [[1],[1,1],[1,2,1],[1,3,3,1],[1,4,6,4,1]]

示例 2：

输入: numRows = 1
输出: [[1]]

提示：

• 1 <= numRows <= 30

数学逻辑🥣

解题思路

🔎背景补充：杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，它是中国古代极具智慧的杰出研究成果之一。它将二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合。

杨辉三角有一个重大特性：每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可根据此性质逐层向下描绘出整个杨辉三角。体现在代码上就是 row.add(lists.get(i - 1).get(j - 1) + lists.get(i - 1).get(j))，这也是解题的关键点。

代码

Java

注意一个点，List 类型不能跨越添加元素，比如：

• list.add(0, x)
• list.add(2, x)
• list.add(1, x)

如果按照以上顺序对 List 进行元素添加，那么势必抛出异常 IndexOutOfBoundsException，因为 List 是逐个扩容，不像定容数组一样可以挑选位置来添加元素。

class Solution {
    public List<List<Integer>> generate(int numRows) {
        List<List<Integer>> lists = new ArrayList<>();
        for (int i = 0; i < numRows; i++) {
            List<Integer> row = new ArrayList<>();
            for (int j = 0; j <= i; j++) {
                if (j == 0 || j == i) {
                    row.add(1);
                } else {
                    row.add(lists.get(i - 1).get(j - 1) + lists.get(i - 1).get(j));
                }
            }
            lists.add(row);
        }
        return lists;
    }
}

C++

C++ 不同于 Java：

• 在 vector<int> 给定容器长度后，可以直接调用下标进行赋值；
• 其次，在定义 vector<vector<int>> 后，其中的 vector<int> 即刻被初始化，而非 nullptr，这也是能直接使用 ret[i].resize(i + 1); 的原因。

但是，若 vector<int> 没给定初始值 & 初始长度，则无法根据下标赋值，只能使用 push_back().

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> generate(int numRows) {
        vector<vector<int>> ret(numRows);
        for (int i = 0; i < numRows; ++i) {
            ret[i].resize(i + 1);
            ret[i][0] = ret[i][i] = 1;
            for (int j = 1; j < i; ++j) {
                ret[i][j] = ret[i - 1][j - 1] + ret[i - 1][j];
            }
        }
        return ret;
    }
};

时间复杂度：$O(n^2)$，n 为行数 numRows 。

空间复杂度：$O(1)$

知识点🌓

杨辉三角性质：

• 第 i 行的第 j 个数（从 0 开始编号）可表示为组合数 $C(i,j)$，记作 $C^j_i$ 或 $\binom{i}{j}$。公式表达：$C^j_i=\frac{i!}{j!(i-j)!}$
• 第 n 行的第 i 个数等于第 n-1 行的第 i-1 个数和第 i 个数之和：$C^i_n=C^i_{n-1}+C^{i-1}_{n-1}$
• $(a+b)^n$ 的展开式（二项式展开）中的各项系数依次对应杨辉三角的第 $n$ 行中的每一项

最后🌅

该篇文章为 「LeetCode」 系列的 No.12 篇，在这个系列文章中：

• 尽量给出多种解题思路
• 提供题解的多语言代码实现
• 记录该题涉及的知识点

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