带你领略「二分查找」的魅力「这是我参与2022首次更文挑战的第5天，活动详情查看：2022首次更文挑战」。近几日刷题过

「这是我参与2022首次更文挑战的第5天，活动详情查看：2022首次更文挑战」。

前言

近几日刷题过程中发现一个问题：有些人其实还是对于「二分查找」的细节还是有点琢磨不透。

图来源于 LeetCode 题解的评论区。

也许你说二分查找的模板早已了然于心，一套一个准，但有些细节你真的把握得住吗？

话不多说，切入正题。

瞅瞅二分查找的「把式」

1. 左闭右闭

 public int search(int[] nums, int target) {
     int left = 0;
     int right = nums.length - 1;
     while (left <= right) {
         int middle = left + (right - left) / 2;
         if (target > nums[middle]) {
             left = middle + 1;
         } else if (target < nums[middle]) {
             right = middle - 1;
         } else {
             return middle;
         }
     }
     return -1;
 }

2. 左闭右开

 public int search(int[] nums, int target) {
     int left = 0;
     int right = nums.length - 1;
     while (left < right) {
         int middle = left + (right - left) / 2;
         if (target < nums[middle]) {
             right = middle;
         } else if (target > nums[middle]) {
             left = middle + 1;
         } else {
             return middle;
         }
     }
     return -1;
 }

简写一下？

public int search(int[] nums, int target) {
     int left = 0;
     int right = nums.length - 1;
     while (left < right) {
         int middle = ((right - left) << 1) + left;
         if (target <= nums[middle]) {
             right = middle;
         } else if (target > nums[middle]) {
             left = middle + 1;
         }
     }
     return left;
 }

3. 左开右闭（错误示范）

🚄为什么左开右闭这种方式行不通，下文详细讲解💦

 public int search(int[] nums, int target) {
     int left = 0;
     int right = nums.length - 1;
     while (left < right) {
         int middle = left + (right - left) / 2;
         if (target >= nums[middle]) {
             left = middle;
         } else if (target < nums[middle]) {
             right = middle - 1;
         }
     }
     return -1;
 }

眼花缭乱还是大相径庭呢？没关系，接下来详细剖析一下内部结构。

理解二分查找的「关键点」

很多时候，我们会过分关注于二分查找的执行过程（如下图），这样有可能反倒浪费没有必要的时间。

🏆二分查找的思想就是逐步缩小搜索区间；它由循环条件与区间赋值构成。

🏍循环条件比如 while(left <= right)，区间赋值好比 right = middle - 1...

二者关系

唯二元素🌀

要想所编写的代码细节不出现差错，那么我们就要进行「边界值分析」。

⭐这里的边界值并非指代目标值 target 的取值，而是指代二分查找的执行次数。这就是写对二分查找代码细节的关键点。

执行 1 次就找到目标值那没什么好说的，这里所要探讨的是执行 $⌊log_2n⌋+1$ 次（二分查找最多次数）查找时所必然面临的一种情况：在 $[left, right]$ 区间中唯有(有且仅有) 2 个元素时（如下图）。

此时查找的元素在 2 个元素的右边，而当且仅有 2 个元素时，middle 必然是在两者的左边（对于 middle = left + (right - left) / 2 而言）。

这就阐明了 left = middle + 1 存在的必要性；换句话说，左开右闭这种查找方式必然是会出问题的。

于是乎，二分查找就剩下左闭右开与左闭右闭这两类写法了。

所以 `while(left < right)` 究竟需要等号吗？

你没看错，没跑题。当你确定左闭右开与左闭右闭其中一种时，循环判断条件中是否存在等号 = 才真正决定了二分法能否跑起来..

两者情况不同，先告知结论，然后我们来反证一下。

左闭右闭：while(left <= right)
左闭右开：while(left < right)

左闭右闭

注：right = middle - 1;

如下图，当查找值🔍为 7 时，准备下一次判断前 left 和 right 都与 middle 相等，此时进入下一轮循环（索引值为 3 的元素未查找）继续查找 7，若循环判断条件为 left < right，那就会退出循环，直接返回 -1（未找到）。

显然这不是我们要的结果，所以左闭右闭找法的循环判断条件为 while(left <= right)。

左闭右开

注：right = middle;

如下图，当查找值🔍为 0 时（显然数组中不存在），当处于如下的状态准备进入下一轮循环时（还未找到 0），此时 left 和 right 都与 middle 相等，且假设进入循环的条件为 left <= right，符合！所以继续循环，middle 赋值后还是和 left、right 相等，改变 right 状态（right = middle）无法缩小搜索范围，所以这轮循环后，三者恒成立，从而进入了死循环！

反证成功✔

毋庸置疑，左闭右开找法的循环判断条件为 while(left < right)。

二分查找「一览表」

如果以上分析听懂了，这个表格无需多看一眼。否则建议你结合该表格思考下。

循环条件\|`right` 初始值	`right = nums.length - 1`	`right = nums.length`
`left <= right`	`right = middle`：❌ `right = middle - 1`：✔	`right = middle`：❌ `right = middle - 1`：❌（`ArrayIndexOutOfBoundsException`）
`left < right`	`right = middle`：✔ `right = middle - 1`：❌	`right = middle`：✔ `right = middle - 1`：❌

看表格不会写代码？举个例子就懂了，right = nums.length + left < right + right = middle：

public int search(int[] nums, int target) {
    int left = 0;
    int right = nums.length;
    while (left < right) {
        int middle = left + (right - left) / 2;
        if (target < nums[middle]) {
            right = middle;
        } else if (target > nums[middle]) {
            left = middle + 1;
        } else {
            return middle;
        }
    }
    return -1;
}

这里唯一需要注意的就是：当 right = nums.length 时，right = middle - 1 + left <= right 这种查找方式。

当 target 大于 nums[length - 1] (最大值) 时，会抛出越界异常而不是 -1（不存在），给个动图证明一下：

二分查找「类型题」

感谢作者 liweiwei 的整理。

看完后是不是跃跃欲试？那就来做一做「二分查找」的变型题温习一下吧。

题型一：二分求下标（在数组中查找符合条件的元素的下标）

题号	链接
704	二分查找（简单）
35	搜索插入位置（简单）
300	最长上升子序列（中等）
34	在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置（简单）
611	有效三角形的个数（中等）
658	找到 K 个最接近的元素（中等）
436	寻找右区间（中等）
1237	找出给定方程的正整数解（中等）
1300	转变数组后最接近目标值的数组和（中等）
4	寻找两个有序数组的中位数（困难）

使用二分查找的前提不一定非要是「有序数组」。旋转有序数组（下表前 4 题）、山脉数组（下表后 2 题）里的查找问题也可以使用「二分查找」。这些问题的解决思路是：利用局部单调性，逐步缩小搜索区间。

题号	链接
33	搜索旋转排序数组（中等）
81	搜索旋转排序数组 II（中等）
153	寻找旋转排序数组中的最小值（中等）
154	寻找旋转排序数组中的最小值 II（困难）
852	山脉数组的峰顶索引（简单）
1095	山脉数组中查找目标值（中等）

题型二：二分答案（在一个有范围的区间里搜索一个整数）

如果题目要我们找一个整数，这个整数有确定的范围，可以通过二分查找逐渐缩小范围，最后逼近到一个数。

定位一个有范围的整数，这件事情也叫「二分答案」或者叫「二分结果」。如果题目要求的是一个整数，这个整数有明确的范围，可以考虑使用二分查找。

事实上，二分答案是我们最早接触的二分查找的场景。「幸运 52」里猜价格游戏，就是「二分查找」算法的典型应用：先随便猜一个数，如果猜中，游戏结束。如果猜大了，往小猜；如果猜小了，往大猜。

题号	链接
69	x 的平方根（简单）
287	寻找重复数（中等）
374	猜数字大小（简单）
275	H 指数 II（中等）
1283	使结果不超过阈值的最小除数（中等）
1292	元素和小于等于阈值的正方形的最大边长（中等）

题型三：二分答案的升级版（每一次缩小区间的时候都需要遍历数组）

说明：这一类问题本质上还是「题型二」（二分答案），但是初学的时候会觉得有一些绕。这一类问题的问法都差不多，关键字是「连续」、「正整数」，请大家注意捕捉题目中这样的关键信息。

这里给出的问题解法都一样，会一题等于会其它题。问题的场景会告诉我们：目标变量和另一个变量有相关关系（一般是线性关系），目标变量的性质不好推测，但是另一个变量的性质相对容易推测（满足某种意义上的单调性）。这样的问题的判别函数通常会写成一个函数的形式。

这一类问题可以统称为「 最大值极小化 」问题，最原始的问题场景是木棍切割问题，这道题的原始问题是「力扣」第 410 题（分割数组的最大值（困难））。

思路是这样的：

分析出题目要我们找一个整数，这个整数有范围，所以可以用二分查找；
分析出 单调性，一般来说是一个变量 a 的值大了，另一个变量 b 的值就变小，而「另一个变量的值」 b 有限制，因此可以通过调整 a 的值达到控制 b 的效果；
这一类问题的题目条件一定会给出连续、正整数 这样的关键字。如果没有，问题场景也一定蕴含了这两个关键信息。

以下给出的问题无一例外。

题号	链接
875	爱吃香蕉的珂珂（中等）
410	分割数组的最大值（困难）
LCP 12	小张刷题计划（中等）
1011	在 D 天内送达包裹的能力（中等）
1482	制作 m 束花所需的最少天数（中等）
1552	两球之间的磁力（中等）

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带你领略「二分查找」的魅力

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