LeetCode 👉 HOT 100 👉 不同路径 - 中等题

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题目

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

示例1

输入：m = 3, n = 7

输出：28

示例2

输入：m = 3, n = 2

输出：3

解释：

从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下

思路

DFS暴力解法

• 定义一个递归函数jump，接受当前机器人的位置坐标 [x, y]

• 每次递归，做如下判断

  • 如果机器人到达终点 x == m && y == n，将结果 count++， 同时结束递归

  • 如果当前坐标 x < m，继续以参数 [x + 1, y] 执行递归函数

  • 如果当前坐标 y < n，继续以参数 [x, y + 1] 执行递归函数

• 机器人初始坐标为 [1, 1]，启动递归函数

• 返回 count 即为所求

代码如下

    /**
     * @param {number} m
     * @param {number} n
     * @return {number}
     */
    var uniquePaths = function(m, n) {
        let count = 0;

        const jump = ([x, y]) => {
            if(x == m && y == n) {
                count++;
                return;
            }

            if(x < m) {
                jump([x + 1, y])
            }
            
            if(y < n) {
                jump([x, y + 1])
            }
        }

        jump([1, 1]);

        return count;
    };

上述解法的时间复杂度很高，在 LeetCode 提交的时候，不出意外的超时了

动态规划

如果想要用 动态规划 来解决这个问题，我们需要进行以下几个步骤的分析：

• 定义 dp 数组元素的含义

• 确定数组元素间的关系式

• 确定边界、初始条件

对于本题，dp 数组显然是一个二位数组，可以用 dp[i][j] 表示从左上角走到 (i, j) 的路径数量，其中 0 <= i < m, 0 <= j < n;

那么对于数组间的关系式：对于 (i, j)，由于题目要求机器人只能向下或者向右移动，那么走到 (i, j) 的上一步，只能为 (i - 1, j) 或者 (i, j - 1)，所以显然有 dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];

边界就是刚刚指出的 0 <= i < m, 0 <= j < n，那么初始条件，是什么呢？思考一下就可得，dp[i][0] 都是等于 1 的，同时 dp[0][j] 都是等于 1 的。

dp[m - 1][n - 1] 即为题目所求

代码如下

    /**
     * @param {number} m
     * @param {number} n
     * @return {number}
     */

    var uniquePaths = function(m, n) {
        var dp = new Array(m).fill(() => new Array(n).fill(0));

        for(let i = 0; i < m; i++) {
            dp[i][0] = 1;
        }

        for(let j = 0; j < n; j++) {
            dp[0][j] = 1
        }

        for(let i = 1; i < m; i++) {
            for(let j = 1; j < n; j++) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
            }
        }

        return dp[m - 1][n - 1]
    }

小结

暴力解法，可能是最直观的方法，但是当递归的次数增加时，如果不能很好剪枝，就会出现大量的重复计算问题。而对于效率要求较高的算法来说，在某些情况下可能会不太适用，这个时候就需要寻找另外的解法。

但是还是有一点是需要坚持的，暴力解会提供很多思考的方向，像如果存在重复的计算，可以尝试使用缓存已计算的结果，下次遇到时直接从缓存拿，也可能会提升很多效率。

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