1. 四元数的概念

四元数可以看成是复数的扩充，它有三个虚部，形式如下：

q=w+xi+yj+zk\quad or\quad q=s+v

其中

i^2=j^2=k^2=-1\\ ij=-ji=k\\ jk=-jk=i\\ ki=-ki=j\\

四元数常见概念

1）四元数的模

|q|=\sqrt{w^2+x^2+y^2+z^2}

2）四元数常见运算

p_1=[s_1,\mathbf{v_1}]=(w_1,x_1,y_1,z_1)^T p_2=[s_2,\mathbf{v_2}]=(w_2,x_2,y_2,z_2)^T

-加法

p_1+p_2=s_1+s_2,\mathbf{v_1+v_2}=w_1+w_2 + (x_1+x_2)i+(y_1+y_2)j+(z_1+z_2)k

-乘法

p_1p_2=s_1s_2-\mathbf{v_1v_2}+s_1\mathbf{v_2}+s_2\mathbf{v_1}+\mathbf{v1\times v2}\\ =\begin{pmatrix} w_1w_2 - x_1x_2 - y_1y_2 - z_1z_2 \\ w_1x_2 + x_1w_2 + y_1z_2 - z_1y_2 \\ w_1y_2 - x_1z_2 + y_1w_2 + z_1x_2 \\ w_1z_2 + x_2y_2 - y_1x_2 + z_1w_2\end{pmatrix}

-点积（内积）

p_1\cdot p_2=w_1w_2+\mathbf{v_1v_2}=w_1w_2+x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2

-叉乘（外积）

p_1\times p_2=\frac{p_1p_2-p_2p_2}{2}=\mathbf{v1\times v2}

-共轭

p_1^*=s_1-\mathbf{v_1}\\ p_1p_1^*=w_1^2+x_1^2+y_1^2+z_1^2

-逆

p_1^{-1}=\frac{p_1^*}{\parallel p_1\parallel^2}\\ p_1p_1^{-1}=p_1^{-1}p_1=1

3）单位四元数

满足下式，

w^2+x^2+y^2+z^2=1

2. 四元数与刚性旋转

单位四元数（Unit quaternion）可以用于表示三维空间里的旋转。它与常用的另外两种表示方式（三维正交矩阵和欧拉角）是等价的，但是避免了欧拉角表示法中的万向锁问题。比起三维正交矩阵表示，四元数表示能够更方便地给出旋转的转轴与旋转角。
三维空间中的旋转可以被认为是一个泛函 $\phi$ 从 $\mathbb{R^3}\to\mathbb{R^3}$ 的映射。如果 $\phi$ 要满足一个刚性旋转需要满足如下三点，加上 $P$ 是三维空间中的一点可用纯四元数表示

P=[0,\mathbf{v}]=xi+yj+zk

旋转后向量长度保持不变

\parallel \phi(P) \parallel=\parallel P \parallel

旋转后角度不变

\phi(P_1) \cdot \phi(P_2) = P_1 \cdot P_2

handedness保持不变（即左右手坐标系准则不变）

\phi(P_1) \times \phi(P_2) = P_1 \times P_2

并且 $\phi(s+\mathbf{v})=s+\phi(\mathbf{v})$ ，又因为 $P$ 中 $s=0$ ,所以,

\phi(P_1) \cdot \phi(P_2) =\phi(P_1P_2)

当

\phi_q(P)=qPq^{-1}

时满足上述条件，即可以表示刚性旋转，其中 $q$ 是单位四元数。将 $q=w+xi+yj+zk$ 带入上式即可得到旋转矩阵

R_q= \begin{pmatrix} 1-2y^2-2z^2 & 2xy-2wz & 2xz+2wy \\ 2xy+2wz & 1-2x^2-2z^2 & 2yz-2wx \\ 2xz-2wy & 2yz+2wx & 1-2x^2-2y^2 \end{pmatrix}

四元数 旋转矩阵

1. 四元数的概念

1）四元数的模

2）四元数常见运算

3）单位四元数

2. 四元数与刚性旋转

四元数旋转矩阵