二分查找及常见变体

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概述

二分查找作为经典的查找算法,思想比较简单,日常使用频繁。每次编写二分相关代码,经常会出现左右区间混乱,不知道如何划分区间等问题,造成做不出题目。

代码分析

  • 区间的左右开闭问题: [0, length - 1]
  • 循环边界: while left < right,这样可以保证最终返回值left == right,随便返回哪个都可以
  • 区间[left.. right]可以划分为两种情况:
    • 分为[left..mid][mid+1..right],分别对应right = midleft = mid + 1
    • 分为[left..mid-1][mid..right],分别对应right = mid-1left = mid。在这种情况下,需要将mid = left + (right - left) / 2修改为 mid = left + (right - left + 1) / 2,否则将出现死循环。

例如 nums = [1,2,3,5]target = 5,若不修改 mid 计算,便会出现死循环

常见二分变体

查找第一个等于给定值的元素

第一个等于,逻辑上发生在数组左边,因此收缩右边界。

def firstEquals(nums, target):
    left, right = 0, len(nums) - 1 
    while left < right: 
        mid = left + (right - left)//2 # 防止溢出, //表示整除
        if nums[mid] < target: 
            left = mid + 1 
        else:
            right = mid # 收缩右边界
    return left 
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查找最后一个等于给定值的元素

最后一个等于,逻辑上发生在数组右边,因此收缩左边界。

def lastEquals(nums, target): 
    left, right = 0, len(nums) - 1
    mid = left + (right - left + 1) // 2
    while left < right:
        if nums[mid] > target:
            right = mid - 1
        else :
            left = mid
    return left
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查找第一个大于等于给定值的元素

第一个大于等于,逻辑上发生在数组左边,因此收缩右边界。

def firstLessEquals(nums, target): 
    left, right = 0, len(nums) - 1
    mid = left + (right - left) // 2
    while left < right:
        if nums[mid] < target:
            left = mid + 1
        else :
            right = mid
    return left
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查找最后一个小于等于给定值的元素

最后一个小于等于,逻辑上发生在数组右边,因此收缩左边界。

def firstLessEquals(nums, target): 
    left, right = 0, len(nums) - 1
    mid = left + (right - left + 1) // 2
    while left < right:
        if nums[mid] > target:
            right = mid - 1
        else :
            left = mid
    return left
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总结

通过多个角度的学习,自己暂且总结一个自用结论,当查找或者插入为第一个(偏左侧)时,收缩右边界right = mid;当为最后一个(偏右侧)时,收缩左边界left = mid

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后语

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