二分查找及常见变体

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概述

二分查找作为经典的查找算法，思想比较简单，日常使用频繁。每次编写二分相关代码，经常会出现左右区间混乱，不知道如何划分区间等问题，造成做不出题目。

代码分析

• 区间的左右开闭问题: [0, length - 1]
• 循环边界: while left < right，这样可以保证最终返回值left == right，随便返回哪个都可以
• 区间[left.. right]可以划分为两种情况：
  • 分为[left..mid]和[mid+1..right]，分别对应right = mid和left = mid + 1
  • 分为[left..mid-1]和[mid..right]，分别对应right = mid-1和left = mid。在这种情况下，需要将mid = left + (right - left) / 2修改为 mid = left + (right - left + 1) / 2，否则将出现死循环。

例如 nums = [1,2,3,5]，target = 5，若不修改 mid 计算，便会出现死循环

常见二分变体

查找第一个等于给定值的元素

第一个等于，逻辑上发生在数组左边，因此收缩右边界。

def firstEquals(nums, target):
    left, right = 0, len(nums) - 1 
    while left < right: 
        mid = left + (right - left)//2 # 防止溢出, //表示整除
        if nums[mid] < target: 
            left = mid + 1 
        else:
            right = mid # 收缩右边界
    return left 

查找最后一个等于给定值的元素

最后一个等于，逻辑上发生在数组右边，因此收缩左边界。

def lastEquals(nums, target): 
    left, right = 0, len(nums) - 1
    mid = left + (right - left + 1) // 2
    while left < right:
        if nums[mid] > target:
            right = mid - 1
        else :
            left = mid
    return left

查找第一个大于等于给定值的元素

第一个大于等于，逻辑上发生在数组左边，因此收缩右边界。

def firstLessEquals(nums, target): 
    left, right = 0, len(nums) - 1
    mid = left + (right - left) // 2
    while left < right:
        if nums[mid] < target:
            left = mid + 1
        else :
            right = mid
    return left

查找最后一个小于等于给定值的元素

最后一个小于等于，逻辑上发生在数组右边，因此收缩左边界。

def firstLessEquals(nums, target): 
    left, right = 0, len(nums) - 1
    mid = left + (right - left + 1) // 2
    while left < right:
        if nums[mid] > target:
            right = mid - 1
        else :
            left = mid
    return left

总结

通过多个角度的学习，自己暂且总结一个自用结论，当查找或者插入为第一个(偏左侧)时，收缩右边界right = mid；当为最后一个(偏右侧)时，收缩左边界left = mid

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后语

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