「力扣」第 611 题：有效三角形的个数（中等）

摘要：计数问题很多时候的思路是按照一定顺序找，一下子找出一个区间，可以降低时间复杂度。本题还可以帮助我们复习二分查找的使用技巧。

• 题目链接：611. 有效三角形的个数

• 题解链接：排序以后找第 1 个大于等于两边之和的下标（Java）

给定一个包含非负整数的数组，你的任务是统计其中可以组成三角形三条边的三元组个数。

示例 1:

输入: [2,2,3,4]
输出: 3
解释:
有效的组合是: 
2,3,4 (使用第一个 2)
2,3,4 (使用第二个 2)
2,2,3

注意:

1. 数组长度不超过1000。
2. 数组里整数的范围为 [0, 1000]。

Constraints:

• 1 <= nums.length <= 1000
• 0 <= nums[i] <= 1000

思路分析：这是一个计数问题。计数问题最朴素的做法是一个一个数。加快计数的办法是一下子数出一大片。因此需要对输入数组排序。

我们分析示例：输入数组是 [2, 2, 3, 4] ，依次枚举第 1 条边 num[i] 和第 2 条边 nums[j]，找第 3 条边的范围。

根据能组成三角形三条边的条件：两边之和大于第三边。我们需要在 [j + 1..len - 1] 找到 严格小于两边之和的区间里元素的个数，这件事情等价于找到「第 1 个大于等于两边之和的下标」。这是因为在排序的前提下，有下面的性质成立：

即：区间 [j + 1..len - 1] 可以划分成两个部分：

• 第 1 部分（图中黄色部分）：可以与 nums[i]、nums[j] 构成三角形；
• 第 2 部分（图中红色部分）：不可以与 nums[i]、nums[j] 构成三角形。

我们可以找第 1 个大于等于两边之和的下标 k，此时区间 [j + 1..k) 的长度 k - j - 1 就是此时可以构成三角形的个数。

编码细节：

• 初始化的时候 left = j + 1，right = len ，这是因为如果最后找到了第 1 个大于等于两边之和的下标是 len ，说明区间 [j + 1..len - 1] 里所有的元素都可以与 nums[i]、nums[j] 构成三角形；
• 因为找「第 1 个大于等于两边之和的下标」，所以 if 语句就写成「如果 nums[mid] 小于两边之和」，此时 mid 以及 mid 的左边都不是我们要找的，接下来应该在 [mid + 1..right] 里继续查找，此时设置 left = mid + 1。它的反面区间就是 [left..mid] 此时设置 right = mid。

参考代码：

import java.util.Arrays;

public class Solution {

    public int triangleNumber(int[] nums) {
        Arrays.sort(nums);
        int len = nums.length;
        int count = 0;
        for (int i = 0; i < len - 2; i++) {
            for (int j = i + 1; j < len - 1; j++) {
                // 找到第 1 个大于等于两边之和的下标
                int left = j + 1;
                int right = len;
                while (left < right) {
                    int mid = (left + right) / 2;
                    if (nums[mid] < nums[i] + nums[j]) {
                        left = mid + 1;
                    } else {
                        right = mid;
                    }
                }
                count += (left - j - 1);
            }
        }
        return count;
    }
}

时间复杂度：$O(N^2 \log N)$​，这里 $N$​ 是输入数组的长度。对输入数组排序 $O(N \log N)$​，枚举第一条边 $O(N)$​，枚举第二条边 $O(N)$​，二分查找第三条边的边界 $O(\log N)$​，综合以上 $O(N \log N + N^2\log N) = O(N^2 \log N)$​。