WebGL normal 法线 旋转 逆矩阵转置

法线变换、逆转置、伴随转置 - 知乎 (zhihu.com)

Shader

• 此时的normal是在世界空间下的normal
• 因为顶点根据模型矩阵进行了更新,所以normal也要进行更新
• 更新方式是通过下面这种方式

attribute vec3 vNormal;
layout (location = 1) in vec3 normal;
vNormal = mat3(transpose(inverse(model))) * normal;

简单论证

引理：若两向量垂直，其中一个缩放S，另一个缩放  ，它们还垂直。 证：

• 设  即 ，
•  (因为是缩放矩阵,所以只有斜对线才有)，
• a用S缩放得a'，b用 缩放得b'。
• 则 ,
•  , 
•  ， 
•  ，
• 所以  。

应用

• 矩阵M将 变成为 ，法线为N。
• 求构造矩阵X，将N变换为与 垂直的向量N'。

解：

• 设 （其中  为旋转矩阵，  为缩放矩阵）。
• 到 变换过程如下：
• 
• 现在来构造N到N'的变换过程，根据引理知，只要照抄到 的变换过程并将 替换为，即可保证每步法线都与三角面垂直，从而最终N'与 垂直：
• 
• 所以 
• 
• 
• 
• （旋转矩阵逆等于转置   ，缩放矩阵是对角阵 ，所以）
• 
• 所以  注： （1）一般情况下不能保证向量经  变换后仍是单位长度，故需进行单位化。 （2）如果  中所有  均为单位阵，即无缩放，则 。即：无缩放时可直接用M作为法线变换矩阵，不用单位化。 （3）如果  中所有  的对角线元素均相等（假设均为  ），即等比缩放，则 ，所以，其中系数  会在单位化时消除。所以：只有等比缩放时可直接用M作为法线变换矩阵，需要单位化。或者如果知道缩放系数k的值，用  作为法线变换矩阵，则无需单位化。