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题目
编写一个程序，通过填充空格来解决数独问题。
一个数独的解法需遵循如下规则：
1、数字 1-9 在每一行只能出现一次。
2、数字 1-9 在每一列只能出现一次。
3、数字 1-9 在每一个以粗实线分隔的 3x3 宫内只能出现一次。
空白格用 ‘.’ 表示。
提示：
给定的数独序列只包含数字 1-9 和字符 ‘.’ 。
你可以假设给定的数独只有唯一解。
给定数独永远是 9x9 形式的。
核心思路的不断细化
算法的核心思路就是对每一个空着的格子穷举 1 到 9，如果遇到不合法的数字（在同一行或同一列或同一个 3×3 的区域中存在相同的数字）则跳过，如果找到一个合法的数字，则继续穷举下一个空格子。
写出核心框架：
1、核心框架
void solveSudoku(vector<vector<char>>& board) {
backtrack(board, 0, 0);
}
void backtrack(vector<vector<char>>& board, int hang, int lie) {
// 就是对棋盘的每个位置进行穷举
for (int i = hang; i < 9; i++) {
for (int j = lie; j < 9; j++) {
// 做选择
backtrack(board, i, j);
// 撤销选择
}
}
}
2、考虑到每个位置的工作
对于每个位置有1~9的选择，这样就变成了3重嵌套循环。
void backtrack(vector<vector<char>>& board, int hang, int lie) {
// 就是对每个位置进行穷举
for (int i = hang; i < 9; i++) {
for (int j = lie; j < 9; j++) {
for (char ch = '1'; ch <= '9'; ch++) {
// 做选择
board[i][j] = ch;
// 继续穷举下一列，
backtrack(board, i, j + 1);
// 撤销选择
board[i][j] = '.';
}
}
}
}
3、考虑到到达最后一列、该位置的数已经预置的情况
1、当lie到达超过最后一个索引时，转为增加hang开始穷举下一行。
2、如果当前位置元素不为“.”，那么跳过即可。
3、穷举的时候如果遇到符合规则的数字，填入，否则跳过。
void backtrack(vector<vector<char>>& board, int hang, int lie) {
if(lie==9)
{
backtrack(board, hang+1, 0);
}
// 就是对每个位置进行穷举
for (int i = hang; i < 9; i++) {
for (int j = lie; j < 9; j++) {
// 如果该位置是预设的数字，不用我们操心
if (board[i][j] != '.') {
backtrack(board, i, j + 1);
return;
}
//如果不是预置的数字
for (char ch = '1'; ch <= '9'; ch++) {
// 如果遇到符合规则的数字，填入
if (isValid(board, i, j, ch)){
// 做选择
board[i][j] = ch;
// 继续穷举下一列，
backtrack(board, i, j + 1);
// 撤销选择
board[i][j] = '.';
}
}
}
}
}
4、判断是否符合规则的函数
规则如下：
1、数字 1-9 在每一行只能出现一次。
2、数字 1-9 在每一列只能出现一次。
3、数字 1-9 在每一个以粗实线分隔的 3x3 宫内只能出现一次。
翻译成函数：
注意这里对第3个规则的描述：
// 判断 board[i][j] 是否可以填入 n
bool isValid(vector<vector<char>>& board, int hang, int lie, char n) {
for (int i = 0; i < 9; i++) {
// 判断行是否存在重复
if (board[hang][i] == n) return false;
// 判断列是否存在重复
if (board[i][lie] == n) return false;
// 判断 3 x 3 方框是否存在重复
if (board[(hang/3)*3 + i/3][(lie/3)*3 + i%3] == n)
return false;
}
return true;
}
下面是这个式子的含义，并且将i=0~8模拟了一下：
5、确定递归终止条件+确定函数返回值
如果递归完最后一行，那么我们就可以返回我们的结果了。
如果找到一个解我们的任务就结束了，本题并没有要求找到所有解。
如果一个位置遍历完所有数字，都不符合，这说明此路不通，应该及时返回false。
如果每个位置都遍历过了，结果都没有返回true，说明，这个数独棋盘没有解，返回false。
所以使用bool类型的值作为返回值：
if(hang == 9) return true;
完整的回溯函数代码应该如下：
bool backtrack(vector<vector<char>>& board, int hang, int lie) {
//遍历完这一行最后一列，转而遍历下一行
if(lie==9)
{
return backtrack(board, hang+1, 0);
}
//找到一个解，返回
if(hang == 9) return true;
// 就是对每个位置进行穷举
for (int i = hang; i < 9; i++) {
for (int j = lie; j < 9; j++) {
// 如果该位置是预设的数字，不用我们操心
if (board[i][j] != '.') {
return backtrack(board, i, j + 1);
}
//如果不是预置的数字
for (char ch = '1'; ch <= '9'; ch++) {
// 如果遇到符合规则的数字，填入
if (isValid(board, i, j, ch)){
// 做选择
board[i][j] = ch;
// 继续穷举下一列，如果找到了一个解，立即结束
if(backtrack(board, i, j + 1) == true) return true;
// 撤销选择
board[i][j] = '.';
}
}
// 穷举完 1~9，依然没有找到可行解，此路不通
return false;
}
}
return false;
}
AC代码
class Solution {
public:
// 判断 board[i][j] 是否可以填入 n
bool isValid(vector<vector<char>>& board, int hang, int lie, char n) {
for (int i = 0; i < 9; i++) {
// 判断行是否存在重复
if (board[hang][i] == n) return false;
// 判断列是否存在重复
if (board[i][lie] == n) return false;
// 判断 3 x 3 方框是否存在重复
if (board[(hang/3)*3 + i/3][(lie/3)*3 + i%3] == n)
return false;
}
return true;
}
bool backtrack(vector<vector<char>>& board, int hang, int lie) {
//遍历完这一行最后一列，转而遍历下一行
if(lie==9)
{
return backtrack(board, hang+1, 0);
}
//找到一个解，返回
if(hang == 9) return true;
// 就是对每个位置进行穷举
for (int i = hang; i < 9; i++) {
for (int j = lie; j < 9; j++) {
// 如果该位置是预设的数字，不用我们操心
if (board[i][j] != '.') {
return backtrack(board, i, j + 1);
}
//如果不是预置的数字
for (char ch = '1'; ch <= '9'; ch++) {
// 如果遇到符合规则的数字，填入
if (isValid(board, i, j, ch)){
// 做选择
board[i][j] = ch;
// 继续穷举下一列，如果找到了一个解，立即结束
if(backtrack(board, i, j + 1) == true) return true;
// 撤销选择
board[i][j] = '.';
}
}
// 穷举完 1~9，依然没有找到可行解，此路不通
return false;
}
}
return false;
}
void solveSudoku(vector<vector<char>>& board) {
backtrack(board, 0, 0);
return;
}
};
