上一篇文章介绍了边缘检测的一些基本概念。本文是边缘检测系列的第二篇，介绍两个成熟的边缘检测算法：Sobel算子和Canny算子。

Sobel算子

Sobel算子是基于梯度的边缘检测算法。 上一篇文章中我们已经得出结论：在图像中边缘所在的位置梯度较大。 而Sobel算子正是利用两个$3\times3$的卷积核，与图像做卷积，得出各处的梯度（两个卷积核分别为x方向和y方向）。

Sobel算子的两个卷积核分别如下：

Sobel卷积核的分解

上述的Sobel卷积核可以分解成为两部分，分别是高斯平滑和梯度计算：

其中$\left[ \begin{matrix} 1\\ 2\\ 1 \end{matrix} \right]$用来进行高斯平滑，$\left[ \begin{matrix} +1 & 0 & -1 \end{matrix} \right]$用来计算梯度。

Sobel算子的结果

和上一篇文章一样，通过以下公式计算得到结果的大小和方向：

总而言之，Sobel算子可以一步到位进行图像的平滑和梯度计算，图像经过Sobel算子得到的结果中值比较大的地方即为边缘所在地。

如下图所示，左上为原图，右上和左下分别为$G_y$和$G_x$，右下为$G$的结果。在右下图中较亮的地方为图像上的边缘（在实作时一般选取一定的阈值，大于阈值的像素被认为是边缘）。

Sobel算子的缺陷

Sobel算子是简单的边缘检测方法，其具有以下两方面缺陷：

1. 局部性较差：$G$仅为简单计算梯度，在边缘附近的几个像素均会出现值较大的情况，导致判断出的边缘“比较粗”
2. 对于特定的方向较为敏感：Sobel算子只计算横向和纵向两个方向的梯度，对于斜向的边缘，容易被遗漏，同时在这两个方向上容易出现假阳性

Canny算子

和简单的Sobel算子相比，Canny算子考虑的情况更多、结果更准确，也是计算机视觉中更加常用的边缘检测算法。

上一节中的Sobel算子完成了两个步骤：一是利用高斯平滑来处理噪声，二是计算了图像梯度的强度和方向。 带来的缺点是结果的本地化不够好。 而Canny算子在Sobel算子的基础之上（即Canny算子中首先需要计算Sobel算子的结果），继续完成了两个步骤：

• 非极大值压制
• 利用迟滞阈值对边缘进行筛选

非最大值压制

上一节中我们得到的结论是Sobel算子的本地化不够好，这个问题在于我们把梯度的强度大于阈值的像素均认为是边缘。但实际上，假设一段区域的梯度值如下图所示，则只有在极大值的位置才应该被判断为边缘。

如下图所示，假设$|\nabla G|(x,y)$为点$(x,y)$的梯度值，则进行非极大值压制的公式如下（其中$x'$和$x''$是$x$在边缘切向方向的相邻点）

下图是经过非极大值压制处理以后边缘的变化，可以发现非极大值压制使得边缘更加精细。

迟滞阈值

到目前为止我们对于边缘的判断是通过单一的阈值，即把经过处理后梯度值比阈值大的点认为是边缘。 但单一的阈值很难选取，阈值过高容易造成边缘的不连续（如下左图），而阈值选取过低则会引入一些其他噪声（如下右图）

迟滞阈值法通过设定两个阈值（一个高阈值H和一个低阈值L）来解决这个问题：

• 如果梯度值小于L，则不作为边缘
• 如果梯度值大于H，则作为强边缘
• 如果梯度值介于L和H之间，则作为弱边缘

强边缘直接被视为边缘，而弱边缘被选中作为边缘的条件是：

• 直接与强边缘相连
• 通过相邻的其它弱边缘与强边缘相连

Canny边缘检测算法流程

到目前为止我们已经介绍了Canny中的所有过程，总结如下：

1. 首先对于图像进行高斯平滑并计算$x$和$y$方向的梯度
2. 计算梯度的值和方向
3. 进行非极大值压制——减小边缘宽度
4. 进行迟滞阈值法筛选

最终其效果如下：

本文总结

本文介绍了两种边缘检测算子——Sobel算子与Canny算子。 其中Sobel算子是基础而简单的，Canny算子更加常用和健壮。 下一篇文章中我们将介绍Canny边缘检测算法的Python实现，敬请期待。