从屏幕空间变换回局部空间

在模型空间(Local Space), 世界空间(World Space), 视空间(View/Eye Space)间变换点或向量是容易的, 只需要操作矩阵与逆矩阵即可.

将点或向量在NDC与屏幕空间(Screen Space)间变换也是容易的, 不做介绍.

真正的难点是如何将点或向量从NDC变换回到视空间.

将点从NDC变换回视空间(以透视投影为例)

有投影矩阵:

有在视空间上的点(齐次坐标, $P_w = 1.0$表示该齐次坐标代表一个点)

已知$N = C/C_w(C: P在裁剪空间的表示, N: P在NDC中的表示)$, 可变形为$C = NC_w$. 但$C_w$是未知量, 我们需要根据已有条件去推断它, 即建立这样一个关系: $f: N\rightarrow C_w$.

推断$f: N\rightarrow C_w$

已知

$$C_w = E_1P_z\tag{1}$$

$\because C=NC_w$ $\therefore C_z=N_zC_w\Longrightarrow$

$$T_1P_z+T_2=N_zC_w\tag{2}$$

变形(1)式, 得:

$$P_z=C_w/E_1$$

带入(2)式, 得:

$$\frac{T_1}{E_1}C_w+T_2=N_zC_w\\ \Rightarrow(N_z-\frac{T_1}{E_1})C_w=T_2\\ \Rightarrow C_w=\frac{T_2}{N_z-\frac{T_1}{E_1}}\\$$

已知$C_w$, 那么NDC到裁剪空间的变换即为

从裁剪空间到视空间就简单了, 乘以一个投影矩阵的逆矩阵就可以了

向量能否在视空间与NDC间自由变换(在透视变换中)

先说答案, 不能.

视空间上的向量可以用齐次坐标表示为

变换到裁剪空间为

经过透视除法到NDC

容易发现, $N_z=T_1/E_1$, $T_1/E_1$常大于1, 也就是说向量$\overrightarrow{P}$经过变换后绝大多数情况下会被直接裁剪掉, 就算通过, $\overrightarrow{P}$也会被拍扁到Z平面$T_1/E_1$上, 丢失深度信息.

所以向量$\overrightarrow{P}$不可能从视空间变换到NDC; 同理, 向量$\overrightarrow{N}$也不可能从NDC变换到视空间.

但要注意, 向量在视空间和裁剪空间间变换是没有问题的, 因为不牵涉到透视除法.

那么, 在正射投影中, 向量能否在视空间与NDC间自由变换呢?

能!

为什么?

因为没有该死的透视除法了🙃.

小贴士: 正射投影矩阵长这样👉

$$\begin{bmatrix} A & 0 & 0 & 0\\ 0 & B & 0 & 0\\ 0 & 0 & T_1 & T_2\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix}$$

参考资料

• [1] compute eye space from window space

• [2] perspective projection matrix