1 基本概念

1.1 什么是数据结构

数据结构定义存储数据的方式以及定义需要对这些数据进行的操作，算法实现对这些数据的操作。

例1：如何在书架上摆放图书？（1）新书怎么插入？2）如何找到某本指定的书？（问题分解）

方式1：随便放新书插入：O(1)；查找书籍：O(N)
方式2：按书名拼音字母新书查入：O(logN) +移动书；查找书籍：O(logN)
方式3：书类别+拼音字母空间如何分配？类别应该分多细？ 解决问题方法的效率，跟数据的组织方式有关

例2：PrintN 顺序打印从1到N的全部正整数循环VS递归 解决问题方法的效率，跟空间的利用率有关
例3：多项式求值

让被测函数重复运行充分多次，使得测出的总的时钟打点间隔充分长，最后计算被测函数平均每次运行的时间即可!

数据结构：数据对象在计算机中的组织方式，数据的逻辑结构（线型结构：1对1；树型结构：1对多；图型结构：多对多），数据的物理存储结构（顺序存储，链式存储）；数据对象必定与一系列加在其上的操作相关联；完成这些操作的方法就是算法。

描述数据结构的方式：抽象数据类型

数据类型：数据对象集；数据集合相关联的操作集
抽象：描述数据类型的方法不依赖于具体实现。与存放数据的机器无关；与数据存储的物理结构无关；与实现操作的算法和编程语言无关。只关心是什么，不关心如何做到。（接口？）

1.2 什么是算法

一个有限指令集；接受一些输入（有些情况下不需要输入）；产生输出；一定再有限步骤之后终止；每一条指令必须：（1）有充分明确的目标，不可以有歧义；（2）计算机能处理的范围之内；（3）描述不应依赖于任何一种计算机语言及具体的实现手段。空间复杂度S(n)、时间复杂度T(n) 和输入数据的规模相关（问题的规模）

double f(int n, double a[], double x)
{
	int i;
	double p = a[0];
	for (i = 1; i <= n; i++)
	{
		p += (a[i] * pow(x, i));
	}
	return p;
}

$T(n)=C_1n^2+C_2n$ 次乘法

double f(int n, double a[], double x)
{
	int i;
	double p = a[n];
	for (int i = n; i > 0; i--)
	{
		p = p * x + a[n - 1];
	}
	return p;
}

$T(n)=C*n$ 次乘法

最坏情况复杂度 $T_{worst} (n)$ 、平均复杂度 $T_{avg} (n)$
复杂度的渐进表示法 $O(f(n))$ ——最小上界 $Ω(g(n))$ ——最大下界
$T_1 (n)=O(f_1 (n)) T_2 (n)=O(f_2 (n))$
$T_1 (n)+T_2 (n)=max( O(f_1 (n)),O(f_2 (n)))$
$T_1 (n)×T_2 (n)=O(f_1 (n)×f_2 (n))$

一个for循环的时间复杂度等于循环次数乘以循环体代码的复杂度
if-else 结构的复杂度取决于if的条件判断复杂度和两个分支部分的复杂度，总体复杂度取三者中最大。

1.3 应用实例：最大子列和问题

给定N个整数的序列，求其最大子列和

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>
#include <math.h>

using namespace std;

#define N 100

int Array[N];

void GetRand()
{
	//srand(time(0));
	for (int i = 0; i < N; i++)
	{
		Array[i] = rand() % N - N / 2;
	}
}

int MaxSubSeqSum1()
{
	int ThisSum, MaxSum = 0;
	for (int i = 0; i < N; i++)
	{
		for (int j = i; j < N; j++)
		{
			ThisSum = 0;
			for (int k = i; k <= j; k++)
			{
				ThisSum += Array[k];
			}
			if (MaxSum < ThisSum)
			{
				MaxSum = ThisSum;
			}
		}
	}
	return MaxSum;
}

int MaxSubSeqSum2()
{
	int ThisSum, MaxSum = 0;
	for (int i = 0; i < N; i++)
	{
		ThisSum = 0;
		for (int j = i; j < N; j++)
		{
			ThisSum += Array[j];
			if (ThisSum > MaxSum)
			{
				MaxSum = ThisSum;
			}
		}
	}
	return MaxSum;
}

int MaxSubSeqSum3(int Left, int Right)
{
	if (Left >= Right)
	{
		return Array[Left];
	}
	int Mid = (Left + Right) / 2;
	int LeftSum = MaxSubSeqSum3(Left, Mid);
	int RightSum = MaxSubSeqSum3(Mid + 1, Right);
	int MaxLeftSumFromMid = 0, Temp = 0;
	for (int i = Mid; i >= Left; i--)
	{
		Temp += Array[i];
		if (MaxLeftSumFromMid < Temp)
		{
			MaxLeftSumFromMid = Temp;
		}
	}
	int MaxRightSumFromMid = 0;
	Temp = 0;
	for (int i = Mid + 1; i <= Right; i++)
	{
		Temp += Array[i];
		if (MaxRightSumFromMid < Temp)
		{
			MaxRightSumFromMid = Temp;
		}
	}
	int MaxSumWithMid = MaxLeftSumFromMid + MaxRightSumFromMid;
	int MaxSum = LeftSum;
	if (MaxSum < RightSum)
	{
		MaxSum = RightSum;
	}
	if (MaxSum < MaxSumWithMid)
	{
		MaxSum = MaxSumWithMid;
	}
	return MaxSum;
}

int MaxSubSeqSum4()
{
	int MaxSum = 0, ThisSum = 0;
	for (int i = 0; i < N; i++)
	{
		ThisSum += Array[i];
		if (MaxSum < ThisSum)
		{
			MaxSum = ThisSum;
		}
		else if (ThisSum < 0)
		{
			ThisSum = 0;
		}
	}
	return MaxSum;
}

int main()
{
	GetRand();
	for (int i = 0; i < N; i++)
	{
		printf("%d ", Array[i]);
	}
	printf("\n");
	printf("MaxSubSeqSum is %d\n", MaxSubSeqSum4());
}

MaxSubSeqSum1—— $T(N)=O(N^3)$
MaxSubSeqSum2—— $T(N)=O(N^2)$
MaxSubSeqSum3—— $T(N)=O(NlogN)$
MaxSubSeqSum4—— $T(N)=O(N)$ 凡是时间复杂度为 $O(N^2)$ 的程序，想办法降到O(NlogN)

递归程序复杂度计算方法（以MaxSubSeqNum3为例）

$T(N)=2T(N/2)+O(N),T(1)=O(1)$
$T(N)=2(T(N/4)+O(N/2))+O(N)$
$T(N)=2^kT(1)+K*O(N),N=2^k$
$T(N)=O(NlogN)$

数据结构：基本概念

1 基本概念

1.1 什么是数据结构

1.2 什么是算法

1.3 应用实例：最大子列和问题