LTR排序算法LambdaRank原理详解在互联网应用场景中，排序是非常核心的模块。一个最直接的应用，就是日常生活常用到

1.前言

在互联网应用场景中，排序是非常核心的模块。一个最直接的应用，就是日常生活常用到的搜索引擎。用户通过搜索框提交query，搜索引擎会返回一些与query相关的文档，并根据相关度大小排序后展示给用户。这一应用场景中，最相关的一些文档能否通过排序后优先展示，将直接影响用户。除些之外，排序算法也应用于在线广告、协同过滤、多媒体检索等领域。

传统排序方法，基于人工方式做策略组合，在数据量较小时能够起到作用。随着互联网数据量的增加，这种方法变得越来越困难。因而，更自然的解决方案，是开发基于机器学习的搜索引擎排序算法。这种算法通常称之为Learning to Rank(LTR)。

LTR算法中，LambdaMART^[1]是最常被使用的一种Listwise算法，在各大搜索引擎中均有应用。从其名称上，可以知道其由Lambda和MART两部分组合成，其中MART(Multiple Additive Regression Tree)表示的是底层训练模型，而Lambda表示的是MART求解过程使用的梯度。

为什么LambdaMART可以很好的应用于排序场景？这主要受益于Lambda梯度的使用。但Lambda最初是在LambdaRank模型中被提出，而LambdaRank模型又是在RankNet模型的基础上改进而来。

下面我们将从MART、Lambda来深入了解LambdaMART算法。

2.MART算法

说起MART(Multiple Additive Regression Tree)，大家可能比较陌生。但是提起GBDG(Gradient Boosting Decision Tree)，很多人都熟悉。没错，MART本质上就是梯度提升决策树GBDT。所以，我们很容易知道MART的一些特征：

基于多个决策树来预测结果；
决策树之间通过加法模型叠加结果；
每棵决策树都是针对之前决策树的不足进行改进。

本质上，MART是一种Boosting思想下的算法框架。它通过不断迭代弱模型，改进新模型的能力，最终得到的是所有模型的叠加，这一结果起到足以预测真实值的强模型。关于MART算法细节可参考[8]，这里不再详细说明。

那么在LambdaMART中，MART的损失函数是如何定义的？这里就必须了解下Lambda的演化史了。

3.Lambda

Lambda最早诞生于LambdaRank算法，而LambdaRank算法改进自RankNet算法。为了对排序算法有更深刻的理解，我们先来了解下RankNet算法。

2.1RankNet

我们知道，在排序中，常用的评价指标NDCG，MAP，ERR都是不可导的，即无法求梯度，这就导致了无法运用梯度下降算法求解排序问题。RankNet^[2]以一种巧妙方法，将无法用梯度下降求解的排序问题，优化为对概率的交叉熵损失函数，继而可用梯度下降算法求解。

下面来看看RankNet是如何优化排序问题的。RankNet的训练目标是得到一个模型 $s$ ，输入是文档 $x$ ，输出是该文档的得分： $s = f(x;W)$ 其中 $W$ 表示模型 $s$ 的参数集。

有了模型 $s$ 后，对于文档 $x_{i}$ 和 $x_{j}$ ，我们可以分别得到其得分 $s_{i}$ 和 $s_{j}$ ： $s_{i} = f(x_{i};W),s_{j} = f(x_{j};W)$

RankNet巧妙的地方在于，它通过偏序关系将文档之间的得分与文档顺序关联起来，进而得出概率。具体地，记 $P_{ij}$ 表示文档 $x_{i}$ 排在 $x_{j}$ 前面的概率，则：

$P_{ij} = P(x_i \rhd x_j) = \frac{\exp\bigl(\sigma\cdot(s_i - s_j)\bigr)}{1 + \exp\bigl(\sigma\cdot(s_i - s_j)\bigr)} = \frac{1}{1 + \exp\bigl(-\sigma\cdot(s_i - s_j)\bigr)}$

可以看到，RankNet使用了sigmoid函数来转化排序概率，本质上就是逻辑回归！这里 $\sigma$ 影响的是sigmoid函数的形状，对最终结果影响不大，为简化说明，后文将使用 $\sigma$ =1。

在实际应用中，文档 $x_{i}$ 排在 $x_{j}$ 之前的真实概率我们是知道的，这里记为 $\bar{P}_{ij}$ 。我们约定，如果 $x_{i}$ 排在 $x_{j}$ 之前则 $\bar{P}_{ij}$ 为1，否则为0。

接着，根据模型概率 $P_{ij}$ 和真实概率 $\bar{P}_{ij}$ ，使用交叉熵可衡量出模型在排序文档 $x_{i}$ 和 $x_{j}$ 产生的损失函数：

\begin{aligned} L_{ij} & {}= -\bar{P}_{ij}\log P_{ij} - (1 - \bar{P}_{ij})\log (1 - P_{ij})\\ & {}= \frac12 (1 - S_{ij})\cdot(s_i - s_j) + \log\Bigl\{1 + \exp\bigl(-(s_i - s_j)\bigr)\Bigr\} \end{aligned}

上面公式中，我们使用了符号 $S_{ij}$ ，它表示的是文档 $x_{i}$ 与 $x_{j}$ 的真实序关系:

S_{ij}=\left\{ \begin{aligned} 1 &，x_{i}比x_{j}更相关 \\ 0 &，x_{i}比x_{j}相关性一样 \\ -1 &，x_{j}比x_{i}更相关 \end{aligned} \right.

最后，RankNet的损失函数定义如下，目标是使得所有文档对的排序概率估计的损失最小：

L = \sum_{(i, j) \in D}L_{ij}

这里， $D$ 表示的是一次查询中所有文档对集合。

RankNet的训练目标是求解模型 $s$ 的参数 $W$ ，此时可通过梯度下降法求解： $w_k \to w_k - \eta\frac{\partial L}{\partial w_k}$

2.2LambdaRank

RankNet避开了直接对排序中的评价指标进行优化，以概率模型抽象解决了排序中的相关顺序问题。但是由于没有涉及到评价指标的优化，实际应用中存在一些问题。

如图所示^[4]，每个线条表示一个文档，蓝色表示相关文档，而灰色表示不相关文档，排在前面的文档将优先展示给用户。由于RankNet只关心两两文档之间的顺序，忽视了文档的具体顺序信息，那么当面对左图的情形时，假设此时损失值为13，RankNet通过把排在首位的相关文档下调3个位置，排在倒数第二的相关文档上调5个位置，从而将损失值降为11。但是，对于用户来说，通常更关注top k个结果的顺序，在优化过程中下调top结果中的相关文档并不能令用户满意。

图1右图左边黑色的箭头表示RankNet下一轮的调序方向和强度，但用户真正需要的是右边红色箭头代表的方向和强度，即更关注靠前位置的相关文档的排序位置的提升。

所以，排序中的评价指标NDCG更能反应用户对相关性的潜在需求。这里问题就来了：能不能通过NDCG指标来定义梯度呢？

LambdaRank^[3]正是基于这个思想演化而来，其中Lambda指的就是红色箭头，代表下一次迭代优化的方向和强度，也就是梯度。

我们来看看LambdaRank是如何通过NDCG指标定义梯度的。首先，对于RankNet的梯度，我们有如下推导：

\frac{\partial L}{\partial w_k} = \sum_{(i, j) \in P}\frac{\partial L_{ij}}{\partial w_k} = \sum_{(i, j) \in P} \frac{\partial L_{ij}}{\partial s_i}\frac{\partial s_i}{\partial w_k} + \frac{\partial L_{ij}}{\partial s_j}\frac{\partial s_j}{\partial w_k},

进一步的，可以观察到对模型 $s$ 的求导有下面的对称性：

\begin{aligned} \frac{\partial L_{ij}}{\partial s_i} & {} = \frac{\partial \biggl\{\frac12 (1 - S_{ij})(s_i - s_j) + \log\Bigl\{1 + \exp\bigl(-(s_i - s_j)\bigr)\Bigr\}\biggr\}}{\partial s_i}\\ & {}= \frac12 (1 - S_{ij}) - \frac{1}{1 + \exp\bigl(s_i - s_j\bigr)} \\ & {}= \Biggl[\frac12(1 - S_{ij}) - \frac{1}{1 + \exp\bigl(s_i - s_j\bigr)}\Biggr] \\ & {}= -\frac{\partial L_{ij}}{\partial s_j}. \end{aligned}

因此，LambdaRank有如下关于文档 $x_i$ 和 $x_j$ 的Lambda定义：

\lambda_{ij}= \frac{\partial L_{ij}}{\partial s_i} = -\frac{\partial L_{ij}}{\partial s_j},

我们首先考虑有序对 $(i, j)$ ，因而有 $S_{ij} = 1$ ，于是上述公式可以进一步简化：

\lambda_{ij}= - \frac{1}{1 + \exp\bigl(s_i - s_j\bigr)}

至此可以得到每个文档 $x_i$ 的Lambda值为：

\lambda_{i} = \sum_{(i, j) \in I}\lambda_{ij} - \sum_{(j, i) \in I}\lambda_{ij}

公式中 $I$ 是文档对( $x_i$ ， $x_j$ )的集合，其中文档 $x_i$ 排在 $x_j$ 前面，即更相关。

为了加强排序中顺序前后的重要性，LambdaRank进一步在Lambda中引入评价指标Z（如NDCG），把交换两个文档的位置引起的评价指标的变化 $\lvert\Delta Z_{ij}\rvert$ 作为其中一个因子：

\lambda_{ij} = - \frac{1}{1 + \exp\bigl(s_i - s_j\bigr)} \cdot \lvert\Delta Z_{ij}\rvert

可以这么理解Lambda，Lambda量化了一个待排序的文档在下一次迭代时应该调整的方向和强度。

可以看出，LambdaRank不是通过显示定义损失函数再求梯度的方式对排序问题进行求解，而是分析排序问题需要的梯度的物理意义，直接定义梯度，可以反向推导出LambdaRank的损失函数为： $L_{ij} = \log\Bigl\{1 + \exp\bigl(s_i - s_j\bigr)\Bigr\}\cdot\lvert\Delta Z_{ij}\rvert$

2.3LambdaMART

理解了Lambda和MART的定义后，对LambdaMART理解起来就不难了。LambdaMART模型结果由许多棵决策树通过Boosting思想组成，每棵树的拟合目标是损失函数的梯度，这里的梯度采用Lambda方法计算。

下面是Lambda算法的具体步骤^[5]：

算法的参数有：决策树的数量M、叶子节点数L和学习率 $\eta$ 。

初始时，没有决策树模型，因而每个文档的模型得分都为0。
针对每棵树的训练，算法会遍历训练数据集中label不同的文档对，求出将label不同的文档对位置互换时导致的指标变化 $\lvert\Delta Z_{ij}\rvert$ 以及 $\lambda_{ij}$ ，进而得到每个文档的Lambda值 $\lambda_{i}$ 。
计算每个 $\lambda_{i}$ 的导数 $w_{i}$ ，用于后面的Newton step求解叶子节点的数值。
以所有文档的 $\lambda$ 作为label训练一棵决策树，注意这里 $\lambda$ 是决策树的拟合目标。建立决策树的关键是如何决定分裂节点。LambdaMART采用最朴素的最小二乘法，也就是最小化平方误差和来分裂节点：即对于某个选定的feature，选定一个值val，所有<=val的样本分到左子节点，>val的分到右子节点。然后分别对左右两个节点计算Lambda的平方误差和，并加在一起作为这次分裂的代价，进而选出代价最小的(feature,val)作为当前分裂点，最后生成一颗叶子节点数为L的决策树。
对上述生成的决策树，采用Newton step计算每个叶子节点的数值，即对落入该叶子节点的文档集，计算该叶子节点的输出值。
更新模型，将当前学习到的决策树加入到已有的模型中，用学习率v做regularization。

3.总结

LambdaMART是一种Listwise类型的LTR算法，它基于Lambda思想和MART算法，将搜索引擎结果排序问题转化为回归决策树问题。LambdaMART有很多优点，取一些列举如下^[7]：

直接求解排序问题，而不是用分类或者回归的方法；
可以将NDCG之类的不可求导的评价指标转换为可导的损失函数，具有明确的物理意义；
可以在已有模型的基础上进行Continue Training；
每次迭代选取gain最大的特征进行梯度下降，因此可以学到不同特征的组合情况，并体现出特征的重要程度（特征选择）；
对正例和负例的数量比例不敏感。

LTR排序算法LambdaRank原理详解