1、什么是动态规划
动态规划（Dynamic Programming，DP）是运筹学的一个分支，是求解决策过程最优化的过程。
2、一个模型和三个特征
2.1、一个模型（多阶段决策最优解模型）
一个模型指的是，动态规划适合解决的问题的模型，我们把这个模型定义为多阶段决策最优解模型。
我们一般是用动态规划来解决最优问题，而解决问题的过程，需要经历多个决策阶段。每个决策阶段都对应着一组状态。然后我们寻找一组决策序列，经过这组决策序列，能够产生最终期望求解的最优值。
2.2、三个特征
三个特征分别指的是，最优子结构、无后效性和重复子问题
2.3.1、最优子结构
最优子结构指的是，原问题的最优解包含子问题的最优解。反过来说就是，我们可以通过子问题的最优解，推导出原问题的最优解。如果我们把最优子结构，对应到我们前面定义的动态规划问题模型上，那我们也可以理解为，后面阶段的状态可以通过前面阶段的状态推导出来。
2.3.2、无后效性
无后效性有两层含义，第一层含义是，在推导后面阶段的状态的时候，我们只关心前面阶段的状态值，不关心这个状态是怎么一步一步推导出来的。第二层含义是，某阶段状态一旦确定，就不受之后阶段的决策影响。无后效性是一个非常宽松的要求。只要满足前面提到的动态规划问题模型，其实基本上都会满足无后效性
2.3.3、重复子问题
动态规划算法的关键在于解决重复子问题，这是动态规划算法的根本目的。重复子问题指的是，不同的决策序列，到达某个相同阶段时，可能会产生重复的状态。
3、两种动态规划解题思路总结
解决这种问题的思路，一般有两种，状态转移表法和状态转移方程法。
3.1、状态转移表法
一般能用动态规划解决的问题，都可以使用回溯算法的暴力搜索解决。所以当我们拿到问题的时候，我们可以先用简单的回溯算法解决，然后定义状态，每个状态表示一个节点，然后对应画出递归树。从递归树中，我们很容易可以看出来，是否存在重复子问题，以及子问题是如何产生的。以此来寻找规律，看是否能用动态规划解决。
找到重复子问题之后，接下来，我们有两种处理思路，第一种是直接用回溯加备忘录的方法，来避免重复子问题。从执行效率上来讲，跟动态规划解决思路没有差别。第二种是使用动态规划的解决方法，状态转移表法。那么状态转移表法是如何工作的呢？
我们先画出一个状态表。状态表一般都是二维的，所以你可以把它想象成二维数组。其中每个状态包含三个变量，行、列、数组值。我们根据决策的先后过程，从前往后，根据地推关系，分阶段填充状态表中的每个状态。最后，我们将这个递推填表的过程，翻译成代码，就是动态规划代码了。
3.1、状态转移方程法
状态转移方程法有点类似递归的解题思路。我们需要分析，某个问题如何通过子问题来递归求解，也就是所谓的最优子结构。根据最优子结构，写出递归公式，也就是所谓的状态转移方程。有了状态转移方程，代码实现就非常简单了。一般情况，有两种代码实现方法，一种是递归加备忘录（可以用数组表示），另一种是迭代递推。
4、实战
状态转移方程伪代码
# 初始化 base case
// 一般是二维的，也有一维，三维...
dp[0][0][...] = base
# 进行状态转移
for 状态1 in 状态1的所有取值：
for 状态2 in 状态2的所有取值：
for ...
dp[状态1][状态2][...] = 求最值(选择1，选择2...)
4.1、斐波那契数列
4.1.1、暴力递归（会超时）
class Solution {
public int fib(int n) {
if (n < 1) {
return 0;
}
if (n < 2) {
return 1;
}
return (fib(n - 1) + fib(n - 2)) % 1000000007;
}
}
4.1.2、动态规划
状态转移方程
class Solution {
public int fib(int n) {
if (n < 1) {
return n;
}
if (n < 3) {
return 1;
}
int[] dp = new int[n + 1];
dp[1] = 1;
dp[2] = 1;
for (int i = 3; i <= n; i++) {
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
dp[i] %= 1000000007;
}
return dp[n];
}
}
根据动态转移方程可以看出，当前n状态仅和之前n-1、n-2两个状态有关，这里就不需要用dp[]来存储所有的状态了，只需要用两个变量f1、f2保存前面两个状态即可。代码如下：
class Solution {
public int fib(int n) {
if (n < 1) {
return 0;
}
if (n < 3) {
return 1;
}
int f1 = 1, f2 = 1;
for (int i = 3; i <= n; i++) {
int temp = f1 + f2;
f1 = f2;
f2 = temp % 1000000007;
}
return f2;
}
}
5、小结
如果我们将这四种算法思想分一下类，那贪心、回溯、动态规划可以归为一类，而分治可以作为一类（因为动态规划跟其他三个都不大一样）。为什么这么说呢？前三个算法解决问题的模型，都可以抽象成本篇文章所讲的那个多阶段决策最优解模型，而分治算法解决的问题尽管大部分也是最优解问题，但是，大部分都不能抽象成多阶段决策模型。
回溯算法十个万金油。基本上能用动态规划、贪心解决的问题，我们都可以用回溯算法解决。回溯算法相当于穷举搜索。穷举所有的情况，然后对比得到最优解。不过，回溯算法的时间复杂度比较高，是指数级别的，只能用来解决小规模数据的问题。对于大规模数据的问题，用回溯算法解决的执行效率就很低了。
尽管动态规划比回溯算法高效，但是，并不是所有问题，都可以用动态规划来解决。能用动态规划解决的问题，需要满足是三个特征，最优子结构、无后效性和重复子问题。在重复子问题这一点上，动态规划和分治算法的区别非常明显；分治算法要求分割成的子问题，不能有重复子问题，而动态规划正好相反，动态规划之所以高效，就是因为回溯算法实现那种存在大量的重复子问题。
贪心算法实际上是动态规划算法的一种特殊情况。它解决子问题起来更高效，代码实现也更加简洁。不过，它可以解决的问题也更加有限。它能解决的问题需要满足三个条件，最优子结构、无后效性和贪心选择性（这里我们不怎么强调重复子问题）
其中最优子结构、无后效性跟动态规划中的无异。贪心选择性的意思是，通过局部最优的选择，能产生全局的最优选择。每一个阶段，我们都选择当前看起来最优的决策，所有阶段的决策完成后，最终由这些局部最优解构成全局最优解。
