状态估计基础
什么是估计
观测数据-准则解算-状态估计
准则： 最小二乘准则；最小方差准则
- 1建立模型: zn=Axn+vn。建立模型有假设--卡尔曼滤波：线性模型，高斯白噪声。若非线性就线性化它--进行一阶泰勒展开，忽略高阶项(扩展卡尔曼滤波)。若噪声不是高斯的，也用其他方法
- 2设定准则 =设定代价函数:误差平方法最小，最小方差最小，极大似然最大。不同情况用不同准则
- 3最大化或最小化求取估计值。 求解的方法可以创新，近似，假设
平滑：内插
滤波：利用当前时刻的量测估计当前时刻的状态=实时估计
最小二乘估计
一般最小二乘
一般最小二乘对所有观测值不分优劣，权重均相同
加权最小二乘
递推最小二乘
两种理解方式：
- 如上式，当前估计=上一时刻估计+修正，修正=权重×新息
- 第二种理解方式：把式子拆成
，当前时刻的估计等于在上一时刻估计和当前测量之间的加权求和
- 估计和测量的权重由各自的方差(各自的精度)(不确定度)决定
最小二乘优缺点总结
线性最小方差估计
【注】两个假设解出的X结果一样！
- 如果X、Z不服从正态分布，则线性最小方差估计只是所有线性估计中的最优者
- 如果X、Z服从正态分布，则线性最小方差估计和最小方差估计等同，是在所有估计中的最优者
- 不管如何，最小方差估计就是所有估计中的最优者
线性最小方差估计需要知道一阶矩和二阶矩，如果它们不变，则此随机过程是平稳随机过程
问题一：若是非平稳随机过程，(一阶矩和二阶矩等统计特性会随着时间的变化而变化)，上一时刻的统计特性知道了，有方法去求下一时刻的统计特性？---通过卡尔曼滤波的多出来的一个状态方程来迭代求解
问题二： 解决方法：引入递推式
卡尔曼滤波
离散系统的数学描述
- 离散化
- 出现了状态方程--解决非平稳随机过程的估计问题
如果是非线性模型，大概两个思路
- 模型线性化，最简单=扩展卡尔曼滤波 (最原始)---一阶泰勒展开后再用卡尔曼滤波
- 无迹卡尔曼滤波和粒子滤波，用一些离散的点去近似原本不满足的统计特性
☆☆重要的前提假设：
高斯白噪声 中的高斯是指概率分布是正态函数，而白噪声是指它的二阶矩不相关（自协方差只有当k=j，才不为零），一阶矩为常数(零均值)，是指先后信号在时间上的相关性。
如果是非高斯的噪声的，就不能用卡尔曼滤波了。如有色噪声 就需要用一些方法转化为白噪声
Q和R要已知，如果它们是变化的，就得用自适应滤波
- 初始值要已知 ，是因为卡尔曼滤波是递推式的，要从初始值开始递推，而且初始值不准不要紧，后面会逐渐收敛
- 不相关 是因为后期推导有很多Xk和Wk、Vk的二阶矩（协方差），不相关就可以让这些二阶矩为0，简化推导；注意，因为Z=HX+V,所以Zk也与Wk、Vk不相关
卡尔曼滤波推导
思路：用状态方程 来用上一时刻的值来对当前时刻的值进行预测，传感器测出量测值，这两个值有一个权重，怎么衡量谁准？---误差的方差 ，
总结
注意到增益计算回路和实时测量值Zn无关，所以可以离线计算！
应用的问题：
定常系统：
实际应用的问题：（假设不满足）：
☆☆卡尔曼滤波意义的总结
为什么噪声要零均值呢？
- ---为了保证估计error的均值为0，即保证估计的无偏性
为什么要有状态方程？
- 问题一：若是非平稳随机过程，(一阶矩和二阶矩等统计特性会随着 时间的变化而变化)，上一时刻的统计特性知道了，有方法去求下一时刻的统计特性？---通过卡尔曼滤波的多出来的一个状态方程来迭代求解
为什么X、Z要服从正态分布？
- ---因为如果X、Z服从正态分布，则线性最小方差估计和最小方差估计等同，是在所有估计中的最优者；如果X、Z不服从正态分布，则线性最小方差估计只是所有线性估计中的最优者；不管如何，最小方差估计就是所有估计中的最优者
为什么用递推式
- 因为量测值越多，估计精度高，但矩阵阶数变大，计算量变大
卡尔曼滤波应用举例（代码讲解）
卡尔曼滤波五个方程是不变的，编程序要改变的只是输入。
matlab程序：
