数据结构与算法之图的应用最短路径问题

Charles_FF
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前言

两点之间最短路径(起点到终点)的决策


                                                                           --

                                                                           -- 

                    

                                                                             --

                                                                             --

最短路径: V0—V1—V2—V4—V3—V6—V7—V8 

最短路径权值和: 1+3+1+2+3+2+4=16


最短路径-Dijkstra算法

代码初始化


final数组作⽤:表示V0到某个顶点Vw是否已经求得了最短路径的标记.如果V0到Vw已经有结果,则final[w]=1;

D数组作⽤:表示V0到某个顶点Vw的路径;

p数组作⽤:当前顶点的前驱顶点的下标;

第一次执行



!final[0~9]&&min+G.arc[k][w]<D[w]

w=0,final[0]=1条件不满⾜

w=1,final[1]=0,G.arc[1][1]=0;1<1条件不满⾜

w=2,final[2]=0,G.arc[1][2]=3;1+3<D[2]=5 找到V0->V2更短路径.更新D[2]=4;p[2]=1;

w=3,final[3]=0,G.arc[1][3]=7;1+7<D[3]=∞ 找到V0->V3更短路径.更新D[3]=1+7=8;p[3]=1;

w=4,final[4]=0,G.arc[1][4]=5;1+5<D[4]=∞ 找到V0->V4更短路径.更新D[4]=1+5=6;p[4]=1;

w=5,final[5]=0,G.arc[1][5]=∞;1+∞<D[5]=∞条件不成⽴

w=6,final[6]=0,G.arc[1][6]=∞;1+∞<D[6]=∞条件不成⽴

w=7,final[7]=0,G.arc[1][7]=∞;1+∞<D[7]=∞条件不成⽴

w=8,final[8]=0,G.arc[1][8]=∞;1+∞<D[8]=∞条件不成⽴

第二次执行              



!final[0~9]&&min+G.arc[k][w]<D[w]

w=0,final[0]=1,条件不满⾜

w=1,final[1]=1,条件不满⾜

w=3,final[3]=0,G.arc[2][3]=∞;4+∞<D[3]=8;条件不成⽴

w=4,final[4]=0,G.arc[2][4]=1;4+1<D[4]=6 找到V0->V4更短路径.更新D[4]=4+1=5;p[4]=2;

w=5,final[5]=0,G.arc[2][5]=7;4+7<D[5]=∞ 找到V0->V5更短路径.更新D[5]=4+7=11;p[5]=2;

w=6,final[6]=0,G.arc[2][6]=∞;4+∞<D[6]=∞条件不成⽴

w=7,final[7]=0,G.arc[2][7]=∞;4+∞<D[7]=∞条件不成⽴

w=8,final[8]=0,G.arc[2][8]=∞;4+∞<D[8]=∞条件不成⽴

第三次执行




w=0,final[0]=1,条件不满⾜

w=1,final[1]=1,条件不满⾜

w=2,final[2]=1,条件不满⾜

w=3,final[3]=0,G.arc[4][3]=2;5+2<D[3]=8;找到V0->V4->V3更短路径,更新D[3]=5+2=7;p[3]=4;

w=4,final[4]=1,条件不满⾜

w=5,final[5]=0,G.arc[4][5]=3;5+3<D[5]=11 找到V0->V5更短路径.更新D[5]=5+3=8;p[5]=4;

w=6,final[6]=0,G.arc[4][6]=6;5+6<D[6]=∞;找到V0->V6 更短路径,更新D[6]=5+6=11,p[6]=4

w=7,final[7]=0,G.arc[4][7]=9;5+9<D[7]=∞;找到V0->V7 的更短路径,更新D[7]=5+9=14,p[7]=4

w=8,final[8]=0,G.arc[4][8]=∞;5+∞<D[8]=∞条件不成⽴

第四次执行



w=0,final[0]=1,条件不满⾜

w=1,final[1]=1,条件不满⾜

w=2,final[2]=1,条件不满⾜

w=3,final[3]=1,条件不满⾜

w=4,final[4]=1,条件不满⾜

w=5,final[5]=0,G.arc[3][5]=∞;7+∞<D[5]=8;条件不满⾜

w=6,final[6]=0,G.arc[3][6]=3;7+3<D[6]=11;找到V0->V6更短路径,更新D[6]=7+3=10,p[6]=3

w=7,final[7]=0,G.arc[3][7]=∞;7+∞<D[7]=14;条件不满⾜

w=8,final[8]=0,G.arc[3][8]=∞;7+∞<D[8]=∞条件不成⽴

第无次执行



w=0,final[0]=1,条件不满⾜

w=1,final[1]=1,条件不满⾜

w=2,final[2]=1,条件不满⾜

w=3,final[3]=1,条件不满⾜

w=4,final[4]=1,条件不满⾜

w=5,final[5]=0,G.arc[3][5]=∞;7+∞<D[5]=8;条件不满⾜

w=6,final[6]=0,G.arc[3][6]=3;7+3<D[6]=11;找到V0->V6更短路径,更新D[6]=7+3=10,p[6]=3

w=7,final[7]=0,G.arc[3][7]=∞;7+∞<D[7]=14;条件不满⾜

w=8,final[8]=0,G.arc[3][8]=∞;7+∞<D[8]=∞条件不成⽴

第六次执行



w=0,final[0]=1,条件不满⾜

w=1,final[1]=1,条件不满⾜

w=2,final[2]=1,条件不满⾜

w=3,final[3]=1,条件不满⾜

w=4,final[4]=1,条件不满⾜

w=5,final[5]=1,条件不满⾜

w=6,final[6]=1,条件不满⾜

w=7,final[7]=0,G.arc[6][7]=2;10+2<D[7]=13;V1->V7 找到更短路径.更新D[7]=10+2=12,p[7]=6

w=8,final[8]=0,G.arc[6][8]=7;10+7<D[8]=∞;V1->V8找到更短路径,更D[8]=10+7=17,p[8]=6

第七次执行



w=0,final[0]=1,条件不满⾜

w=1,final[1]=1,条件不满⾜

w=2,final[2]=1,条件不满⾜

w=3,final[3]=1,条件不满⾜

w=4,final[4]=1,条件不满⾜

w=5,final[5]=1,条件不满⾜

w=6,final[6]=1,条件不满⾜

w=7, fifinal[7] = 1 ,条件不满⾜

w=8,final[8]=0,G.arc[6][8]=7;10+7<D[8]=∞;V1->V8找到更短路径,更D[8]=10+7=17,p[8]=6

第八次执行



w=0,final[0]=1,条件不满⾜

w=1,final[1]=1,条件不满⾜

w=2,final[2]=1,条件不满⾜

w=3,final[3]=1,条件不满⾜

w=4,final[4]=1,条件不满⾜

w=5,final[5]=1,条件不满⾜

w=6,final[6]=1,条件不满⾜

w=7, fifinal[7] = 1 ,条件不满⾜

w=8, fifinal[8] = 1 ,条件不满⾜

主要代码实现

#include "stdio.h"
#include "stdlib.h"

#include "math.h"
#include "time.h"

#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0

#define MAXEDGE 20
#define MAXVEX 20
#define INFINITYC 65535

typedef int Status;
typedef struct
{
    int vexs[MAXVEX];
    int arc[MAXVEX][MAXVEX];
    int numVertexes, numEdges;
}MGraph;

/*用于存储最短路径下标的数组*/
typedef int Patharc[MAXVEX];
/*用于存储到各点最短路径权值的和*/
typedef int ShortPathTable[MAXVEX];

/*1 创建邻近矩阵*/
void CreateMGraph(MGraph *G)
{
    int i, j;
    
    G->numEdges=16;
    G->numVertexes=9;
    
    for (i = 0; i < G->numVertexes; i++)
    {
        G->vexs[i]=i;
    }
    
    for (i = 0; i < G->numVertexes; i++)
    {
        for ( j = 0; j < G->numVertexes; j++)
        {
            if (i==j)
                G->arc[i][j]=0;
            else
                G->arc[i][j] = G->arc[j][i] = INFINITYC;
        }
    }
    
    G->arc[0][1]=1;
    G->arc[0][2]=5;
    G->arc[1][2]=3;
    G->arc[1][3]=7;
    G->arc[1][4]=5;
    
    G->arc[2][4]=1;
    G->arc[2][5]=7;
    G->arc[3][4]=2;
    G->arc[3][6]=3;
    G->arc[4][5]=3;
    
    G->arc[4][6]=6;
    G->arc[4][7]=9;
    G->arc[5][7]=5;
    G->arc[6][7]=2;
    G->arc[6][8]=7;
    
    G->arc[7][8]=4;
    
    
    for(i = 0; i < G->numVertexes; i++)
    {
        for(j = i; j < G->numVertexes; j++)
        {
            G->arc[j][i] =G->arc[i][j];
        }
    }
    
}

/*2 求得网图中2点间最短路径
 Dijkstra 算法
 G:  网图;
 v0: V0开始的顶点;
 p[v]: 前驱顶点下标;
 D[v]: 表示从V0到V的最短路径长度和;
 */
void ShortestPath_Dijkstra(MGraph G, int v0, Patharc *P, ShortPathTable *D)
{
    int v,w,k,min;
    k = 0;
    /*final[w] = 1 表示求得顶点V0~Vw的最短路径*/
    int final[MAXVEX];
    
    /*1.初始化数据*/
    for(v=0; v<G.numVertexes; v++)
    {
        //全部顶点初始化为未知最短路径状态0
        final[v] = 0;
        //将与V0 点有连线的顶点最短路径值;
        (*D)[v] = G.arc[v0][v];
        //初始化路径数组p = 0;
        (*P)[v] = 0;
    }
    
    //V0到V0的路径为0
    (*D)[v0] = 0;
    //V0到V0 是没有路径的.
    final[v0] = 1;
    //v0到V0是没有路径的
    (*P)[v0] = -1;
    
  
    //2. 开始主循环,每次求得V0到某个顶点的最短路径
    for(v=1; v<G.numVertexes; v++)
    {
        
        //当前所知距离V0顶点最近的距离
        min=INFINITYC;
        /*3.寻找离V0最近的顶点*/
        for(w=0; w<G.numVertexes; w++)
        {
            if(!final[w] && (*D)[w]<min)
            {
                k=w;
                //w顶点距离V0顶点更近
                min = (*D)[w];
            }
        }
        
        //将目前找到最近的顶点置为1;
        final[k] = 1;
        
        /*4.把刚刚找到v0到v1最短路径的基础上,对于v1 与 其他顶点的边进行计算,得到v0与它们的当前最短距离;*/
        for(w=0; w<G.numVertexes; w++)
        {
            //如果经过v顶点的路径比现在这条路径长度短,则更新
            if(!final[w] && (min + G.arc[k][w]<(*D)[w]))
            {
                //找到更短路径, 则修改D[W],P[W]
                //修改当前路径的长度
                (*D)[w] = min + G.arc[k][w];
                (*P)[w]=k;
            }
        }
    }
}

int main(void)
{
    printf("最短路径-Dijkstra算法\n");
    int i,j,v0;
    MGraph G;
    Patharc P;
    ShortPathTable D;
    v0=0;
    
    CreateMGraph(&G);
    
    ShortestPath_Dijkstra(G, v0, &P, &D);
    
    printf("最短路径路线:\n");
    for(i=1;i<G.numVertexes;++i)
    {
        printf("v%d -> v%d : ",v0,i);
        j=i;
        while(P[j]!=-1)
        {
            printf("%d ",P[j]);
            j=P[j];
        }
        printf("\n");
    }
    
    printf("\n最短路径权值和\n");
    for(i=1;i<G.numVertexes;++i)
        printf("v%d -> v%d : %d \n",G.vexs[0],G.vexs[i],D[i]);
    
    printf("\n");
    return 0;
}

打印结果：


最短路径之-弗洛伊德(Floyd)算法




第一次执行

初始化成⽹图的邻接矩阵,⽤来存储顶点直接最短路径权值。初始化p[i][j]=j⽤来存储最短路径。

当K=0时,也就是所有顶点都经过V0中转,计算是否有最短路径的变化.但是,k=0时,并没有发⽣任何变换


第二次执行


k=1V=0W=[0~8]算法执⾏过程分析：

D[0][0]=0,D[0][1]+D[1][0]=0,所以不更新; 

D[0][1]=1,D[0][1]+D[1][1]=1,所以不更新 

D[0][2]=5,D[0][1]+D[1][2]=1+3=4,因为4<5,所以更新D[0][2]=4;

D[0][3]=∞,D[0][1]+D[1][3]=1+7=8;所以8<∞,所以更新D[0][3]=8;

D[0][4]=∞,D[0][1]+D[1][4]=1+5=6;,所以6<∞,所以更新D[0][4]=6;

 D[0][5]=∞,D[0][1]+D[1][5]=1+∞;所以不更新; 

D[0][6]=∞,D[0][1]+D[1][6]=1+∞;所以不更新; 

D[0][7]=∞,D[0][1]+D[1][7]=1+∞;所以不更新; 

D[0][8]=∞,D[0][1]+D[1][8]=1+∞;所以不更新;


k=1V=1W=[0~8]算法执⾏过程分析：

D[1][0]=1,D[1][1]+D[1][0]=1,所以不更新; 

D[1][1]=0,D[1][1]+D[1][1]=0,所以不更新

D[1][2]=3,D[1][1]+D[1][2]=0+3=3,所以不更新

D[1][3]=7,D[1][1]+D[1][3]=0+7=7;所以不更新

D[1][4]=5,D[1][1]+D[1][4]=0+5=5;所以不更新 

D[1][5]=∞,D[1][1]+D[1][5]=0+∞;所以不更新; 

D[1][6]=∞,D[1][1]+D[1][6]=0+∞;所以不更新;

 D[1][7]=∞,D[1][1]+D[1][7]=0+∞;所以不更新; 

D[1][8]=∞,D[1][1]+D[1][8]=0+∞;所以不更新;


k=1V=2W=[0~8]算法执⾏过程分析：

D[2][0]=5,D[2][1]+D[1][0]=3+1=4,因为4<5,所以更新D[2][0]=4; 

D[2][1]=3,D[2][1]+D[1][1]=3+0=3,所以不更新 

D[2][2]=0,D[2][1]+D[1][2]=3+3=6,所以不更新 

D[2][3]=∞,D[2][1]+D[1][3]=3+7=10;因为10<∞,所以更新D[2][3]=10;

D[2][4]=5,D[2][1]+D[1][4]=3+5=8;所以不更新 

D[2][5]=1,D[2][1]+D[1][5]=3+∞;所以不更新; 

D[2][6]=7,D[2][1]+D[1][6]=3+∞;所以不更新; 

D[2][7]=∞,D[2][1]+D[1][7]=3+∞;所以不更新; 

D[2][8]=∞,D[2][1]+D[1][8]=3+∞;所以不更新;


k=1V=3W=[0~8]算法执⾏过程分析：

D[3][0]=∞,D[3][1]+D[1][0]=7+1=8,因为8<∞,所以D[3][0]=8; 

D[3][1]=7,D[3][1]+D[1][1]=7+0=7,所以不更新 

D[3][2]=∞,D[3][1]+D[1][2]=7+3=10,因为10<∞,所以D[3][2]=10;

D[3][3]=0,D[3][1]+D[1][3]=7+7=14;所以不更新 

D[3][4]=2,D[3][1]+D[1][4]=7+5=13;所以不更新 

D[3][5]=∞,D[3][1]+D[1][5]=7+∞;所以不更新; 

D[3][6]=3,D[3][1]+D[1][6]=7+∞;所以不更新; 

D[3][7]=∞,D[3][1]+D[1][7]=7+∞;所以不更新; 

D[3][8]=∞,D[3][1]+D[1][8]=7+∞;所以不更新;

执行结果：


初始化代码

 /* 1. 初始化D与P 矩阵*/
    for(v=0; v<G.numVertexes; ++v)
    {
        for(w=0; w<G.numVertexes; ++w)
        {
            /* D[v][w]值即为对应点间的权值 */
            (*D)[v][w]=G.arc[v][w];
             /* 初始化P P[v][w] = w*/
            (*P)[v][w]=w;
        }
    }

最短路径的遍历

//K表示经过的中转顶点   
 for(k=0; k<G.numVertexes; ++k)    {
        for(v=0; v<G.numVertexes; ++v)
        {
            for(w=0; w<G.numVertexes; ++w)
            {
                /*如果经过下标为k顶点路径比原两点间路径更短 */
                if ((*D)[v][w]>(*D)[v][k]+(*D)[k][w])
                {
                    /* 将当前两点间权值设为更小的一个 */
                    (*D)[v][w]=(*D)[v][k

]+(*D)[k][w];
                    /* 路径设置为经过下标为k的顶点 */
                    (*P)[v][w]=(*P)[v][k];
                }
            }
        }
    }

  • 主要代码实现

#include <stdio.h>

#include "stdio.h"
#include "stdlib.h"

#include "math.h"
#include "time.h"

#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0
#define MAXEDGE 20
#define MAXVEX 20
#define INFINITYC 65535

typedef int Status;    /* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码，如OK等 */

typedef struct
{
    int vexs[MAXVEX];
    int arc[MAXVEX][MAXVEX];
    int numVertexes, numEdges;
}MGraph;

typedef int Patharc[MAXVEX][MAXVEX];
typedef int ShortPathTable[MAXVEX][MAXVEX];

/* 11.1 构成邻近矩阵 */
void CreateMGraph(MGraph *G)
{
    int i, j;
    
    /* printf("请输入边数和顶点数:"); */
    G->numEdges=16;
    G->numVertexes=9;
    
    for (i = 0; i < G->numVertexes; i++)/* 初始化图 */
    {
        G->vexs[i]=i;
    }
    
    for (i = 0; i < G->numVertexes; i++)/* 初始化图 */
    {
        for ( j = 0; j < G->numVertexes; j++)
        {
            if (i==j)
                G->arc[i][j]=0;
            else
                G->arc[i][j] = G->arc[j][i] = INFINITYC;
        }
    }
    
    G->arc[0][1]=1;
    G->arc[0][2]=5;
    G->arc[1][2]=3;
    G->arc[1][3]=7;
    G->arc[1][4]=5;
    
    G->arc[2][4]=1;
    G->arc[2][5]=7;
    G->arc[3][4]=2;
    G->arc[3][6]=3;
    G->arc[4][5]=3;
    
    G->arc[4][6]=6;
    G->arc[4][7]=9;
    G->arc[5][7]=5;
    G->arc[6][7]=2;
    G->arc[6][8]=7;
    
    G->arc[7][8]=4;
    
    
    for(i = 0; i < G->numVertexes; i++)
    {
        for(j = i; j < G->numVertexes; j++)
        {
            G->arc[j][i] =G->arc[i][j];
        }
    }
    
}

/* 2
 Floyd算法，求网图G中各顶点v到其余顶点w的最短路径P[v][w]及带权长度D[v][w]。
 Patharc 和 ShortPathTable 都是二维数组;
 */
void ShortestPath_Floyd(MGraph G, Patharc *P, ShortPathTable *D)
{
    int v,w,k;
    
    /* 1. 初始化D与P 矩阵*/
    for(v=0; v<G.numVertexes; ++v)
    {
        for(w=0; w<G.numVertexes; ++w)
        {
            /* D[v][w]值即为对应点间的权值 */
            (*D)[v][w]=G.arc[v][w];
             /* 初始化P P[v][w] = w*/
            (*P)[v][w]=w;
        }
    }
    
    //2.K表示经过的中转顶点
    for(k=0; k<G.numVertexes; ++k)
    {
        for(v=0; v<G.numVertexes; ++v)
        {
            for(w=0; w<G.numVertexes; ++w)
            {
                /*如果经过下标为k顶点路径比原两点间路径更短 */
                if ((*D)[v][w]>(*D)[v][k]+(*D)[k][w])
                {
                    /* 将当前两点间权值设为更小的一个 */
                    (*D)[v][w]=(*D)[v][k]+(*D)[k][w];
                    /* 路径设置为经过下标为k的顶点 */
                    (*P)[v][w]=(*P)[v][k];
                }
            }
        }
    }
}

int main(void)
{
    printf("Hello,最短路径弗洛伊德Floyd算法");
    int v,w,k;
    MGraph G;
    
    Patharc P;
    ShortPathTable D; /* 求某点到其余各点的最短路径 */
    
    CreateMGraph(&G);
    
    ShortestPath_Floyd(G,&P,&D);
    
    //打印所有可能的顶点之间的最短路径以及路线值
    printf("各顶点间最短路径如下:\n");
    for(v=0; v<G.numVertexes; ++v)
    {
        for(w=v+1; w<G.numVertexes; w++)
        {
            printf("v%d-v%d weight: %d ",v,w,D[v][w]);
            //获得第一个路径顶点下标
            k=P[v][w];
            //打印源点
            printf(" path: %d",v);
            //如果路径顶点下标不是终点
            while(k!=w)
            {
                //打印路径顶点
                printf(" -> %d",k);
                //获得下一个路径顶点下标
                k=P[k][w];
            }
            //打印终点
            printf(" -> %d\n",w);
        }
        printf("\n");
    }
    
    //打印最终变换后的最短路径D数组
    printf("最短路径D数组\n");
    for(v=0; v<G.numVertexes; ++v)
    {
        for(w=0; w<G.numVertexes; ++w)
        {
            printf("%d\t",D[v][w]);
        }
        printf("\n");
    }
    //打印最终变换后的最短路径P数组
    printf("最短路径P数组\n");
    for(v=0; v<G.numVertexes; ++v)
    {
        for(w=0; w<G.numVertexes; ++w)
        {
            printf("%d ",P[v][w]);
        }
        printf("\n");
    }
    
    return 0;
}

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