数据结构与算法之二叉树初深

Charles_FF
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树的定义

树是n个结点的有限集合，只要有根结点都可称为树


左图是一个有且只有一个根结点的树；右图是有多个N结点的一般树

以下是一般树，结构中三个度——高度，深度，层数 


其中不为0的结点成为叶子如图 K J M J,B的双亲结点为A,E,F是兄弟结点

高度：当前结点到最长的叶子结点的长度

深度：结点到叶子结点最长的边数

层：从上往下数有多少层

二叉树

二叉树是不可能存在度树大于2的结点，是有左右顺序之分，左子树，右子树

  • 二叉树的五种形态




其中图2为左斜树，图5为右斜树

  • 特殊二叉树之满二叉树，所有结点都存在左子树和右子树，所有终断结点都处于同一层


  • 特殊⼆叉树—完全⼆叉树，


  • 特殊⼆叉树—完全⼆叉树的判断，一个满二叉树一定是一个完全二叉树



⼆叉树的性质

  • 在二叉树的第i层上最多有2i-1个结点
  • 深度为K的二叉树最多有2-1个结点(K>=1）
  • 对于任何一颗二叉树T,如果其终端结点数为n0,度为2的结点数为n2,则n0=n2+1;
  • 具有n个结点的完全二叉树深度为(log2(n))+1
  • 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下和从左至右的顺序对二叉树的所有结点从1开始编号，则对于任意的序号结点有：
  1.   如果i > 1,那么序号为i的结点的双亲结点序号为i / 2
  2. 如果i = 1，那么序号为i的结点为根结点，无双亲结点
  3. 如果2i / <= n,那么序号为i的结点的左孩子结点序号为2i
  4. 如果2i > n,那么序号为i的结点无左孩子
  5. 如果2i + 1 <= n，那么序号为i的结点右孩子序号为2i + 1；
  6. 如果2i + 1 > n,那么序号为i的结点无右孩子

⼆叉树的顺序存储结构分析

顺序存储是用来存储一个完全二叉树




二叉树的实现

  • visit
  • 构造空二叉树T，由于T是不可变数组
  • 判断⼆叉树是否为空
  • 获取⼆叉树的深度
  • 返回处于位置e(层,本层序号)的结点值
  • 获取⼆叉树跟结点的值
  • 给处于位置e的结点赋值
  • 获取e的双亲
  • 获取某个结点的左孩⼦
  • 获取某个结点的右孩⼦
  • 获取结点的左兄弟
  • 获取结点的右兄弟

⼆叉树的遍历⽅法—前序遍历

规则:若⼆叉树为空,则空操作返回;否则先访问根结点,然后前序遍历左⼦树,在前序遍历右⼦树


⼆叉树的遍历⽅法—中序遍历

规则:若⼆叉树为空,则空操作返回;否则从根结点开始(注意并不是先访问根结点),中序遍历根结点的左⼦树,然后是访问根结点,最后中序遍历右⼦树.


⼆叉树的遍历⽅法—后序遍历

规则:若⼆叉树为空,则空操作返回;否则从左到右先叶⼦后结点的⽅式遍历左右⼦树,最后访问根结点


⼆叉树的遍历⽅法—层序遍历

规则:若⼆叉树为空,则空操作返回;否则从树的第⼀层,也是就是根结点开始访问,从上⽽下逐层遍历,在同⼀层中,按从左到右的顺序对结点逐个访问.


代码实现

#include "stdio.h"
#include "stdlib.h"
#include "math.h"
#include "time.h"

#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0
#define MAXSIZE 100 

/* 存储空间初始分配量 */#define MAX_TREE_SIZE 100 /* 二叉树的最大结点数 */
typedef int Status;       

 /* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码，如OK等 */
typedef int CElemType; /* 树结点的数据类型，目前暂定为整型 */
typedef CElemType SqBiTree[MAX_TREE_SIZE]; /* 0号单元存储根结点  */
CElemType Nil = 0; /*设整型以0为空 或者以 INT_MAX(65535)*/

typedef struct { 
   int level; //结点层    
   int order; //本层的序号(按照满二叉树给定序号规则)
}Position;

#pragma mark -- 二叉树的基本操作
//1. visit
Status visit(CElemType c){
    printf("%d ",c);   
    return OK;
}

//2 构造空二叉树T,因为T是固定数组,不会改变.
Status InitBiTree(SqBiTree T){    
    for (int i = 0; i < MAX_TREE_SIZE; i++) {  
      //将二叉树初始化值置空        
     T[i] = Nil;  
    }  
   return OK;
}

//3. 按层序次序输入二叉树中的结点值(字符型或整型),构造顺序存储的二叉树T
Status CreateBiTree(SqBiTree T){   
    int i = 0;   
   
    //printf("按层序输入结点的值(整型),0表示空结点, 输入999结束.结点数<=%d\n",MAX_TREE_SIZE);   
    /* 
    1            -->1    
    2     3      -->2    
    4  5  6   7  -->3    
    8  9  10     -->4     
    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Nil Nil Nil    
    */  
 
    while (i < 10) {    
        T[i] = i+1;    
        printf("%d ",T[i]);
        //结点不为空,且无双亲结点       
       if (i != 0 && T[(i+1)/2-1] == Nil && T[i] != Nil) {  
          printf("出现无双亲的非根结点%d\n",T[i]);      
          exit(ERROR);    
       }     
       i++;   
    }   
  
    //将空赋值给T的后面的结点    
    while (i < MAX_TREE_SIZE) {   
       T[i] = Nil;      
       i++;  
    }    
    return OK;
}

//如果想要2个函数的结果一样,但是目的不同;
//在顺序存储结构中, 两个函数完全一样的结果
#define ClearBiTree InitBiTree

/*4 判断二叉树是否为空 
   初始条件: 二叉树已存在 
   操作结果: 若T为空二叉树,则返回TRUE,否则返回FALSE; 
*/
Status BiTreeEmpty(SqBiTree T){    
    //根结点为空,则二叉树为空   
    if (T[0] == Nil)     
      return TRUE;    
    return FALSE;
}

/*5 获取二叉树的深度
   初始条件: 二叉树已存在 
   操作结果: 返回二叉树T深度;
 */
int BiTreeDepth(SqBiTree T){    
   int j = -1;   
   int i;   

   //找到最后一个结点    //MAX_TREE_SIZE -> 100 -> 10 目的找到最后一个结点10的位置   
   for (i = MAX_TREE_SIZE-1 ; i>=0; i--) {   
       if (T[i] != Nil)         
       break;   
    }    

    do {       
       j++;    
    } while ( powl(2, j) <= i); //计算2的次幂  
    return j; 
}

/*6 返回处于位置e(层,本层序号)的结点值
    初始条件: 二叉树T存在,e是T中某个结点(的位置) 
    操作结构: 返回处于位置e(层,本层序号)的结点值 
*/
CElemType Value(SqBiTree T,Position e){   
    /*  
    Position.level -> 结点层.表示第几层;   
    Position.order -> 本层的序号(按照满二叉树给定序号规则)    
    */   

    //pow(2,e.level-1) 找到层序
    printf("%d\n",(int)pow(2,e.level-1));    

    //e.order    
    printf("%d\n",e.order);

    //4+2-2;   
    return T[(int)pow(2, e.level-1)+e.order-2];
}

/*7 获取二叉树跟结点的值 
    初始条件: 二叉树T存在 
    操作结果: 当T不空,用e返回T的根, 
    返回OK; 否则返回ERROR 
*/
Status Root(SqBiTree T,CElemType *e){ 
    if (BiTreeEmpty(T)) {      
       return ERROR;  
    }   
   
    *e = T[0];   
    return OK;
}

/* 8 给处于位置e的结点赋值 
     初始条件: 二叉树存在,e是T中某个结点的位置 
     操作结果: 给处于位置e的结点赋值Value; 
*/
Status Assign(SqBiTree T,Position e,CElemType value){    
    //找到当前e在数组中的具体位置索引    
    int i = (int)powl(2, e.level-1)+e.order -2;    
 
    //叶子结点的双亲为空   
   if (value != Nil &&  T[(i+1)/2-1] == Nil) {  
      return ERROR;    
   }    

   //给双亲赋空值但是有叶子结点   
   if (value == Nil && (T[i*2+1] != Nil || T[i*2+2] != Nil)) { 
       return  ERROR;  
   }   

   T[i] = value;  
   return OK;
}

/*9 获取e的双亲;   
    初始条件: 二叉树存在,e是T中的某一个结点   
    操作结果: 若e是T的非根结点, 则返回它的双亲,否则返回"空" 
*/
CElemType Parent(SqBiTree T, CElemType e){  
    //空树  
    if (T[0] == Nil) {     
       return Nil;    
    }

    for (int i = 1 ; i < MAX_TREE_SIZE; i++) {     
        //找到e       
        if (T[i] == e) {          
          return T[(i+1)/2 - 1];     
        }   
    }
    //没有找到    
   return Nil;
}

/* 10 获取某个结点的左孩子;     
      初始条件:二叉树T存在,e是某个结点
      操作结果:返回e的左孩子,若e无左孩子,则返回"空" 
*/

CElemType LeftChild(SqBiTree T,CElemType e){    
     //空树    
     if (T[0] == Nil) {       
        return Nil;    
     }    

     for (int i = 0 ; i < MAX_TREE_SIZE-1; i++) {      
          //找到e        
          if (T[i] == e) {      
              return T[i*2+1];     
          } 
      }   
 
    //没有找到    
    return Nil;
}

/* 11 获取某个结点的右孩子;    
      初始条件:二叉树T存在,e是某个结点    
      操作结果:返回e的左孩子,若e无左孩子,则返回"空" 
*/
CElemType RightChild(SqBiTree T,CElemType e){    
      //空树    
      if (T[0] == Nil) {   
          return Nil;   
      }

      for (int i = 0 ; i < MAX_TREE_SIZE-1; i++) {   
          //找到e       
          if (T[i] == e) {      
             return T[i*2+2];
          }  
      }

    //没有找到    
    return Nil;
}

/* 12 获取结点的左兄弟      
      初始条件:  二叉树T存在,e是T中某个结点      
      操作结果: 返回e的左兄弟。若e是T的左孩子或无左兄弟,则返回＂空＂
*/
CElemType LeftSibling(SqBiTree T,CElemType e){    
   /* 空树 */    
  if(T[0]==Nil)   
     return Nil;   
  for(int i=1;i<=MAX_TREE_SIZE-1;i++)    
      /* 找到e且其序号为偶数(是右孩子) */      
       if(T[i] == e && i%2 == 0)           
       return T[i-1];   
   return Nil; /* 没找到e */
}

/* 13 获取结点的右兄弟     
      初始条件: 二叉树T存在,e是T中某个结点      
      操作结果: 返回e的右兄弟。若e是T的右孩子或无右兄弟,则返回＂空＂ 
*/
CElemType RightSibling(SqBiTree T,CElemType e){   
    /* 空树 */   
    if(T[0]==Nil)     
       return Nil;    
    
    for(int i=1;i<=MAX_TREE_SIZE-1;i++)    
        /* 找到e且其序号为奇数(是左孩子) */       
        if(T[i]==e&&i%2==1)            
           return T[i+1];    
        return Nil; /* 没找到e */
}

/*14 二叉树的遍历、 层序遍历二叉树*/
void LevelOrderTraverse(SqBiTree T){   
     int i = MAX_TREE_SIZE-1;    
    
     //找到最后一个非空结点的序号   
     while (T[i] == Nil) i--;

     //从根结点起,按层序遍历二叉树   
     for (int j = 0; j <= i; j++)   
           //只遍历非空结点      
           if (T[j] != Nil)  
           visit(T[j]);    
     printf("\n");
}

/*15 前序遍历二叉树 */
void PreTraverse(SqBiTree T,int e){    
    //打印结点数据    
    visit(T[e]);    

    //先序遍历左子树    
    if (T[2 * e + 1] != Nil) {     
        PreTraverse(T, 2*e+1);  
    }

     //最后先序遍历右子树    
     if (T[2 * e + 2] != Nil) {   
          PreTraverse(T, 2*e+2);   
      }
 }

Status PreOrderTraverse(SqBiTree T){  
     //树不为空  
     if (!BiTreeEmpty(T)) {    
         PreTraverse(T, 0);   
     }    
     
    printf("\n");  
    return  OK;
}

/*16 中序遍历 */
void InTraverse(SqBiTree T, int e){    
    /* 左子树不空 */  
     if (T[2*e+1] != Nil) 
         InTraverse(T, 2*e+1);  
     visit(T[e]);

    /* 右子树不空 */
    if (T[2*e+2] != Nil)
        InTraverse(T, 2*e+2);
}

Status InOrderTraverse(SqBiTree T){

    /* 树不空 */
    if (!BiTreeEmpty(T)) {
        InTraverse(T, 0);
    }
    printf("\n");
    return OK;
}

/*6.17 后序遍历 */
void PostTraverse(SqBiTree T,int e)
{   /* 左子树不空 */
    if(T[2*e+1]!=Nil)
        PostTraverse(T,2*e+1);
    /* 右子树不空 */
    if(T[2*e+2]!=Nil)
        PostTraverse(T,2*e+2);
    
    visit(T[e]);
}

Status PostOrderTraverse(SqBiTree T)
{
    if(!BiTreeEmpty(T)) /* 树不空 */
        PostTraverse(T,0);
    printf("\n");
    return OK;
}


int main(int argc, const char * argv[]) {

    Status iStatus;    Position p;    CElemType e;    SqBiTree T;
    InitBiTree(T);    
    CreateBiTree(T);   
    printf("建立二叉树后,树空否？%d(1:是 0:否) \n",BiTreeEmpty(T));  
    printf("树的深度=%d\n",BiTreeDepth(T));   
   
    p.level=3;   
    p.order=2;
    e=Value(T,p);    
    printf("第%d层第%d个结点的值: %d\n",p.level,p.order,e);
    
    
    iStatus = Root(T, &e);
    if (iStatus) {
        printf("二叉树的根为:%d\n",e);
    }else
    {
        printf("树为空,无根!\n");
    }
    
    //向树中3层第2个结点位置上结点赋值99
    e = 99;
    Assign(T, p, e);
    
    //获取树中3层第2个结点位置结点的值是多少:
    e=Value(T,p);
    printf("第%d层第%d个结点的值: %d\n",p.level,p.order,e);
    
    //找到e这个结点的双亲;
    printf("结点%d的双亲为%d_",e,Parent(T, e));

    //找到e这个结点的左右孩子;
    printf("左右孩子分别为:%d,%d\n",LeftChild(T, e),RightChild(T, e));

    //找到e这个结点的左右兄弟;
    printf("结点%d的左右兄弟:%d,%d\n",e,LeftSibling(T, e),RightSibling(T, e));
    
    
    Assign(T, p, 5);
    
    printf("二叉树T层序遍历:");
    LevelOrderTraverse(T);
    
    printf("二叉树T先序遍历:");
    PreOrderTraverse(T);
    
    printf("二叉树T中序遍历:");
    InOrderTraverse(T);
    
    printf("二叉树T后序遍历:");
    PostOrderTraverse(T);
    
    return 0;
}

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