贪心策略求解特定硬币问题正确性的证明假设零钱系统的币值是{1,,,...,}，p>1，且每种钱币的数量都满足要求，设计一

问题描述

假设零钱系统的币值是{1, $p^1$ , $p^2$ ,..., $p^n$ }，p>1，且每种钱币的数量都满足要求，设计一个最坏情况下时间复杂度最低的算法，使得对任何钱数y，该算法得到的零钱个数最少。

贪心策略

按币值从大到小排列零钱，从币值大的开始，每种钱尽量多用。如果剩余零钱小于该币值，再考虑用下一种钱币。

证明

对于币值系统{1, $p^1$ , $p^2$ ,..., $p^n$ }，p>1，钱数y而言，假设根据贪心选择得到的解排列为{ $a_0$ , $a_1$ , $a_2$ ,..., $a_n$ }，即y= $a_0$ + $a_1$ $p$ +...+ $a_n$ $p^n$ ；又存在最优解为{ $b_0$ , $b_1$ , $b_2$ ,..., $b_n$ }，y= $b_0$ + $b_1$ $p$ +...+ $b_n$ $p^n$ 。

现通过反证法证明两者相同。若贪心解与最优解不同，则不妨假设按币值从大到小取零钱时，第一次出现不同的位置为k，即 $a_i$ = $b_i$ (k $<$ i $\leq$ n)，因为贪心策略的性质，必有 $a_k$ > $b_k$ 。同时，对于0 $\leq$ i $<$ k而言，必有 $b_i$ $<$ p，因为若 $b_i$ $\geq$ p，则可用一张pⁱ⁺¹币值代替p张pⁱ币值，零钱个数减少，与最优解的最优性矛盾。

因为y= $a_0$ + $a_1$ $p$ +...+ $a_n$ $p^n$ = $b_0$ + $b_1$ $p$ +...+ $b_n$ $p^n$ ，第一次出现不同的位置为k， $a_i$ = $b_i$ (k $<$ i $\leq$ n)，故有 $a_0$ + $a_1$ $p$ +...+ $a_k$ $p^k$ = $b_0$ + $b_1$ $p$ +...+ $b_k$ $p^k$ 。根据0 $\leq$ i $<$ k， $b_i$ $<$ p，可知 $b_i$ $\leq$ p-1，从而 $b_0$ + $b_1$ $p$ +...+b_k-1p^k-1+ $b_k$ $p^k$ $\leq$ $p-1$ + $(p-1)$ $p$ +...+ $(p-1)$ p^k-1+ $b_k$ $p^k$ $\leq$ $(p-1)(1-p^k) \over {1-p}$ + $b_k$ $p^k$ $\leq$ $(b_k+1)$ $p^k$ -1 $<$ $a_k$ $p^k$ $\leq$ $a_0$ + $a_1$ $p$ +...+ $a_k$ $p^k$ ，与两者相等矛盾，综上，贪心解必为最优解。