关于约瑟夫环问题递推公式的证明

问题描述与证明

• 约瑟夫环问题：n个人围成一圈，第一个人从1开始报数，报m的将被淘汰，下一个人接着从1开始报。如此反复，最后剩下一个，求最后的胜利者。
• 递推公式：f(n,m)=[f(n-1,m)+m]%n，其中f(i,j)表示当问题规模为i，报数长度为j时最后胜利者的编号。
• 证明：使用数学归纳法进行证明。

1. 当n=1时，f(1,m)=0，因为编号从0开始且只有一个人，胜利者编号显然为0。 当n=2时，序列为0,1，若m为奇数，则胜利者编号为1；若m为偶数，则胜利者编号为0，易有f(2,m)=m%2=(0+m)%2=[f(1,m)+m]%2，结论成立。
2. 假设当n=i-1时结论成立，即对于序列0,1,2,...,i-2而言，最后的胜利者编号为f(i-1,m)。 当n=i时，序列为0,1,2,...,i-1。设第一轮的淘汰者编号为k（若m%i=0，则k=i-1，否则k=m%i-1），则序列可表示为0,1,2,...,k-1,k,k+1,...,i-1。第一轮淘汰k，余下的序列x'为k+1,...,i-1,0,1,...,k-1，问题规模变为i-1。 因为由归纳假设，当n=i-1时，对于序列x:0,1,2,...,f(i-1,m),...,i-2，胜利者编号为f(i-1,m)。由于x'=(x+k+1)%i，故f(i,m)=[f(i-1,m)+k+1]%i。当m%i=0时，k+1=i，[f(i-1,m)+k+1]%i=[f(i-1,m)+i]%i=f(i-1,m)%i+0=f(i-1,m)%i+m%i=[f(i-1,m)+m]%i；当m%i!=0时，k+1=m%i，[f(i-1,m)+k+1]%i=[f(i-1,m)+m%i]%i=[f(i-1,m)+m]%i。故当n=i时，结论成立。 综上，命题成立。

• 感想：因为当n=i-1时，对于序列x:0,1,2,...,f(i-1,m),...,i-2，胜利者编号为f(i-1,m)。对于问题规模为i时，经过第一轮淘汰，得到序列x'。只要能够发现x与x'间的对应关系，由f(i-1,m)就能得到f(i,m)。

代码

class Solution {
public:
    int lastRemaining(int n, int m) {
        int res=0;
        for(int i=2;i<=n;i++)
            res=(res+m)%i;
        return res;
    }
};