七 连续时间傅里叶级数
1 引言
对于LTI系统，如果输入x(t)可以分解为一系列【基本信号】的线性组合，并且知道这些【基本信号】各自经过LTI系统的输出值，则输出y(t)，就可以分解为这些【基本信号输出】的线性组合，不管是连续时间系统还是离散时间系统
- 经过LTI系统的输出容易计算
- 信号很普遍，可以线性组合表示各种类型的信号
我们可以取【基本信号】为【impulse signal】，就引出了【卷积积分/卷积和】的概念，输出可以用【卷积积分/卷积和】来表示
在本章我们取【基本信号】为【复指数信号】，其可以满足两个前提条件
对于连续和离散信号，可以分别取如下的复指数信号作为【基本信号】,和
是复数
下面我们以 s 和 z 取纯虚数来分析，也就引入了【傅里叶变换】；如果是复数的话就可以引出【拉氏变换】和【z变换】
2 傅里叶级数分析
将复指数信号扔进LTI系统中，得到的输出仅仅是信号的幅值有变化。所以很适合作为【基本信号】
对于周期信号，我们进行傅里叶级数分析 对于非周期信号，我们进行傅里叶变换分析
以下为【傅里叶级数】的综合和分析式
example： 可以用正余弦的累加来构造方波。
结论：傅里叶级数和傅里叶变换中，【低频成分】用来构建信号的长期普遍特性（整体外观），【高频成分】用来构建信号在时遇上的一些突变部分（细节）。
傅里叶级数收敛条件：
①信号平方可积，不是部分和每一个时刻的值都是正确值（无误差），而是则当N->∞时，误差的能量会趋于零 ②迪利克雷条件下，the signal goes to the right value at every time(误差趋于0) except at the continuties when N->∞
对于example中的方波，既满足①：误差能量趋于0，也满足②迪利克雷条件，除了不连续点外，当N->∞，误差->0
3 总结
对于【周期信号】，我们用一系列的【复指数基本信号】的线性组合来表示它，这个线性组合称之为【傅里叶级数】；我们使用线性组合的【部分和】来表示该周期信号，当信号满足【收敛条件】时，部分和的N → ∞，则误差能量为0，或误差为0。 对于【非周期信号】，我们把它变为一段周期信号，并延展至坐标轴无穷远，再进行【傅里叶级数】表示，此为【傅里叶变换】
