线性估计

chapter 1 overview

研究对象：linear least-squares estimation problems for signals with known finite-dimensional linear state-space models

应用领域: quadratic control, adaptive filtering, $h_{\infty}$ -filtering and control. signal detection, matrix theory, linear algebra

asymptotic observer for determining the states, how to modify it in the presence of random disturbances

状态观测器

本书从基础出发一步一步构建出卡尔曼滤波的知识架构( chap9 )

1.1 THE ASYMPTOTIC OBSERVER 渐近观测器

观测器问题: 所谓的观测器设计问题是在给定输入和输出的情况下，确定线性系统状态的现实解决方案之一。

考虑如下的一个状态空间形式的时不变线性系统：

\left\{\begin{aligned}
x_{i+1} &=F x_{i}+G u_{i}, \quad i \geq 0 \\
y_{i} &=H x_{i}
\end{aligned}\right.

x ：state

u ：input

y : output

F,H,G : 系数矩阵

goal : 求出准确的X值

平凡观测器：使用受控对象本来的模型模拟受控对象(Simulation des Streckenmodells)是估计状态变量的最简单的方式

已知初始状态 $x_0$ ,然后对其进行估计，创建一个模拟线性系统：

\hat{x}_{i+1}=F \hat{x}_{i}+G u_{i}, \quad i \geq 0

然后估计出 $\hat{x_{1}},\hat{x_{2}},\hat{x_{3}}...$

考虑输出的影响，即反馈，改进为：

\color{red}{\hat{x}_{i+1}=F \hat{x}_{i}+G u_{i}+\bar{K} \bar{y}_{i}}

定理：如果F满秩/稳定，则此观测器有能观测性

\{F, H\} \text { is observable } \Leftrightarrow \mathcal{O} \triangleq\left[H^{*} \quad F^{*} \quad H^{*} \quad \ldots \quad F^{*(n-1)} H^{*}\right]^{*} \text { has full rank }

1.2 THE OPTIMUM TRANSIENT OBSERVER 最佳瞬态观测器

平凡观测器在有测量噪声的情况下需要改进

测量噪声源自虚拟模型的建立，是不可避免的不确定性（即在建立线性{F, G, H}模型时所涉及的近似和假设导致了状态、输入和输出的随机性）

我们考虑有噪声的状态空间模型：

\left\{\begin{aligned}
\mathbf{x}_{i+1} &=F \mathbf{x}_{i}+G\left(u_{i}+\mathbf{u}_{i}\right), & & i \geq 0 \\
\mathbf{y}_{i} &=H \mathbf{x}_{i}+\mathbf{v}_{i} & &
\end{aligned}\right.

$\mathbf{u}_{i}$ : process noise

$\mathbf{v}_{i}$ : measure noise

两个噪声都是随机的，这里我们假设 $\mathbf{x}_{0}$ 是随机的，即他是一个随机变量

最终导致状态 $\mathbf{x}_{i}$ 和输出 $\mathbf{y}_{i}$ 都是随机变量（用加粗表示随机变量）

注意！输入 $u_{0}$ 是一个确定变量！

Q, R 是两个白噪声随机变量的方差？？（为啥可以这样求出方差）

E \mathbf{u}_{\mathbf{i}} \mathbf{u}_{j}^{*}=Q \delta_{i j} \quad \text { and } \quad E \mathbf{v}_{i} \mathbf{v}_{j}^{*}=\mathbf{R} \delta_{i j}

克罗内克δ函数

i≠j, $\delta_{i j}$ =0

i=j, $\delta_{i j}$ =1

$x_{0}$ 的方差为 $\Pi_{0}$ , 与 $\mathbf{u}_{i}$ 和 $\mathbf{v}_{i}$ 无关，所以协方差为0

E \mathbf{x}_{0} \mathbf{x}_{0}^{*}=\Pi_{0}, \quad E \mathbf{u}_{i} \mathbf{x}_{0}^{*}=0, \quad E \mathbf{v}_{i} \mathbf{x}_{0}^{*}=0

同时 $\mathbf{u}_{i}$ 和 $\mathbf{v}_{i}$ 两个也互相不相关，因为他们各自来自不同的物理原因， $\mathbf{u}_{i}$ 于系统中的扰动和不确定性，而 $\mathbf{v}_{i}$ 产生于测量过程。

然而，在涉及反馈的情况下，例如，在输出 $y_{i}$ 用于修改状态方程的控制问题中，考虑其中有一些依赖关系的模型将是有用的。

所以可以假定u和v在某一个时刻或隔一个时间间隔是相关的：如下：

E \mathbf{u}_{i} \mathbf{v}_{i}^{*}=S \delta_{i j} \quad \text { or } \quad E \mathbf{u}_{i+1} \mathbf{v}_{i}^{*}=S \delta_{i j}

i≠j，u和v就相关

以上所谈全部用下面这个式子来概括：

$\color{red}{E\left[\begin{array}{l}{\mathbf{u}_{i}} \\ {\mathbf{v}_{i}} \\ {\mathbf{x}_{0}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}{\mathbf{u}_{j}^{*}} & {\mathbf{v}_{j}^{*}} & {\mathbf{x}_{i}^{*}} & {1}\end{array}\right]=}$

$\boldsymbol{Q} \in \mathbb{C}^{m \times m}, \boldsymbol{R} \in \mathbb{C}^{p \times p}, \boldsymbol{S} \in \mathbb{C}^{m \times p}, \Pi_{0} \in \mathbb{C}^{N \times n}$ 是已知的系数矩阵。

$\{Q, R\}$ 是非负定矩阵（大于等于0），并且是Hermitian矩阵（等于自己的共轭转置）。

$Q=Q^{*} \geq 0, \quad R=R^{*} \geq 0$

需要保证 $\left[\begin{array}{ll}{\boldsymbol{Q}} & {\boldsymbol{S}} \\ {\boldsymbol{S}^{*}} & {\boldsymbol{R}}\end{array}\right] \geq 0$

《线性估计》Chapter 1 概述(overview)

线性估计

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1.1 THE ASYMPTOTIC OBSERVER 渐近观测器

1.2 THE OPTIMUM TRANSIENT OBSERVER 最佳瞬态观测器