傅里叶变换的本质总的逻辑是这样的：简单→分解→正交→内积。内积相当于一种**“投影”操作**，任意向量与基之间的内积就

我们想要“简单”，要进行“分解”，想要更好的“分解”，要进行“正交化”（因为正交的各个部分是相互独立互不干扰的），想要定量描述“正交化”，规定“内积”为零为“正交”

总的逻辑是这样的：简单→分解→正交→内积。

内积相当于一种**“投影”操作**，任意向量与基之间的内积就是该向量在基所在方向的投影，内积的结果就是系数。

在三维直角坐标系里面，任何一个坐标轴的方向上长度为 1 的向量称之为一个基，相互垂直的基称之为正交基： (1,0,0)代表 x轴的基.

假如基不再是一个向量，而是一个函数

假设 f，g是两个函数，并且规定内积定义为 $<f, g>=\int_{-\infty}^{+\infty} f \times \bar{g}$ （其中 $\bar{g}$ 表示共轭的意思，是为了在复数域中计算方便而引入的）

我们将 $e^{i x}$ 引入到f，g函数中

设 $f=e^{i \omega_{1} t} \quad, \quad g=e^{i \omega_{2} t}$

内积为： $<f, g>=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{i \omega_{1} t} e^{-i \omega_{2} t} d t=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{i\left(\omega_{1}-\omega_{2}\right) t} d t$

$e^{i x}$ 本质上是一个运动的单位圆。

由 $\omega_{1} \neq \omega_{2} \quad, \quad e^{i\left(\omega_{1}-\omega_{2}\right) t}$ 是一个绕原点旋转的单位圆，由于对称性，我们可以很容易得到 $<f, g>=<e^{i \omega_{1} t}, e^{i \omega_{2} t}>=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{i\left(\omega_{1}-\omega_{2}\right) t} d t=0$

内积等于零 说明正交！

这说明 $e^{iwt}$ 在这种内积的定义下是一族正交基啊，更深刻的数学知识可以证明，在一定条件下，它不仅是正交的，还是完备的，也就是说，只要满足一定的条件，任何函数都可以用 $e^{iwt}$ 叠加出来。

$f(t)=\sum_{\omega=-\infty}^{+\infty} A_{\omega} e^{i \omega t}=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} F(\omega) e^{i \omega t} d \omega$

这个式子的含义为：在一定条件下，任意函数 $f(t)$ 都可以由完备的正交基 $e^{i \omega t}$ 叠加而成，每个正交基对应的系数为 $F(\omega)$

如最开始所说的：任意向量与基之间的内积就是该向量在基所在方向的投影，内积的结果就是系数

$F(\omega)=<f(t), e^{i \omega t}>=\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-i \omega t} d t$

系数 $F(\omega)$ 便可以通过内积算出来。

因此，傅里叶变换的本质可以看成是正交分解。