1. MarKov随机场的直观理解

2. 一些基本概念

2.1 无向图

在无向图中，A、B、C、D为顶点，各顶点之间的连接线称为边。

2.2 概率图：

用图表达概率分布的方式。图中的每个节点表示一个随机变量，与之相连的边则表示了各随机变量之间的概率依赖关系。所以，图表示联合概率分布。以上图为例，设有联合概率分布 $P(Y)$ ， $Y$ 是一组随机变量，那么在图中，节点A表示一个随机变量 $Y_A$ ，节点A与节点B的边表示随机变量A与随机变量B之间的依赖关系。

无向图表示MarKov的三个性质：
- 成对马尔科夫性
  节点u、v互不相连，其他所有节点记为O，其所对应的随机变量为 $Y_u, Y_v$ 和 $Y_O$ 。此时：在给定随机变量组 $Y_O$ 的情况下， $Y_u, Y_v$ 条件独立，即有

局部马尔可夫性
在图中任意取一个结点，将与之有边相连的结点均记为W，O是除v、W之外的所有点，v表示随机变量 $Y_v$ ，W表示随机变量组为 $Y_W$ ，O表示随机变量组 $Y_O$ ，则：在给定随机变量组 $Y_W$ 的情况下， $Y_v, Y_O$ 条件独立，即有

\begin{align}
P(Y_v, Y_O|Y_W)&=P(Y_v|Y_W) P(Y_O|Y_W)\\\\
\Rightarrow \frac{P(Y_v, Y_O, Y_W)}{P(Y_W)}&=P(Y_v|Y_W) \frac{P(Y_O, Y_W)}{P(Y_W)}\\\\
\Rightarrow \frac{P(Y_v, Y_O, Y_W)}{P(Y_O, Y_W)}&=P(Y_v|Y_W)\\\\
\Rightarrow P(Y_v| Y_O, Y_W)&=P(Y_v|Y_W)
\end{align}

全局马尔科夫性
在图中设有集合A,B是被集合C分开的任意结点集合，其所对应的随机变量组分别为 $Y_A.Y_B,Y_C$ ，则在此条件下，认定随机变量组 $Y_C$ 条件下，随机变量组 $Y_A.Y_B$ 是条件独立的。

2.3 概率图模型：

如果联合概率分布 $Y$ 满足成对、局部或全局马尔可夫性，则该联合概率分布为概率无向图模型（马尔科夫随机场）。

概率图模型中的团和最大团：

在无向图中任何两个结点均有边连接的结点子集称为团，例如，在下图中，假设有随机变量 $1,2$ ，则 $\left \{Y_1,Y_2 \right \}$ 构成了一个团， $\left \{Y_1,Y_4 \right \}$ 未构成团。

此时，再往团中加入任意一个结点，若集合不满足成团的条件，则称加入结点之前的团为最大团。如，往集合 $\left \{Y_1,Y_2 \right \}$ 中加入 $Y_2$ ，依然满足成团的条件，继续加入结点 $Y_4$ ，由于 $Y_1$ 不与 $Y_4$ 相连，故而 $\left \{Y_1,Y_2, Y_3 \right \}$ 为最大团。