向量正交化（Orthogonalization）介绍了将一组向量标准正交化的方法，包括施密特正交化以及使用叉积正交化三维

最近在学习计算机图形学，遇到了一些基本的数学知识，在此做一下记录。

在图形学中经常会遇到这样的情况：一开始的时候我们有一组标准正交基，但是由于数值计算的精度问题，这组向量在计算过程中会失去标准正交的特性。这时候，我们需要把这组接近标准正交的向量标准正交化。

施密特正交化（Gram-Schmidt Orthogonalization）

对于向量 n → " role="presentation" style="position: relative;"> $\vec n$ 和 v → " role="presentation" style="position: relative;"> $\vec v$ ，定义 v → " role="presentation" style="position: relative;"> $\vec v$ 在 n → " role="presentation" style="position: relative;"> $\vec n$ 上的正交投影

p → = p r o j n → ( v → ) = ( v → ⋅ n → ‖ n → ‖ ) ⋅ n → ‖ n → ‖ = v → ⋅ n → ‖ n → ‖ n → " role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">p ⃗ =p roj n ⃗ (v ⃗ )= (v ⃗ ⋅n ⃗ ∥ n ⃗ ∥ ) ⋅n ⃗ ∥ n ⃗ ∥ = v ⃗ ⋅ n ⃗ ∥ n ⃗ ∥ n ⃗ p → = p r o j n → ( v → ) = ( v → ⋅ n → ‖ n → ‖ ) ⋅ n → ‖ n → ‖ = v → ⋅ n → ‖ n → ‖ n →

对于 n" role="presentation" style="position: relative;"> $n$ 个向量的集合 { v → 0 , v → 1 , … , v → n − 1 } " role="presentation" style="position: relative;"> $\left\{ \vec v_0, \vec v_1,…, \vec v_{n-1} \right\}$ ，应用下述的施密特正交化过程（Gram-Schmidt Orthogonalization）可将其转化为一组标准正交基 { w → 0 , w → 1 , … , w → n − 1 } " role="presentation" style="position: relative;"> $\left\{ \vec w_0, \vec w_1, …, \vec w_{n-1} \right\}$ ：

令 w → 0 = v → 0 ;" role="presentation" style="position: relative;"> $\vec w_0 = \vec v_0 \ ;$
对 1 ≤ i ≤ n − 1" role="presentation" style="position: relative;"> $1 \le i \le n-1$ ，令
w → i = v → i − ∑ j = 0 i − 1 p r o j w → j ( v → i ) ;" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">w ⃗ i =v ⃗ i −∑ j =0 i −1 p roj w ⃗ j (v ⃗ i ) ; w→i=v→i−∑j=0i−1projw→j(v→i) ;
标准化：
w → i = w → i ‖ w → i ‖ ." role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">w ⃗ i =w ⃗ i ∥ w ⃗ i ∥ . w→i=w→i‖w→i‖ .

使用叉积标准正交化三维向量集合

对于三维的向量，可以利用叉积的特性来实现标准正交化：对于三维向量的集合 { v → 0 , v → 1 , v → 2 } " role="presentation" style="position: relative;"> $\left\{ \vec v_0, \vec v_1, \vec v_2 \right\}$ ，可按下述步骤将其转化为一组标准正交基 { w → 0 , w → 1 , w → 2 } " role="presentation" style="position: relative;"> $\left\{ \vec w_0, \vec w_1, \vec w_2 \right\}$ ：

令 w → 0 = v → 0 / ‖ v → 0 ‖ ;" role="presentation" style="position: relative;"> $\vec w_0 = \vec v_0 / \left\Vert \vec v_0 \right\Vert \ ;$
令
w → 2 = w → 0 × v → 1 ‖ w → 0 × v → 1 ‖ ;" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">w ⃗ 2 =w ⃗ 0 ×v ⃗ 1 ∥ w ⃗ 0 ×v ⃗ 1 ∥ ; w→2=w→0×v→1‖w→0×v→1‖ ;
令 w → 1 = w → 2 × w → 0 ." role="presentation" style="position: relative;"> $\vec w_1 = \vec w_2 \times \vec w_0 \ .$

其他注意事项

可以看到，在上述两种标准正交化方法中，第一步都是从已有的向量集中选取一个向量直接加入到结果集中，这个被选取的向量在转化前后的方向保持不变。在图形学的应用中，这个方向保持不变的向量的选择有时候是很重要的，比如在摄像机的取向问题上，我们一般希望能保持摄像机所看向的方向保持不变，这时就应该选择摄像机看向的方向作为该向量。我们应当根据特定的应用需求，正确地选择这个方向保持不变的向量。

参考文献

Introduction to 3D Game Programming with DirectX 12