数字图像处理-第一节

线性插值（双线性内插法）

已知两个点(x1, y1)、(x2, y2)，求它们中间横坐标为x的点的y值。

则可以利用如下公式进行插值计算。其中a和(1-a)为x距离x1和x2的距离占(x2-x1)的比例。
y = a*y1 + (1-a)*y2

线性插值的在二维图像上的计算

现在假设im(m, n)为原图像中第m行第n列的像素，其周围的几个像素为im(m+1, n)、im(m, n+1)、im(m+1, n+1)。

若把这几个像素的中心连线可以得到这样一个正方形。

在图像变换的过程中，变换后的图片中的像素点的值可能需要原图的像素进行插值求出像素的值，如果变化后的图象所需的值对应在原图中四个像素围成的正方形中间，则如下图所示，P点为需要求出值的像素点，则通过四个已知的像素值可以插值求出P点的像素值。

其中，a、(1-a)、b、(1-b)为P点距离边缘的距离。

总的思路就是分两次做插值计算，先用插值算出P1和P2点的像素值在用这两点求出P点的像素值。

求出P1和P2的公式如下
P1 = b*im(m, n) + (1-b)*im(m+1, n)

P2 = b*im(m, n+1) + (1-b)im(m+1, n+1)
求出P的公式如下
P = aP1 + (1-a)*P2

= a*[bim(m, n) + (1-b)im(m+1, n)] + (1-a)[bim(m, n+1) + (1-b)*im(m+1, n+1)]

= abim(m, n) + a*(1-b)im(m+1,n) + (1-a)bim(m, n+1) + (1-a)(1-b)*im(m+1, n+1)

最近邻插值

这是最简单的一种插值方法，不需要计算，在待求象素的四邻象素中，将距离待求象素最近的邻象素灰度赋给待求象素。设i+u, j+v(i, j为正整数， u, v为大于零小于1的小数，下同)为待求象素坐标，则待求象素灰度的值 f(i+u, j+v) 如下图所示：

如果(i+u, j+v)落在A区，即u<0.5, v<0.5，则将左上角象素的灰度值赋给待求象素，同理，落在B区则赋予右上角的象素灰度值，落在C区则赋予左下角象素的灰度值，落在D区则赋予右下角象素的灰度值。

最邻近元法计算量较小，但可能会造成插值生成的图像灰度上的不连续，在灰度变化的地方可能出现明显的锯齿状。

三次插值（三次内插法）

三次插值用了如下的三次多项式来逼近理论上的最佳插值函数sin(x)/x,

待求像素(x, y)的灰度值由其周围16个灰度值加权内插得到，如下图：

待求像素的灰度计算式如下：
f(x, y) = f(i+u, j+v) = ABC