用 C 语言画光（六）：菲涅耳方程在上一篇我们实现了折射，也假设了反射和折射的比重是恒定的。但现实上，这个比重与材质和入

在上一篇我们实现了折射，也假设了反射和折射的比重是恒定的。但现实上，这个比重与材质和入射角相关。

题图是我 2006 年在九寨沟拍摄的相片。相片底部，视角较接近垂直，可以看到较清晰的水下景物，倒影较暗；而在远处，视角较与水面平行，则几乎只看见倒影，难以看到水下景物。

你现在也可以把一个马克杯装满水，放在屏幕前观察水面。如果眼睛接近水平面，就可以清楚地看到屏幕倒影；如果视点往上移，那么屏幕倒影变暗，更多看到杯里的颜色。

这个现象称为菲涅耳反射（Fresnel reflectance）。奥古斯丁·菲涅耳（Augustin Fresnel， 1788－1827）为法国物理学家，注意 Fresnel 为法语姓氏，s 是不发音的。

1. 菲涅耳方程

菲涅耳方程（Fresnel equation）描述了光线经过两个介质的界面时，反射和透射的光强比重。参考下图的符号：

当中 $R \in [0, 1]$ 为反射比，因能量守恒，透射比为 T=1-R 。

对于电介质（dielectric）而言，菲涅耳方程为：

$\begin{align} R_s &= \left(\frac{\eta_1\cos\theta_i-\eta_2\cos\theta_t}{\eta_1\cos\theta_i+\eta_2\cos\theta_t}\right)^2\\ R_p &=\left(\frac{\eta_1\cos\theta_t-\eta_2\cos\theta_i}{\eta_1\cos\theta_t+\eta_2\cos\theta_i}\right)^2 \end{align}\tag{1}$

R_s 和 R_p 分别对应入射光的 s 偏振（senkrecht polarized）和 p 偏振（parallel polarized）所造成的反射比。图形学中通常考虑光是无偏振的（unpolarized），也就是两种偏振是等量的，所以可以取其平均值：

$R = \frac{R_s + R_p}{2}\tag{2}$

那么，给定入射角、透射角的余弦，以及两个介质的折射率，就可简单实现：

float fresnel(float cosi, float cost, float etai, float etat) {
    float rs = (etat * cosi - etai * cost) / (etat * cosi + etai * cost);
    float rp = (etai * cosi - etat * cost) / (etai * cosi + etat * cost);
    return (rs * rs + rp * rp) * 0.5f;
}

透射角实际上是使用斯涅尔定律从入射角得出的，所以假设折射率是常数，菲涅耳反射比是入射角的函数。下图展示了光线从空气射向不同材质时的菲涅耳反射比（来自[1] P. 233， R_F 为菲涅耳反射比）：

在趋向 $90^\circ$ 入射角时，不论什么材质反射比都趋向 1。

另外，导体（conductor）和半导体（semiconductor）的菲涅耳方程会更复杂一些，而且不同对波长的影响较大（上图中红色和紫色曲线分别对应 RGB 三种波长），我们稍后再讨论。

2. 修改实现

这个函数用于取代原来恒定的 $\texttt{reflectivity}$ ，我们原来的追踪代码是这样的：

if (depth < MAX_DEPTH && (r.reflectivity > 0.0f || r.eta > 0.0f)) {
    /* ... */
    if (r.eta > 0.0f) {
        if (refract(dx, dy, nx, ny, sign < 0.0f ? r.eta : 1.0f / r.eta, &rx, &ry))
            sum += (1.0f - refl) * trace(x - nx * BIAS, y - ny * BIAS, rx, ry, depth + 1);
        else
            refl = 1.0f; // Total internal reflection
    }
    /* ... */
}

当有折射发生时，我们利用点积计算入射角和透射角的余弦，然后用 $\texttt{fresnel()}$ 获取反射比。和调用 $\texttt{refract()}$ 时相似，我们要考虑光是从空气（ $\eta=1$ ）进入物体，还是相反：

if (depth < MAX_DEPTH && (r.reflectivity > 0.0f || r.eta > 0.0f)) {
    /* ... */
    if (r.eta > 0.0f) {
        if (refract(dx, dy, nx, ny, sign < 0.0f ? r.eta : 1.0f / r.eta, &rx, &ry)) {
            float cosi = -(dx * nx + dy * ny);
            float cost = -(rx * nx + ry * ny);
            refl = sign < 0.0f ? fresnel(cosi, cost, r.eta, 1.0f) : fresnel(cosi, cost, 1.0f, r.eta);
            sum += (1.0f - refl) * trace(x - nx * BIAS, y - ny * BIAS, rx, ry, depth + 1);
        }
        else
            refl = 1.0f; // Total internal reflection
    }
    /* ... */
}

我们比较一下，上一篇使用恒定反射比和本篇使用菲涅耳方程的渲染结果：

比较明显的区别是，光线垂直射向凸透镜和凹透镜时，使用恒定反比射会产生很亮的反射光斑，而使用菲涅耳方程的反射光斑就会暗得多，大部分光能穿过了透镜。

3. Schlick 近似

鉴于导体的菲涅耳方程较复杂，Schlick [2] 提供了一个近似的函数：

$R(\theta_i) \approx R(0)+(1-R(0))(1-\cos\theta_i)^5\tag{3}$

此函数只需要对材质提供光线垂直反射时的 R(0) 值，就能近似地计算出不同入射角旳菲涅耳反射比。下图展示此近似函数（虚线）与菲涅耳方程（实线）的比较（自 [1] P. 234）：

对于电介质，我们可以使用 (2) 计算出 R(0) ：

$R(0)=\left(\frac{\eta_i-\eta_t}{\eta_i+\eta_t}\right)^2\tag{4}$

对于导体，我们就需要提供 R(0) 的值（可能需要多个频率，如 RGB）。另一点要注意的事，从低折射率材质到高折射率材质时，要使用 $\theta_t$ ：

float schlick(float cosi, float cost, float etai, float etat) {
    float r0 = (etai - etat) / (etai + etat);
    r0 *= r0;
    float a = 1.0f - (etai < etat ? cosi : cost);
    float aa = a * a;
    return r0 + (1.0f - r0) * aa * aa * a;
}

这个函数采用和 $\texttt{fresnel()}$ 相同的接口，可以在例子中替换。但如果要支持导体，则要改变接口。

这个例子中用 Schlick 近似并没有肉眼能分辨的差异，就不显示渲染结果了。

4. 结语

我们依据菲涅耳方程，以入射角及材质特性推断出光线的反射比和透射比，这样更接近真实世界的情况。

Schlick 近似被广泛应用在实时的基于物理渲染（physically based rendering, PBR）中，除了运算简单快捷，以 R(0) 作为参数更容易让美术理解──白光直射材质所反射的颜色。用物理量（如本文未提及的波阻抗和磁导率）作为参数的话就很不友好。

本文的代码位于 fresnel.c。

参考

[1] Akenine-Möller, Tomas, Eric Haines, and Naty Hoffman. Real-time rendering, Third Edition. CRC Press, 2008.

[2] Schlick, Christophe. "An Inexpensive BRDF Model for Physically‐based Rendering." Computer graphics forum. Vol. 13. No. 3. Blackwell Science Ltd, 1994.

更新1：谢

@codeworm96

指出，公式 (4) 右侧需平方，已修正。