Hörmander 的亚椭圆性定理这则笔记意在叙述 Lars Hörmander 关于二阶亚椭圆微分算子 (hypoel

这则笔记意在叙述 Lars Hörmander 关于二阶亚椭圆微分算子 (hypoelliptic partial differential operator) 的一个经典定理. 这个定理由 Hörmander 本人 [1] 发表于1967年, 可表述如下:

设 $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ 为开集, 其上有一二阶微分算子 $P=X_1^2+...+X_r^2+X_0+c$ , 其中 $X_0,...,X_r$ 都是 $\Omega$ 上的光滑实向量场, $c$ 为光滑函数. 如果由 $\Xi=(X_0,...,X_r)$ 生成的李代数在 $\Omega$ 中每点的秩都是 $n$ , 则对于任何 $K\Subset\Omega$ , 都存在一个仅仅与诸向量场有关的常数 $\delta=\delta_K$ , 使得由 $Pu\in H_{\text{loc}}^s(K)$ 可以推出 $u\in H_{\text{loc}}^{s+\delta}(K)$ . 特别地, 这表示 $P$ 是亚椭圆算子, 即由 $Pu\in C^\infty$ 可以推出 $u\in C^\infty$ .

数 $\delta$ 怎样取决于诸向量场? 既然正则性是局部性质, 不妨假定开集 $\Omega$ 足够小, 使得对于某个 $p$ , $\text{Lie}(\Xi)$ 可以由诸向量场取至多 $p$ 次对易子而生成. 则 $\delta$ 就仅仅与这个 $p$ 有关. 在 Hörmander 的原证明中, 他取到了 $\delta\sim1/p$ . 这样一来, $\delta$ 仅仅取决于向量组 $\Xi$ 的代数性质.

Hörmander 定理的妙处有两点. 首先容易想到的一点自然是它对经典的椭圆正则性理论作出了相当程度的推广. 在论文中, Hörmander 以 Kolmogrov 型的演化方程为例说明了这一定理的用处. 考虑三维时空中的方程

$\quad\frac{\partial u}{\partial t}-\left(\frac{\partial^2 u}{\partial^2 x}+x\frac{\partial u}{\partial y}\right)=f$ .

左端微分算子的象征是高度退化的, 不管在哪一点"冻结"系数, 都不可能得到有意义的正则性估计, 而"冻结"系数正是得到经典椭圆估计的必要步骤. 但如果借助 Hörmander 定理, 则可命 $X_0=-\partial_t+x\partial_y$ , $X_1=\partial_x$ , 从而得到想要的正则性估计: 若 $f\in H^s(\Omega)$ , 则对任何 $K\Subset\Omega$ 都有

$\quad|u|_{s+1/2;K}\leq C_K(|u|_{s;\Omega}+|f|_{s;\Omega})$ .

更有趣的一点在于: 它揭示了微分算子的解析特性 (正则性) 与其代数特性的关联. 事实上, 这个定理在直观上可以作如下理解. 设在 $x_0\in\Omega$ 的某邻域内 $\text{Lie}(\Xi)$ 的秩在每一点都恒小于 $n$ , 则根据 Frobenius 定理, 在 $x_0$ 的某邻域内有一坐标变换 $x\rightarrow y$ , 使得 $P$ 在新坐标系下的表达式仅包含关于 $y^1,...,y^{n- 1}$ 的偏导数. 于是在每一片叶理 (foliation) $y^n=\text{const.}$ 上都可以任意定义函数 $u$ 的值, 这样得到的函数可以非常不光滑, 但它依旧可以是 $Pu=0$ 的 (分布意义下的) 解.这样一来便可看出: Hörmander 条件

$\quad \text{rank Lie}(\Xi)(x)=n\forall x\in\Omega$

其实是亚椭圆性的必要条件. 在这个方向上已经发展出了一套联系起分析与代数的理论 (所谓 Carnot 群), 而它使得人们甚至可以研究形如

$\quad\left(X_0+\sum_{i,j=1}^ra_{ij}X_iX_j\right)u=f$

的方程, 其中 $[a_{ij}]$ 是 Hölder 连续的一致正定的矩阵值函数; 可以对这样的方程使用Carnot 群上的调和分析手段, 而证明 Schauder 型和 $L^p$ 型先验估计.

现在来概述此定理的证明大意. 不失一般性, 假定 $\Omega$ 足够小, 使得 $\text{Lie}(\Xi)$ 可以通过取至多 $p$ 次对易子而生成. Hörmander 思路的核心是研究 $\text{Lie}(\Xi)$ 所生成的局部微分同胚

群作用在函数上所引起的偏差. 在他的原文中, 他将此称为 "沿向量场的可微性" (differentiability along vector fields). 通过这个办法, 他得到了非常精确的估计 $\delta\sim1/p$ , 这很好地用到了 $\text{Lie}(\Xi)$ 是一分次李代数的事实.

此定理另有一个更加直接的证明, 由 Kohn [2] 和 Radkevich (苏联数学家) [4] 同时独立给出, 其要义是将向量场的对易子作为拟微分算子而直接进行计算. 由此得到的估计是 $\delta\sim1/4^p$ , 这比 Hörmander 的原证要弱得多, 但却可以推广到一大类拟微分算子上去. Oleinik (即奥尔加·奥列尼克) 和 Radkevich 的专著 [3] 中给出了详细的叙述.

下面将记 $\Omega$ 上光滑实向量场的全体为 $T(\Omega)$ . 在下文中, 固定 $K\Subset\Omega$ . 在先验估计中, 无关于 $u\in C_0^\infty(K)$ 的常数均记作 $C$ .

Step 1. 准备工作: 沿向量场的可微性

对于 $X\in T(\Omega)$ , 记 $f_t^X:\Omega\rightarrow\Omega$ 为 $X$ 生成的局部微分同胚群, 即

$\quad\frac{df_t^X}{dt}=X\circ f_t^X,\,f_0^X=\text{id}$ .

存在一充分小的 $t_0$ , 使得对于 $|t|<t_0$ , $f_t^X:K\times(-t_0,t_0)\to\Omega$ .

对于 $u\in C_0^\infty(K)$ , 写 $e^{tX}u=u\circ f_t^X$ . 于是

$\quad\frac{d}{dt}e^{tX}u=e^{tX}(Xu)$ .

接下来, 对于 $s\in(0,1]$ , 定义下列半范数:

$\quad[u]_{X,s}:=\sup_{|t|<t_0}\frac{|e^{tX}u-u|_0}{|t|^s}$ .

再定义

$\quad[u]_{s}=\sum_{j=1}^n[u]_{\partial_j,s}$

即各个方向上偏差之和 ( 向量场 $\partial_j$ 生成的局部群是沿第 $j$ 坐标轴的平移). 容易验证下列性质:

设 $g_t$ 是从 $K$ 的某邻域到 $\Omega$ 的光滑映射, 光地滑依赖于参数 $t$ , 当 $t\to0$ 时有 $g_t-\text{id}=O(|t|^\alpha)$ . 则对于 $u\in C_0^\infty(K)$ 和小的 $t$ , 有 $|u\circ g_t-u|_0\leq C|t|^{\alpha s}[u]_s$ .
如果 $\psi\in C^\infty(\Omega)$ , 则对于 $u\in C_0^\infty(K)$ 有 $[u]_{\psi X,s}\leq C[u]_{X,s}$ .
对 $X\in T(\Omega)$ 与 $u\in C_0^\infty(\Omega)$ , 有 $[u]_{X,s}\leq C|Xu|_0$ 和 $[u]_{X,s}\leq C[u]_s$ .
设 $0<\sigma<s<1$ . 则对于 $u\in C_0^\infty(K)$ , 半范数 $[\cdot]_{s}$ 与通常的 Sobolev 范数之间的关系是 $|u|_{\sigma}\leq |u|_0+C[u]_{s}$ .

第一条是按定义直接算出来的, 第二第三条都可作为推论. 第四条性质依赖于下述的势论等式: 若 $s\in(0,1)$ , 则

$\quad\begin{aligned} \int_{\mathbb{R}^n}&|\hat{u}(\xi)|^2(1+|\xi|^{2s})d\xi\\ &=|u|_0^2 +C_s\int_{\mathbb{R}_x^n\times\mathbb{R}_y^n}\frac{|u(x)-u(y)|^2}{|x-y|^{n+2s}}dxdy. \end{aligned}$

Step 2. 核心步骤: 分次李代数特性的应用

给定一组光滑实向量场 $\Xi=(X_0,...,X_r)$ . 对于重指标 $I=(i_1,...,i_k)$ ( 这里 $0\leq i_1,...,i_k\leq r$ ), 命 $|I|=k$ ,

$\quad X_I=\text{ad}_{X_{i_1}}\cdots\text{ad}_{X_{i_{k-1}}}X_k.$

Hörmander 证明了下列定理:

给定一组数 $\{s_i\}_{i=0}^r\subset(0,1]$ , 定义重指标 $I=(i_1,...,i_k)$ 的函数 $s(I)$ 如下:

$\quad\frac{1}{s(I)}=\sum_{j=1}^k\frac{1}{s_{i_j}}.$

命 $T_\Xi^s(\Omega)$ 为满足 $s(I)\geq s$ 的 $X_I$ 生成的 $C^\infty(\Omega)$ -子模. 则对于 $X\in T_\Xi^s(\Omega)$ 和 $u\in C_0^\infty(K)$ 有

$\quad[u]_{X,s}\leq C\left(\sum_{i=0}^r[u]_{X_i,s_i}+|u|_0\right).$

特别地, 在 Hörmander 条件下, 若取 $s_0=...=s_r=1$ , 则有 $T_\Xi^{1/p}(\Omega)=T(\Omega)$ , 而根据上一步中半范数的性质得到

$\quad[u]_{1/p}\leq C\left(\sum_{i=0}^r[u]_{X_i,1}+|u|_0\right).$

根据一个简单的纯代数引理: 若 $1/t_1+1/t_2\leq1/t_3$ , 则有 $[T_\Xi^{t_1},T_\Xi^{t_2}]\subset T_\Xi^{t_3}$ , 再注意到 $T_\Xi^t(\Omega)\subset T_\Xi^s(\Omega),\,s<t$ , 以及 $\langle\text{Lie}(\Xi)\rangle_{C^\infty(\Omega)}=\oplus_{0<s\leq1}T_\Xi^s(\Omega)$ , 便可看出这个定理相当精细地揭示了 $\text{Lie}(\Xi)$ 的分次李代数结构与其解析特性之间的关系. 最后, 根据上一步中半范数 $[\cdot]_{s}$ 的性质, 便得一控制 Sobolev 范数的不等式: 对 $u\in C_0^\infty(K)$ 与任何 $\varepsilon>0$ ,

$\quad|u|_{1/p-\varepsilon}\leq C\left(\sum_{i=0}^r|X_iu|_0+|u|_0\right).$

这个定理的证明其实并不困难, 只是需要多次用到李代数的 Campbell-Hausdorff 公式进行一点细致的计算而已. 首先对于 $X,Y\in T(\Omega)$ 算出: 对于给定的正整数 $N$ 和 $\sigma\in(0,1)$ , 只要 $t$ 足够小, 就有

$\quad \begin{aligned} |e^{t(X+Y)}u-u|_0\leq &C\left(|e^{tX}u-u|_0+|e^{tY}u-u|_0\\ +\sum_{j=2}^{N-1}|e^{t^jZ_j}u-u|_0+t^{\sigma N}[u]_\sigma\right). \end{aligned}$

其中向量场 $\{Z_j\}$ 由 $X,Y$ 的对易子生成, 使得对于任何 $u\in C_0^\infty(K)$ 都有 $\quad e^{t(X+Y)}u=e^{tX}e^{tY}e^{t^2Z_2}\cdots e^{t^{N-1}Z_{N-1}}u+O(t^N), t\to0.$

根据 Campbell-Hausdorff 公式容易看出它们是唯一确定的. 因此对于 $T(\Omega)$ 的子模, 只要知道了生成元对函数的作用, 就可以知道这子模里任何向量场对函数的作用 (根据上一步中半范数 $[\cdot]_{X,s}$ 的性质). 由于 $T_\Xi^s(\Omega)$ 的生成元是 $X_I$ (其中 $s(I)\geq s$ ), 所以现在的关键就是用 $\Xi$ 表示 $X_I$ 所引起的变化.

固定一个 $\sigma\in(0,1)$ . 再次应用 Campbell-Hausdorff 公式而唯一确定一组 $\nu=\nu(I)$ 个指标集 $\{I_j\}_{j=1}^\nu$ , 它们的长度都大于 $|I|$ , 且使得对于任何 $u\in C_0^\infty(K)$ 都有 $\quad \begin{aligned} e^{t^{1/s(I)}X_I}u=&\left(\prod_{i=0}^re^{\pm t^{1/s_i}X_i}\right)\\ &e^{t^{1/s(I_1)}X_{I_1}}\cdots e^{t^{1/s(I_\nu)}X_{I_\nu}}u+O(t^{|I|}), t\to0. \end{aligned}$

于是根据半范数 $[\cdot]_s$ 的性质得到:

$\quad \begin{aligned} |e^{t^{1/s(I)}X_I}u-u|_0\leq&C\sum_{i=0}^r|e^{t^{1/s_i}X_i}u-u|_0\\ &+C\sum_{j=0}^\nu |e^{t^{1/s(I_j)}X_{I_j}}u-u|_0\\ &+Ct^{\sigma|I|}[u]_\sigma. \end{aligned}$

此不等式右端第二个和式的诸加项都同左端具有同样的形式, 于是可以对这第二个和式续行此推理, 直到所有 $|I_j|$ 都变得不小于 $1/\sigma$ . 这时根据 $[\cdot]_\sigma$ 的性质, 再加上 $1/s(I_j)\geq|I_j|$ 便有

$\quad|e^{t^{1/s(I_j)}X_{I_j}}u-u|_0\leq Ct[u]_{\sigma}$ .

这就得到了对生成元 $X_I$ 的估计式

$\quad \begin{aligned} |e^{t^{1/s(I)}X_I}u-u|_0\leq&C_1t\sum_{i=0}^r[u]_{X_i,s_i}+C_2t[u]_\sigma. \end{aligned}$

综合上面这些估计, 就得到了本节开头所说的定理.

Step 3. 收尾工作: 最终的正则性估计

上一步用 $\Xi$ 对 $u$ 的作用结果控制了 $u$ 的 Sobolev 范数. 这一步要用 $Pu$ 来控制 $\Xi$ 对 $u$ 的作用. 通过简单的计算, 立即可以对 $u\in C_0^\infty(K)$ 得到能量估计

$\quad\sum_{i=1}^r|X_iu|_0^2\leq C|u|_0^2-\text{Re}(u,Pu)_0.$

但由于 $X_0$ 项只是一次的, 所以关于 $X_0$ 的信息在能量估计中就丢失了 (当然, 如果并不存在 $X_0$ 项, 那么根据上一步骤的结果, 明显可以直接借 $Pu$ 的 $L^2$ 范数来控制 $|u|_{1/p-\varepsilon}$ ). 为此, Hörmander 在论证中只得作出一些退让, 转而证明如下命题:

在第二步中取 $s_0=1/2,s_1=...=s_r=1$ . 则对 $X\in T^s(\Omega)$ , $u\in C_0^\infty(K)$ , 有 $[u]_{X,s}\leq C([|u|]+[|X_0u|]')$ . 在这里, 范数

$\quad[|w|]^2=\sum_{i=1}^r|X_iw|_0+|w|_0, [|w|]'=\sup_{[|v|]=1}|(w,v)_0|$ .

证明此命题的想法同上一步类似, 也是靠研究 $|e^{tX_0}u-u|$ 的变化来估计 $[u]_{X_0,1/2}$ , 但具体叙述比上一步的主要结果繁琐得多, 而且对揭示结构显得次要一点, 所以只好略去 ( 实际上, 这是作者偷懒的表现 ).

注意到 $[|w|]'\leq|w|_0$ 和 $[|u|]^2+[|X_0u|]'^2\leq C([|Pu|]'^2+|u|_0^2)$ . 这样一来, 在Hörmander 条件之下, 根据此命题便得到一个比上一步的预期稍次一点的估计: 对于 $u\in C_0^\infty(K)$ 有

$\quad|u|_{1/(p+1)-\varepsilon}\leq C(|Pu|_0+|u|_0)$ .

借此可以通过简单的拟微分算子运算而算出: 对于给定的 $s\in\mathbb{R}$ 和 $N>0$ , 对 $u\in C_0^\infty(K)$ 有

$\quad|u|_{s+1/(p+1)-\varepsilon}\leq C_{s,N}(|Pu|_s+|u|_{-N})$ .

为方便起见, 写 $\delta=1/(p+1)-\varepsilon$ . 有了这个估计, 就可以在 $\mathfrak{D}'(\Omega)$ 中研究方程 $Pu=f,f\in H_{\text{loc}}^s(\Omega)$ 了. 这并不困难: 对任何 $x\in\Omega$ , 都存在开邻域 $\Gamma$ 使得对于某个 $N>0$ 有 $u\in H_\text{loc}^{-N}(\Gamma)$ . 不妨设 $-N<s$ . 于是取一截断函数 $\chi\in C_0^\infty(\Gamma)$ , 并设 $\{\Phi_\theta\}$ 是一组通常的磨光算子. 这样 $\Phi_\theta\chi u\in C_0^\infty(\Gamma)$ , 且对任何 $t$ ,

$\quad \begin{aligned} |\Phi_\theta\chi u|_{t+\delta}&\leq C(|P\Phi_\theta\chi u|_{t}+|u|_{-N})\\ &\leq C(|\Phi_\theta\chi f|_t+|[P,\Phi_\theta\chi]u|_t+|u|_{-N}). \end{aligned}$

由于 $\Phi_\theta\chi$ 是零阶拟微分算子, 且

$\quad \begin{aligned} \,[P,\Phi_\theta\chi]=&2\sum_{i=1}^r[X_i,\Phi_\theta\chi]X_i\\ &+\sum_{i=1}^r[X_i,[X_i,\Phi_\theta\chi]]+[X_0,\Phi_\theta\chi], \end{aligned}$

故算出 $|[P,\Phi_\theta\chi] u|_t\leq C(|Pu|_t+|u|_t)$ . 容易看出 $C$ 与 $\theta$ 无关, 故可命 $t=-N$ , $\theta\to0$ , 则得到 $u\in H_{\text{loc}}^{-N+\delta}(\Gamma)$ . 由此迭代下去, 直到得到 $u\in H^s_{\text{loc}}(\Gamma)$ , 再迭代一次便得 $u\in H^{s+\delta}_{\text{loc}}(\Gamma)$ . 于是最终得到的结果是: $Pu\in H^s_{\text{loc}}(\Omega)\Rightarrow u\in H_{\text{loc}}^{s+\delta}(\Omega)$ , 其中 $\delta=1/(p+1)-\varepsilon$ .

附记: 作者不懂 Malliavin calculus, 所以无法在正文中提及 Hörmander 定理的概率论证明...

参考文献:

[1] Hörmander L., Hypoelliptic second order differential equations. Acta Mathematica, 1967, 119(1): 147-171.

[2] Kohn J., Pseudo-differential Operators and Hypoellipticity. Spencer D. C. (ed), Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, Vol. 23, 1973.

[3] (原文为俄语) Radkevich E., On a Theorem of Hörmander. Uspekhi Mat. Nauk, 24:2(146) (1969), 233–234 .

[4] Oleinik O., Radkevich E., Second Order Equations With Nonnegative Characteristic Form. 1973 American Mathematical Society.