关于Gauss测度的一个命题前一阵无意中发现了一件关于Gauss测度的有趣的事. 则在所有中的有界Borel集上取值都为

前一阵无意中发现了一件关于Gauss测度的有趣的事.

结论: 设 $\mu$ 是 $L^2(\mathbb{R}^n)$ 的Borel $\sigma$ -域上可加的非负集函数, 其Fourier变换为

$\hat{\mu}(f)=\exp\left(-\frac{1}{2}\langle f,(-\Delta+1)^{-1}f\rangle\right), f\in L^2(\mathbb{R}^n).$

则 $\mu$ 在所有 $L^2(\mathbb{R}^n)$ 中的有界Borel集上取值都为零.

证明其实很简单. 取定一个 $f\in C_0^\infty(\mathbb{R}^n)$ , 使得它的支集包含在以远点为球心, 半径为1/4的球中, 且 $\|f\|_{L^2}=1$ . 对于任何一个格点 $k$ , 命 $f_k(x):=f(x+k)$ . 则易见诸 $f_k$ 的支集不相交. 根据Paley-Weiner定理, 知 $(-\Delta+1)^{-1}f_k$ 的支集必定落在球 $B(k,1)$ 内, 从而诸 $(-\Delta+1)^{-1}f_k$ 的支集不相交. 对于给定的 $R>0$ , 命

$C_k:=\{u\in L^2(\mathbb{R}^n):|\langle u,f_k\rangle|\leq R\}, D_m:=\bigcap_{|k|\leq m}C_k.$

显然 $L^2(\mathbb{R}^n)$ 空间中以0为球心, $R$ 为半径的球 $\mathcal{B}(0,R)$ 包含于每一个Borel集 $D_m$ 之中. 而根据 $\mu$ 的Fourier变换, 诸线性泛函 $f_k$ 在 $L^2(\mathbb{R}^n)$ 上按照 $\mu$ 是独立分布的. 所以,

$\mu(D_m)=q_R^{N(m)},$

其中 $q_R=\sqrt{\frac{\pi}{c}}\int_{-R}^Re^{-ct^2}dt<1,$ 这里 $c$ 是一个跟 $\|f\|_{L^2}$ 有关的常数; 而 $N(m)$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中模长不大于 $m$ 的格点的个数.

显然在 $m$ 趋于无穷时, $\mu(D_m)\rightarrow0$ . 根据集函数 $\mu$ 的可加性, 知其在 $L^2(\mathbb{R}^n)$ 空间中以0为球心, $R$ 为半径的球上取值必定为零. 由此就得到结论.

根据一般 $L^p$ 空间上Gauss测度的刻画, 具有命题中形式Fourier变换的集函数肯定不可能是可数可加的(它的积分核在高维情况下有奇点, 在一维情况下没有奇点但可积性太差). 为了具有这样的Fourier变换, 肯定要在其它方面付出一些代价.

所以, 在 $L^p$ 空间上构造Weiner测度类似物的企图, 恐怕都要失败. 这倒是不难从Weiner测度的性质猜出来: Weiner测度的支集可以认为是集中在连续函数空间上的. 关于抽象Weiner空间构造的Gross定理有几个精细的推论, 它们似乎也暗示了类似的结论.