单叶函数猜想(1): Loewner的贡献Bieberbach猜想(或者叫单叶函数猜想)是单复变函数论中一个著名的猜想.

Bieberbach猜想(或者叫单叶函数猜想)是单复变函数论中一个著名的猜想. 它的具体内容如下:

记单位圆盘上满足 $f(0)=0,f'(0)=1$ 的单叶函数的集合为 $\mathcal{S}$ . 对于任何 $f\in\mathcal{S}$ , 写

$f(z)=z+a_2z^2+...+a_nz^n+...$ .

则诸Taylor系数适合不等式 $|a_n|\leq n$ . 只要有一个 $n$ 使得 $|a_n|=n$ , 那么 $f$ 就一定是Koebe函数

$z\rightarrow\frac{z}{(1-z)^2}$

与旋转的复合.

需要注意的是, 单叶函数猜想给出的仅仅是函数为单叶的必要条件, 而远非充分条件. 一个简单的反例如下: $f(z)=z+2z^2$ . 点 $0$ 在单位圆盘中有两个原像 $0,-1/2$ .

首先来列举单叶函数类 $\mathcal{S}$ 的几个简单的拓扑性质. Koebe扭曲定理给出如下不等式:

设 $f\in\mathcal{S}$ , 则对于任何单位圆盘内部的点 $z$ , 必定有

$\frac{|z|}{(1+|z|)^2}\leq |f(z)|\leq\frac{|z|}{(1-|z|)^2}$ .

于是, $\mathcal{S}$ 中的函数在单位圆盘上局部一致有界; 根据Montel定理和关于单叶函数的Hurwitz定理, 可见 $\mathcal{S}$ 是全纯函数类 $\mathcal{O}(B(0,1))$ 的紧子集. 又通过不太复杂的几何理论可知, 类 $\mathcal{S}$ 中的函数都可以被slit function逼近. 所谓slit function, 就是指将单位圆盘映照成割去一条(延伸至无穷远的)Jordan弧的复平面的单叶函数. 由于Taylor系数是 $\mathcal{O}(B(0,1))$ 上的连续函数, 因此, 只需要对slit function证明Bieberbach猜想就够了.

单叶函数猜想是Bieberbach在1916年提出的, 并最终由de Branges在1984年给出证明. 它是对单叶函数类 $\mathcal{S}$ 的刻画. 在稍早些时候, Gronwall通过所谓"面积原理"这个初等的命题证明了 $|a_2|\leq2$ , 且等号成立当且仅当函数是Koebe函数与旋转的复合. Bieberbach并不知晓Gronwall的工作而独立得到了相同的结果, 并且提出了猜想 $|a_n|\leq n$ .

在接下来的几十年里, 针对这个猜想, 涌现出了一大批部分结果. 较著名的有, 例如, Nevanlinna(1920)的结果:

如果函数 $f$ 将单位圆盘映射成星型区域, 则Bieberbach猜想成立.

或者, Littlewood(1925)的结果:

$|a_n|< en$ .

可惜的是, 这些部分结果使用的基本上都是相当初等的办法, 因而要么需要附加针对像区域的几何条件, 要么只能得到较弱的估计, 却始终不能直击问题的核心.

C. Loewner却另辟蹊径. 他在1923年的文章中提出了一种崭新的方法, 并证明了 $|a_3|\leq 3$ , 而没有附带任何条件. 后来的历史证明, Loewner开辟的思路是真正有效的: 后续的一系列系数估计, 及至de Branges对单叶函数猜想的证明, 都正是对Loewner思路的本质性拓展.

一点八卦: de Branges在1984年春天给一些函数论专家寄去了一份385页长的手稿, 在其中声称无条件证明了Bieberbach猜想. 最一开始时大家都将信将疑. 列宁格勒的Steklov研究所专门请de Branges去做了几个月的讨论班, 终于在1984年六月份确认了de Branges的证明居然是正确的. 到最后, 经过Fitzgerald和Pommerenke等人的不懈努力, de Branges的证明终于被简化到十几页纸就能完整写完的程度.

现在就来叙述一下Loewner的思路.

设有一族被参数 $t\in [0,+\infty)$ 参数化的定义在 $B(0,1)$ 上的全纯函数 $f_t$ . 它被称作是一个Loewner chain, 如果它适合下面三个条件:

对于每个 $t$ , 函数 $z\rightarrow f_t(z)$ 都是单叶全纯函数.
若 $s<t$ , 则 $f_s(B(0,1))\subset f_t(B(0,1))$ .
$f_t(0)=0$ , $\partial_zf_t(0)=e^t$ .

对于 $s\leq t$ , 命 $\phi_{s,t}=f_t^{-1}\circ f_s$ , $\Omega(t)=f_t(B(0,1 ))$ . $\phi_{s,t}$ 叫做Loewner半群. 显然每个 $\phi_{s,t}$ 都是单位圆盘到自己的共形映照, 且有半群性质 $\phi_{r,s}\circ\phi_{s,t}=\phi_{r,t}$ .

由Koebe扭曲定理知

$\frac{e^t|z|}{(1+|z|)^2}\leq|f_t(z)|\leq\frac{e^t|z|}{(1-|z|)^2}$ ,

从而区域 $\Omega(t)$ 必然掩蔽 $B(0,e^t/4)$ . 于是 $\Omega(t)$ 随着 $t$ 增长而递增至全复平面. 从而, Loewner chain描述的是一族不断扩张至全复平面的区域的Riemann映照. Caratheodory的收敛定理显示, 若 $t_n\rightarrow t$ , 则 $f_{t_n}\rightarrow f_t$ . 进一步的计算给出

$|f_t(z)-f_s(z)|\leq\frac{8|z|}{(1-|z|)^4}|e^t-e^s|$ .

从而任何Loewner chain都是 $(t,z)$ 的连续函数, 对 $t$ 还是Lipschitz连续的.

通过一些简单的推理, 可见对任何一个 $f_0\in\mathcal{S}$ , 总能找到一个以 $f_0$ 为的Loewner chain. 设这个Loewner chain是 $f_t$ , 则通过Koebe扭曲定理, 可以推出一个再生性质

$f_0=\lim_{t\rightarrow+\infty}e^tf_t^{-1}\circ f_0$ .

于是, $t\rightarrow e^tf_t^{-1}\circ f_0$ 是全纯函数空间 $\mathcal{O}(B(0,1))$ 中一条起始于恒等映射而终于 $f_0$ 的道路, 且道路经过的每个函数都是单叶的. 这表示, 单叶函数类 $\mathcal{S}$ 原来是道路连通的.

在此基础上, Loewner发展出了一套非常有趣的Loewner微分方程理论; 它是描述逐渐扩张的区域的Riemann映照随参数变化的微分方程.

设 $\gamma:[0,+\infty)\rightarrow\mathbb{C}$ 是一条不经过零点的Jordan弧, 延伸至无穷远点. 命 $\gamma_t$ 为 $\gamma$ 在 $[t,+\infty)$ 上的限制, 并写 $\Gamma_t=\gamma_t([t,+\infty))$ , $\Omega(t)=\mathbb{C}\setminus\Gamma_t$ . 则从 $B(0,1 )$ 到 $\Omega(t)$ 的标准共形映照 $f_t$ (即适合 $f_t(0)=0$ , $\partial_zf_t(0)>0$ )在经过适当的伸缩变换后就成为一个Loewner chain; 于是不妨假定从一开始 $f_t$ 就适合Loewner chain的条件. 这样, $f_t$ 描述的是从单位圆盘到slit region $\Omega(0)$ 的Riemann映照的形变. 命 $\lambda(t)=f_t^{-1}(\gamma(t))$ , $k(t)=\overline{\lambda(t)}$ , 则 $k(t)$ 是单位圆周上的点. 它称为这个Loewner chain的动力(driving force). Loewner 证明了 $f_t$ 适合下列偏微分方程:

$\frac{\partial}{\partial t}f_t(z)=z\frac{1+k(t)z}{1-k(t)z}\cdot\frac{\partial}{\partial z}f_t(z)$ .

由此推出半群的转移函数适合

$\frac{\partial}{\partial t}\phi_{0,t}(z)=\frac{1+k(t)z}{1-k(t)z}\cdot\frac{\partial}{\partial z}\phi_{0,t}(z)$ .

为了恢复共形映照 $f_0$ , 只需注意到 $f_0=\lim_{t\rightarrow+\infty}e^tf_t^{-1}\circ f_0$ , 即可以从半群 $\phi_{0,t}$ 恢复起始的映照 $f_0:B(0,1)\rightarrow \Omega(0)$ . 由于并不能用明显的表达式写出 $k(t)$ , 故这种做法对于实际算出共形映照没有什么意义, 但其理论意义是十分重大的: 它给出了单位圆盘到slit region的共形映照的一个定性刻画. 实际上, 可写

$f_0(z)=z+a_2z^2+...$ , $\phi_{0,t}(z)=e^{-t}(z+q_2(t)z^2+...)$ ,

诸系数函数 $q_n$ 都是Lipschitz连续的, 且适合于 $q_n(0)=0$ , $q_n(+\infty)=a_n$ . 由半群转移函数的Loewner微分方程得到诸系数函数 $q_n$ 适合的联立(常)微分方程组:

$q_2'(t)=-2e^{-t}k(t)$ ,

$q_3'(t)=-2e^{-2t}k^2(t)-4e^{-t}k(t)q_2(t)$ ,

...

由于动力的模长 $|k(t)|\equiv1$ , 故立刻由

$a_2=q_2(+\infty)-q_2(0)=\int_0^{+\infty}q_2'(t)dt$

得到Bieberbach的结果 $|a_2|\leq2$ . 但Loewner稍稍往前多走了一小步, 就得到了本质性的突破:

由微分方程直接算得

$a_3=-2\int_0^{+\infty}e^{-2t}k^2(t)dt+4\left(\int_0^{+\infty}e^{-t}k(t)dt\right)^2$ .

通过复合适当的旋转, 可以设 $a_3$ 是非负实数. 写 $k(t)=e^{i\theta(t)}$ , 则取实部得

$a_3\leq-2\int_0^{+\infty}e^{-2t}\cos2\theta(t)dt+4\left(\int_0^{+\infty}e^{-t}\cos\theta(t)dt\right)^2$ .

用Cauchy-Schwarz不等式, 后一项可以估计如下:

$4\left(\int_0^{+\infty}e^{-t}\cos\theta(t)dt\right)^2\leq4\left(\int_0^{+\infty}e^{-t}dt\right)\left(\int_0^{+\infty}e^{-t}\cos^2\theta(t)dt\right)=4\int_0^{+\infty}e^{-t}\cos^2\theta(t)dt$ .

和前一项一起使用三角恒等式就得到

$a_3\leq1+4\int_0^{+\infty}(e^{-t}-e^{-2t})\cos^2\theta(t)dt\leq3$ .

这种方法背后隐藏的想法很有意思: 如果直接研究单叶函数的Taylor系数成困难, 那么就把它放进Lowener chain中, 通过再生性质 $f_0=\lim_{t\rightarrow+\infty}e^tf_t^{-1}\circ f_0$ 将问题转化成研究相应的Loewner chain; 但Loewner chain适合一个特殊的偏微分方程, 尽管方程中的动力项 $k(t)$ 的具体形式并不清楚, 但由于它是到单位圆周的连续函数, 所以由这一点定性的结论就推出了原来的单叶函数 $f_0$ 的性质. 这就是后来de Branges证明Bieberbach猜想的关键步骤的一种朴素形式.