1. 分类问题

1.1 混淆矩阵（Confusion Matrix）

矩阵中的每一行代表实例的预测类别，每一列代表实例的真实类别。

真正(True Positive , TP)：被模型预测为正的正样本。
假正(False Positive , FP)：被模型预测为正的负样本。
假负(False Negative , FN)：被模型预测为负的正样本。
真负(True Negative , TN)：被模型预测为负的负样本。

真正率(True Positive Rate,TPR)：TPR=TP/(TP+FN)，即被预测为正的正样本数 /正样本实际数。 召回率
假正率(False Positive Rate,FPR) ：FPR=FP/(FP+TN)，即被预测为正的负样本数 /负样本实际数。
假负率(False Negative Rate,FNR) ：FNR=FN/(TP+FN)，即被预测为负的正样本数 /正样本实际数。
真负率(True Negative Rate,TNR)：TNR=TN/(TN+FP)，即被预测为负的负样本数 /负样本实际数/2

1.1.1 sklearn相应的包

sklearn.metrics.confusion_matrix

from sklearn.metrics import confusion_matrix
# y_pred是预测标签
y_pred, y_true =[1,0,1,0], [0,0,1,0]
confusion_matrix(y_true=y_true, y_pred=y_pred)
# array([[2, 1],
#        [0, 1]], dtype=int64)

1.2 准确率(Accuracy)

分类正确的样本个数占总样本的比例.

1.2.1 sklearn相应的包

sklearn.metrics.accuracy_score

from sklearn.metrics import accuracy_score
# y_pred是预测标签
y_pred, y_true=[1,2,3,4], [2,2,3,4]
accuracy_score(y_true=y_true, y_pred=y_pred)
# 0.75

1.3 精确率(Precision): 预测正确的正样本占所有预测为正样本的比例

所有分正确的正样本/所有预测为正类的样本数.
$Precision = \frac{TP}{TP + FP}$
也叫查准率

1.3.1 sklearn相应的包

sklearn.metrics.precision_score

from sklearn.metrics import precision_score
# y_pred是预测标签
y_pred, y_true =[1,0,1,0], [0,0,1,0]
precision_score(y_true=y_true, y_pred=y_pred)
# 0.5

1.4 召回率 (Recall): 预测正确的正样本占所有正样本比例

所有分正确的正样本/所有的正样本数.
$Recall = \frac{TP}{TP + FN}$
也叫查全率

1.4.1 sklearn

sklearn.metrics.recall_score

from sklearn.metrics import recall_score
# y_pred是预测标签
y_pred, y_true =[1,0,1,0], [0,0,1,0]
recall_score(y_true=y_true, y_pred=y_pred)
# 1.0

1.5 F1 score

又称平衡分数, 定义为精确率和召回率的调和平均数
$F_1 \ score = \frac{2*Precision*Recall}{Precision + Recall}$

1.5.1 sklearn相应的包

sklearn.metrics.f1_score

from sklearn.metrics import f1_score
# y_pred是预测标签
y_pred, y_true =[1,0,1,0], [0,0,1,0]
f1_score(y_true=y_true, y_pred=y_pred)

# classification_report可以直接输出各个类的precision recall f1-score support
from sklearn.metrics import classification_report
# y_pred是预测标签
y_pred, y_true =[1,0,1,0], [0,0,1,0]
print(classification_report(y_true=y_true, y_pred=y_pred))

1.6 增益（Gain）和提升（Lift）图

1.7 ROC曲线

横轴: 负正类率(false postive rate FPR=FP/(FP+TN))特异度, 划分实例中所有负例占所有负例的比例；(1-Specificity)
纵轴: 真正类率(true postive rate TPR=TP/(TP+FN))灵敏度, Sensitivity(正类覆盖率), 即召回率

1.7.1 sklearn相应的包

sklearn.metrics.roc_curve, sklearn.metrics.auc

import matplotlib.pyplot as plt 
from sklearn.metrics import roc_curve, auc
# y_test：实际的标签, dataset_pred：预测的概率值。
fpr, tpr, thresholds = roc_curve(y_test, dataset_pred)
roc_auc = auc(fpr, tpr)  
#画图，只需要plt.plot(fpr,tpr),变量roc_auc只是记录auc的值，通过auc()函数能计算出来  
plt.plot(fpr, tpr, lw=1, label='ROC(area = %0.2f)' % (roc_auc))
plt.xlabel("FPR (False Positive Rate)")
plt.ylabel("TPR (True Positive Rate)")
plt.title("Receiver Operating Characteristic, ROC(AUC = %0.2f)"% (roc_auc))
plt.show()

1.8 AUC（Area Under Curve）

AUC即为ROC曲线下的面积(ROC的积分), 通常大于0.5小于1.
AUC值(面积)越大的分类器，性能越好.

1.8.1 sklearn相应的包

sklearn.metrics.roc_auc_score

from sklearn.metrics import roc_auc_score
# y_test：实际的标签, dataset_pred：预测的概率值。
roc_auc_score(y_test, dataset_pred)

1.9 PR曲线

横坐标: 精确率P
纵坐标: 召回率R
评价标准和ROC一样，先看平滑不平滑（蓝线明显好些）。一般来说，在同一测试集，位于上面的线比下面的好.
当P和R的值接近时，F1值最大.

1.10 多分类

precision_recall_fscore_support: 计算每个分类的precision, recall, fscore和support

2. 回归问题

在sklearn中, 通常函数以_score结尾返回一个值来最大化, 越高越好; 函数 _error或_loss结尾返回一个值来 minimize（最小化）, 越低越好.

2.1 平均绝对误差（MAE）

平均绝对误差MAE（Mean Absolute Error）又被称为l1
平均绝对误差是非负值，模型越好MAE越接近零.
公式
$MSE = \frac{1}{m}\sum_{i=0}^m|y_i - \hat{y}_i|^2$

2.1.1 sklearn相应包

sklearn.metrics.mean_absolute_error

from sklearn.metrics import mean_absolute_error

y_true, y_pred = [3, -0.5, 2, 7], [2.5, 0.0, 2, 8]
mean_absolute_error(y_true, y_pred)
# 0.5

2.2 平均平方误差（MSE）

平均平方误差MSE（Mean Squared Error）又被称为l2
本质是在残差平方和(RSS)的基础上除以了样本总量，得到了每个样本量上的平均误差.
均方误差是非负值，模型越好MSE越接近零.
公式
$MSE = \frac{1}{m}\sum_{i=0}^m(y_i - \hat{y}_i)^2$

2.2.1 sklearn相应包

sklearn.metrics.mean_squared_error

from sklearn.metrics import mean_squared_error

y_true, y_pred = [3, -0.5, 2, 7], [2.5, 0.0, 2, 8]
mse = mean_squared_error(y_true, y_pred)
# 0.375
rmse = np.sqrt(mse)
# 0.6123724356957945

2.3 均方根误差（RMSE）

均方根误差RMSE (Root Mean Squared Errort), 即MSE开方.
公式
$RMSE = \sqrt{\frac{1}{m}\sum_{i=0}^m(y_i - \hat{y}_i)^2}$

2.4 均方对数误差(MSLE)

均方对数误差MSLE (mean squared logarithmic error)
均方对数误差是非负值，模型越好MSLE越接近零.
公式
$MSLE = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(log(y_i + 1) - log(\hat{y_i + 1})^2$

2.4.1 sklearn对应包

sklearn.metrics.mean_squared_log_error

2.5 中值绝对误差(MedAE)

中值绝对误差MedAE（median absolute error）
中值绝对误差是非负值，模型越好MSE越接近零.
公式
$MedAE = median(|y_i - \hat{y}_i|, \cdots, |y_m - \hat{y}_m|)$

2.5.1 sklearn对应包

sklearn.metrics.mean_squared_log_error

2.5 可释方差得分 (EVS)

解释变异（ Explained variance）是根据误差的方差计算得到.
最佳模型的可释方差分数值为1，模型越差值越小.
公式:
$EVS = 1 - \frac{var(y_i - \hat{y_i})}{var(y_i)}$

2.5.1 sklearn相关包

sklearn.metrics.explained_variance_score

2.6 决定系数(Coefficient of Determination)

R2 决定系数(r2_score) 判断回归方程的拟合程度.
最佳模型的R^{2}决定系数分数值为1，常数模型值为0，模型越差值越小.
公式
$R^2 = 1 - \frac{\sum_{i=0}^m(y_i - \hat{y}_i)^2}{\sum_{i=0}^m(y_i - \bar{y}_i)^2} = 1 - \frac{RSS}{\sum_{i=0}^m(y_i - \bar{y}_i)^2}$

2.6.1 sklearn相关包

sklearn.metrics.r2_score

from sklearn.metrics import r2_score
y_true, y_pred = [3, -0.5, 2, 7], [2.5, 0.0, 2, 8]
r2_score(y_true, y_pred)

3. 聚类问题

聚类结果, 追求"簇内相似度"(intra-cluster similarity)高, 且"簇间相似度"(inter-cluster similarity)低.
聚类性能度量大致有两类:
- 将聚类结果与某个"参考模型"(reference model)进行比较, 称为"外部指标"(external index).
- 直接参考聚类结果而不利用任何参考模型, 称为"内部指标"(internal index).

3.1 外部指标

对数据集 $D = \{x_1, x_2, \cdots, x_m\}$ , 假定通过聚类给出的簇划分为 $C = \{C_1, C_2, \cdots, C_k \}$ , 参考模型给出的簇划分为 $C^* = \{C_1^*, C_2^*, \cdots, C_s^*\}$ . 相应地, 令 $\lambda$ 与 $\lambda^*$ 分别表示与 $C$ 和 $C^*$ 对应的簇标记向量, 将样本两两配对考虑, 定义
$a = |SS|, SS = \{(x_i,x_j) | \lambda_i = \lambda_j, \lambda_i^* = \lambda_j^*, i < j \} \\ b = |SD|, SD = \{(x_i,x_j) | \lambda_i = \lambda_j, \lambda_i^* \ne \lambda_j^*, i < j \} \\ c = |DS|, DS = \{(x_i,x_j) | \lambda_i \ne \lambda_j, \lambda_i^* = \lambda_j^*, i < j \} \\ d = |DD|, DD = \{(x_i,x_j) | \lambda_i \ne \lambda_j, \lambda_i^* \ne \lambda_j^*, i < j \}$
其中
- 集合SS: 包含了在 $C$ 中属于相同簇, 同时在 $C^*$ 中也属于相同簇的样本对
- 集合SD: 包含了在 $C$ 中属于相同簇, 同时在 $C^*$ 中属于不同簇的样本对
- 集合DS: 包含了在 $C$ 中属于不同簇, 同时在 $C^*$ 中属于相同簇的样本对
- 集合DD: 包含了在 $C$ 中属于不同簇, 同时在 $C^*$ 中属于不同簇的样本对
由于每个样本对 $(x_i, x_j) (i < j)$ 仅能出现在一个集合中, 因此有 $a + b + c + d = m(m - 1)/2$

3.1.1 常用外部指标

Jacccard系数(Jaccard Coeffient, 简称JC)
$JC = \frac{a}{a + b + c}$
FM指数(Fowlkes and Mallows Index, 简称FMI)
$FMI = \sqrt{\frac{a}{a + b} \cdot \frac{a}{a + c}}$
Rand指数(Rand Index, 简称RI)
$RI = \frac{2(a + d)}{m(m-1)}$
上述性能指数的结果值均在 $[0, 1]$ 区间, 值越大越好.

3.1.2 互信息（Mutual Information)

两个随机变量的互信息（Mutual Information，简称MI）或转移信息（transinformation）是变量间相互依赖性的量度.

3.1.3 sklearn相应包

FMI: fowlkes_mallows_score
RI: sklearn.metrics.adjusted_rand_score
MI: sklearn.metrics.adjusted_mutual_info_score

3.2 内部指标

考虑聚类结果的簇划分, 有以下定义
- $avg(C)$ 为簇 $C$ 内样本间的平均距离
- $diam(C)$ 对应簇内样本间的最远距离
- $d_{min}(C_i, C_j)$ 对应于簇 $C_i$ 与簇 $C_j$ 最近样本间的距离
- $d_{cen(C_i, C_j)}$ 对应簇 $C_i$ 与簇 $C_j$ 中心点的距离

3.2.1 常用内部指标

DB指数(Davies-Bouldin Index, 简称DBI)
$DBI = \frac{1}{k}\sum_{i=1}^k\max_{ j\ne i}(\frac{avg(C_i) + avg(C_j)}{d_{cen}(C_i, C_j)})$
DBI的可能最小值为0, 值越小越好.
Dunn指数(Dunn Index, 简称DI)
$DI = \min_{1 \le i \le k}\{\min_{j \ne i}(\frac{d_{min}(C_i,C_j)}{\max_{1 \le l \le k} diam(C_l)})\}$
DI值越大越好

3.2.2 轮廓系数（Silhouette coefficient）

结合了聚类的凝聚度（Cohesion）和分离度（Separation）, 用于评估聚类的效果。该值处于(-1,1)之间.
其中值越接近1表示样本与自己所在的簇中的样本很相似，并且与其他簇中的样本不相似;当样本点与簇外的样本更相似的时候，轮廓系数就为负; 当轮廓系数为0时, 则代表两个簇中的样本相似度一致，两个簇本应该是一个簇.
公式
$s(i) = \frac{b(i) - a(i)}{max\{a(i) , b(i)\}}$
a(i)为样本i与簇内其它样本的平均距离, b(i)为样本i与其它某簇样本的平均距离, 多个簇b(i)取最小.

3.2.3 sklearn相应包

DBI: sklearn.metrics.davies_bouldin_score
sklearn.metrics.silhouette_score, 返回是一个数据集中, 所有样本的轮廓系数均值.
sklearn.metrics.silhouette_score_samples，它的参数与轮廓系数一致，但返回的是数据集中每个样本自己的轮廓系数.

4. 关联问题

4.1 支持度(Support)

表示项目X, Y同时在总数据集中出现的概率, 其计算公式为
$support(X => Y) = \frac{T(X \cup Y)}{N}$
指N个交易记录中同时出现X和Y的交易记录所占的比例.

4.2 置信度(Confidence)

指在先导项X已经发生的情况下, 后续项Y也发生的概率, 即包含X的交易记录中同时也包含Y的交易记录所占的比例, 计算公式为:
$confidence(X => Y) = \frac{support(X \cup Y)}{support(X)}$

4.3 提升度

表示含有X的条件下同时含有Y的概率, 与无论含不含X, 含有Y的概率之比, 计算公式
$confidence(X => Y) /support(Y)$
购买X的情况下, 购买Y的概率大于购买Y的概率, 则具有提升作用.

5. 参考

6. 更多内容

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