在工业应用中，推荐系统通常可分为两部分，召回和排序。

召回阶段对应的是之前几篇文章所讲的各种推荐算法，比如据资料所载，Spotify至少使用了三种算法来生成其广受赞誉的Discover Weekly歌单，包括：

矩阵分解来学习集体智慧；
NLP处理音乐评论文章与报道；
对音频使用卷积神经网络进行分析。

这些算法各有特点，音频分析显然可以用于解决冷启动问题，NLP处理音乐评论更是可以学得专业人士的领域知识，它们各自独立运行给出自己的结果，由于独立，算法数目可增可减，亦可各自独立迭代变化。

这个过程会从几千万item中筛选出几百或者上千的候选集，然后在排序阶段选出30首歌曲给到每位用户。这个排序可理解为一个函数， $F(user, item, context)$ ，输入为用户、物品、环境，输出一个0到1之间的分数，取分数最高的几首。这一过程通常称为CTR预估。

这篇文章来说一下该“函数”的常见形式及基本运作方式。

LR

最简单的是逻辑回归(Logistic Regression)，一个广义线性模型。

拿某user的用户画像(一个向量)比如[3, 1]，拼接上某item的物品画像比如[4, 0]，再加上代表context的向量[0, 1, 1]后得到[3, 1, 4, 0, 0, 1, 1]，若该user曾与该item发生过联系则label为1，这些加起来是一个正样本，同时可以将用户“跳过”的item或热门的却没有与用户产生过联系的item作为负样本，label为0，拟合如下方程:

y = \frac{1}{1 + e ^ {- (w ^ {T}x + w_0)}}

其中 $x$ 即为上述向量， $w$ 是与x每个元素相对应的权重， $b$ 为截距。其损失函数为：

loss =\sum_{(x, y) \in D}-y \log \left(y^{\prime}\right)-(1-y) \log \left(1-y^{\prime}\right)

其中 $y$ 为样本的label0或1， $y^{\prime}$ 是根据模型预测的0到1之间的数字。

通过降低此损失函数来拟合训练样本来完成模型的训练，利用模型对新的数据进行预测即完成了打分。训练过程参考sklearn的LogisticRegression很容易完成。

传统的LR只能在线下批量处理大量数据，无法有效处理大规模的在线数据流。模型更新可能要一天甚至更多，不够及时。而Google在2013提出了Follow The Regularized Leader(FTRL)，一种在线逻辑回归算法。该方法对逻辑回归的目标函数进行了修改，加上各种系统工程上的调优，使得该模型的参数可以在每一个线上数据点进行动态更新。
可以在网上找到不少FTRL的开源实现比如libftrl-python。

FM | FFM

FM与FFM分别是Factorization Machine与Field-aware Factorization Machine的简称。

LR作为广义线性模型对特征向量与label之间的非线性关系会很苦手。这时便需要进行特征组合，比如使用线性模型来预测各种近似长方形形状的面积，两个特征为长 $x_1$ 与宽 $x_2$ ，那么显然并不能学到一个很好的模型，此时增加一个新的特征 $x_3=x_1 * x_2$ ，便可以得到很好的效果。

在实际应用中，特征向量的维度是很高的，很难像上例中直接看到这种有意义的组合，考虑所有特征两两组合则线性回归方程变为：

y(\mathbf{x})=w_{0}+\sum_{i=1}^{n} w_{i} x_{i}+\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=i+1}^{n} w_{i j} x_{i} x_{j}

除了原本特征的 $i$ 个权重外还要学习各特征组合情况对应的权重，对于参数 $w_{ij}$ 的训练，需要大量 $x_i$ 和 $x_j$ 都不为0的样本，然而由于one-hot编码等原因带来的稀疏性使得这个要求无法达成，那么训练样本不足便会导致 $w_{ij}$ 的不准确，从而影响模型的质量。

解决方案是使用矩阵分解。在推荐系统中会对user_item_matrix做分解，为user及item学得一个低维的向量来代表自已。那么此处的情况可以与之类比，将特征组合的所有权重表示为一个形状为(i * i)的矩阵，那么 $w_{ij}$ 即为此矩阵第i行第j列的数值，将此高维度的矩阵进行分解，可以为每个特征得到一个关于权重的隐向量 $v_i$ ，那么 $w_{i j}$ 使用 $v_i$ 点乘 $v_j$ 即可得到。此时线性方程变为：

y(\mathbf{x})=w_{0}+\sum_{i=1}^{n} w_{i} x_{i}+\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=i+1}^{n}\left\langle\mathbf{v}_{i}, \mathbf{v}_{j}\right\rangle x_{i} x_{j}

以上模型称为因子分解机(Factorization Machine)，经过一些数学上的变换及处理，该模型可以在 $O(kn)$ 的复杂度下进行训练和预测，是一种比较高效的模型。

在FM的基础上有人提出了Field-aware Factorization Machine。比如特征向量中有200多维来代表一个user的国家，country.uk和country.us等等，那么这200多个特征可以认为是属于一个field，区别在为特征 $x_i$ 学习隐向量时要为每一个field都学到一个相应的隐向量，特征组合权重 $w_{ij}$ 根据 $x_i$ 关于 $x_j$ 所在field的隐向量乘以 $x_j$ 关于 $x_i$ 所属field的隐向量而得，线性方程变为：

y(\mathbf{x})=w_{0}+\sum_{i=1}^{n} w_{i} x_{i}+\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=i+1}^{n}\left\langle\mathbf{v}_{{i}, f_{j}}, \mathbf{v}_{{j, f_{i}}}\right\rangle x_{i} x_{j}

该方法效果更好，而预测时间复杂度升至 $O(kn^2)$ 。有开源库libffm的实现以供使用。

GBDT & LR

Facebook在广告CTR预估上的做法是使用梯度提升决策树(GBDT) & LR的方案。

思路是将原本要输入LR的特征向量，先经过GBDT筛选和组合，生成新的特征向量再送到LR中。如图所示：

GBDT作为集成模型，会使用多棵决策树，每棵树去拟合前一棵树的残差来得到很好的拟合效果。一个样本输入到一棵树中，会根据各节点的条件往下走到某个叶子节点，将此节点值置为1，其余置为0。比如训练使用了3棵决策树，每棵决策树有5个叶子节点，样本在各树分别落到了各树从左往右的第1，2，3个节点上，则得到三个one-hot编码为[1, 0, 0, 0, 0]，[0, 1, 0, 0, 0]，[0, 0, 1, 0, 0]，拼接起来作为转换后的特征向量：[1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0]，输入到LR模型中得到分值。

此模型为Facebook的广告效果带来了明显的提升，在其发表的论文中，还讨论了各种工程上的实践与细节，包括GBDT与LR的更新频率，降采样的比例实践等，值得参考。实现GBDT可以使用开源的XGBoost包。

Wide & Deep

Google在Google Play中对App的推荐排序使用了一种名为Wide & Deep的深宽模型。如下图：

Wide部分就是广义的线性模型，在原本的特征基础上适当加一些特征组合，Deep部分是一个前馈神经网络，可以对一些稀疏的特征学习到一个低维的稠密向量，将Wide与Deep的信息相加，依然使用Sigmond来预测函数，表示为：

P(Y=1 | \mathbf{x})=\sigma\left(\mathbf{w}\_{w i d e}^{T}[\mathbf{x}, \phi(\mathbf{x})]+\mathbf{w}\_{d e e p}^{T} a^{\left(l_{f}\right)}+b\right)

其中 $\sigma$ 为Sigmond函数， $W_{wide}^T$ 是Wide部分的权重， $\phi(\mathbf{x})$ 表示Wide部分的组合特征， $a^{\left(l_{f}\right)}$ 为Deep网络最后一层输出， $b$ 是线性模型的偏重。

将两个模型放到一起联合训练(不同于集成训练需要将各模型单独训练再将结果汇合)，互相弥补对方的不足(特征工程困难和可解释性差)，该模型为Google Play的在线收益相较于纯Wide模型带来了3.9%的提升。实现可参考tensorflow/models项目。