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今天是算法数据结构专题的第29篇文章，我们来聊一个新的字符串匹配算法——KMP。

KMP这个名字不是视频播放器，更不是看毛片，它其实是由Knuth、Morris、Pratt这三个大牛名字的合称。老外很喜欢用人名来命名算法或者是定理，数学里就有一堆，什么高斯定理、欧拉函数什么的。但是中国人更倾向于从表意上来给一个概念命名，比如勾股定理、同余定理等等。之前觉得用人名命名很洋气，作者可以青史留名，后来想想这也是英文表意能力不足，很难用表意的方式起名的体现。

扯远了，我们回到正题。

应用场景

在计算机领域当中字符串匹配其实是一个非常常见的问题，我们使用它的场景也多到不可计数。比如在一个已经打开的页面当中搜索关键词，再比如说git里面的代码变动的记录，以及论文的查重等等。在这些问题当中有些情况可能还好，比如说我们搜索一个关键词，因为关键词并不长，我们暴力枚举也不会特别耗时。但是在有些问题当中明显暴力匹配是无法胜任的，比如论文查重。一篇论文动辄上千词，要和库中的上万篇文章进行查重扫描，这当中的工作量可想而知。如果是暴力枚举算法那查重显然会查到天荒地老。

所以早期的时候字符串匹配是一个难题，既然是难题那么显然就会有很多人来研究，也因此出了很多成果，很多大牛发表了字符串匹配的算法，其中KMP算法由于效率很高、实现复杂度低被应用得最广。到这里，我们就知道KMP算法是用来字符串匹配的。

比方说我们有两个字符串，A串是：I hate learning English. B串是hate learning，很明显B串是A串的字符串。如果我们暴力枚举来判断的话，我们需要遍历A串当中的每一个起始位置是否能够完成匹配，那么复杂度显然是 $O(mn)$ 。通过KMP算法，我们可以在 $O(n)$ 的时间内做到这点。

著名的大佬matrix67在KMP算法的介绍博客当中有一句著名的骚话，当你有一个喜欢的MM，你可以委婉地问她：“假如你要向你喜欢的人表白的话，我的名字是你的告白语中的子串吗？”

Next数组

KMP算法的核心精髓只有一个就是Next数组，但是这个概念并不太容易理解，很多人学KMP放弃就是折戟在了Next这个数组上。

我们先把Next数组是怎么来的放在一边，先来看下Next数组是用来干嘛的，它起作用的原理是什么，最后再来讨论Next数组怎么来的问题。根据我的理解，Next数组其实就是一个中途开始的机会，也就是当我们在枚举匹配的时候，发现了不匹配的情况，我们不是从头开始，而是从一个最大可能的中间结果开始。

我们来看个例子：

上图中上面的是A串，下面的是B串，我们在匹配的过程当中发现B串的前面几位都匹配上了，而在最后一位匹配失败。按照常规的做法，我们应该是移动到下一个位置从头开始匹配。但是这是非常浪费的，因为我们观察下可以发现失败位置的ABC和B串开头的ABC是可以构成匹配的。

我们之前失败的时候判断的是以C结尾的ABCDABC和B串的匹配，在这一次匹配失败之后，我们可以继续尝试匹配其他以C结尾的前缀串，比如ABC。这样我们就可以从中间状态开始，而节省了许多次不必要的枚举。但问题就来了，这个中间结果是怎么来的呢，我们怎么知道当下失败了上一个可行的中间结果是哪一个？

对，没有错，前面说到的Next数组就是用来存储中间结果的。所以Next可以理解成下一次机会的意思，这样就好理解了。由于我们是在A串当中寻找B串，所以这个Next数组应该是针对B的，记录B中每一个位置如果匹配失败，它的前面一个可行的中间状态是哪一个。

我们先写出来B的Next数组，等会再去研究它是怎么得到的。为了简化编码，我们假设字符串是从1位置开始的，所以我们在0的位置添加一个$符号作为占位符。对于大部分情况都是没有重来的机会的，失败了直接归零。而其中的A和B两个位置是有重来机会的，因为B的前缀当中出现了A和AB。所以如果在匹配ABD的时候失败了，我们还可以从AB处再次开始尝试匹配ABC。

算法原理

我们想象一根指针指向了B数组当中接下来要匹配的位置，如果匹配失败了，它就会跳转到Next数组当中记录的位置去，匹配成功了我们就向后移动一位。在有了Next数组之后，我们写出代码来真的很容易了：

def kmp(var_str, template_str):
    # var_str即A串
    # template_str模式串即B串
    # 我们在两个字符串前加上了占位符
    var_str = '$' + var_str
    template_str = '$' + template_str
    next = generate_next(template_str)
    n, m = len(var_str), len(template_str)
    # head指向要匹配的位置的前一位
    head = 0
    for i in range(1, n):
        # 由于next数组很长，可能失败多次
        # 直到head+1的位置能匹配上或者head等于0
        while head > 0 and template_str[head+1] != var_str[i]:
            head = next[head]
        
        # 匹配上了则head变长一位
        if template_str[head+1] == var_str[i]:
            head += 1
        
        # 如果head长度等于B串了，则表示匹配成功
        if head == m - 1:
            return True
    
    return False

对于A串中的每一个位置来说，我们都在B串当中遍历了每一个有可能构成匹配的前缀。所以说这个算法是可行的，一定可以获得解。另外一个问题是复杂度的问题，为什么我们用了两重循环，但仍然是 $O(n)$ 的算法呢？

其实很简单，因为while循环只会让head减小，而不会让head增加。head增加是在for循环里执行的，也就是说head最多增加n次。那么对应的while循环也就最多执行n次，因为head是非负的。所以while循环在整个for循环执行的过程当中最多执行了n次，整体执行的次数仍然是 $O(n)$ 级别的而不是 $n^2$ 级，当然是线性的算法。

求解Next

到这里，问题只剩下了一个，就是这个Next怎么来呢？

其实我们在之前讲Next数组的使用的时候已经泄露天机了，我们再来看下上图，不知道大家能感觉到什么。

后面一个A的Next值是1，也就是第一个A的下标，后面一个B的Next值是2，也就是第一个B的下标。换句话说第二个A能够和位置1的A匹配，后面的AB能和前缀的AB匹配。也就是说Next数组其实就是B数组自己和自己匹配的结果，我们在一开始的时候将整个Next数组全部置为0，然后依次递推迭代出所有的Next的值。

我们在求解Next[i]的时候我们可以利用上Next[i-1]的值，因为Next[i-1]存储的是能够与B[i-1]匹配的前缀的结尾位置。如果B[Next[i-1]+1]等于B[i]，那么说明Next[i] = Next[i-1] + 1。如果不等的话，我们可以用while循环来寻找能够匹配上的前缀。也就是说这是一个递推的过程，不过要注意一点我们计算Next数组要从2开始，因为对于1来说，Next[1]一定等于0。

def generate_next(var_str):
    n = len(var_str)
    next = [0 for _ in range(n)]
    for i in range(2, n):
        # 用next[i-1]作为开始寻找能够匹配上的最长next[i]
        head = next[i-1]
        while head > 0 and var_str[head+1] != var_str[i]:
            head = next[head]
		
        # 如果匹配上了，head+1
        if var_str[head+1] == var_str[i]:
            head = head + 1
        # 记录下来
        next[i] = head
    return next

总结

到这里，我们关于KMP算法的介绍就结束了，不知道大家看完之后感受如何，是不是有点蒙圈呢？

其实蒙圈是正常的，我第一次学的时候足足看了好几遍才算是看明白。这毕竟是一个比较巧妙的算法，想要通过阅读一篇文章就完全学会还是比较困难的，最好的还是亲自动手实现一下试试。KMP算法我最大的感受就是如果你把整个算法的逻辑都串起来了，那么即是自己从头到尾推导一遍难度也不是很大（我就在面试当中推导过一次）。如果你没能把逻辑串起来，那么觉得难理解看不懂是正常的，你可能需要再读一遍或者是寻找一些其他的资料查漏补缺。

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