0.1+0.2结果不是0.3，而是0.30000000000000004，要弄清楚这个问题还要从计算机底层存储说起，首先先要回顾几个基本的概念及其运算

整数表示

整数主要分为有符号整数和无符号整数。

无符号整数编码

假设整数类型数据有w位，这些位可以表示成[x_w-1,x_w-2,...,x₀],每位都是0或1，这样就获得了x的无符号表示，我们规定B2U_w表示二进制转无符号数，则：

举个列子说明：

B2U₄[0101]=0*2³+1*2²+0*2¹+1*2⁰ = 5

B2U₄[1011]=1*2³+0*2²+1*2¹+1*2⁰ = 11

无符号数最小值是所有位取0，也就是整数0。最大值是所有位取1，也就是整数2^w - 1。

有符号整数编码

最常见的有符号整数编码就是补码，将最高有效位充当符号位，0为正数，1为负数，具体定义如下，二进制位表示为[x_w-1,x_w-2,...,x₀]，我们规定B2T_w表示二进制转补码，则：

举个列子说明：

B2T₄[0101]=-0*2³+1*2²+0*2¹+1*2⁰ = 5

B2T₄[1011]=-1*2³+0*2²+1*2¹+1*2⁰ = -5

有符号数最小值是所有位取[1000....]，也就是整数-2^w-1，最大值是所有位取[01111...]，也就是整数2^w-1-1

需要注意的点：

一、补码的范围是不对称的: |TMin(补码最小值)|= |TMax(补码最大值)| + 1
二、无符号数最大值刚好比补码最大值的两倍大一 : UMax(无符号最大值) = 2 * TMax + 1

无符号数扩展

将w位无符号数扩展为w'位，我们主要是对高位进行0扩展，[x_w-1,x_w-2,...,x₀]扩展后位[0,0,0,...,x_w-1,x_w-2,...,x₀],其中w'>w，并且B2U_w(x)=B2U_w'(x')

有符号数（补码）扩展

将w位有符号数扩展为w'位，我们主要是对高位使用x_w-1进行扩展，[x_w-1,x_w-2,...,x₀]扩展后位[x_w-1,x_w-1,x_w-1,...,x_w-1,x_w-2,...,x₀],其中w'>w，并且B2T_w(x)=B2T_w'(x')

整数运算

无符号数加法：对于满足0<=x,y<2^w的所有x，y：

补码加法：对于满足-2^w-1<=x,y<=2^w-1-1的所有x，y：

基础知识回顾完了，接下来进入我们的主题，关于浮点数的存储和计算逻辑，首先看一下浮点数在计算机中是怎么存储的。

浮点数的表示

直到20世纪80年代，每个计算机制造商都设计了自己的表示浮点数的规则，以及对浮点数计算细节的实现。另外，它们常常不会太关注运算的准确性，而把实现的速度和简便性看得比精确性更重要。

这些情况随着IEEE标准754的推出而改变了，这是一个仔细制定的表示浮点数及其计算的标准。

二进制小数

理解浮点数第一步是考虑含有小数值的二进制数字。首先让我们先看一下更熟悉的十进制表示法，十进制表示法如下：

这个表达描述的数值d为：

类似的考虑形如：

的表示法，其中b_i的取值为0或1。这种方式表达的数b为：

点右边的数位的权是2的正幂，左边的数位的权是2的负幂。

例如：101.11 表示为：1*2²+0*2¹+1*2⁰+1*2^-1+1*2^-2=5.75 。

我们容易看出，小数点向左移动一位相当于被2除，小数点向右移动一位相当于乘2。

以101.11为例

小数点左移

二进制表示为10.111，数值为1*2¹+0*2⁰+1*2^-1+1*2^-2+1*2^-3=2.875。

小数点右移

二进制表示为1011.1，数值为1*2³+0*2²+1*2¹+1*2⁰+1*2^-1=11.5。

假设我们只考虑有限长度的编码，那么十进制表示法不能准确的表示1/3和5/7这样的数，同理，二进制小数只能表示那些能被写成x*2^y，其他的值只能近似的表示。

例如1/5可以用十进制0.2精确表示，但是我们不能把它精确的表示为二进制小数。

增长二进制表达长度可以提高表示的精度。如下表：

IEEE浮点数表示

表示方式

IEEE浮点标准使用

的形式来表示一个浮点数：

符号：s决定是负数（s=1）还是正数（s=0）
尾数：M是一个二进制小数，它的范围是1～2-⍷或者是0～1-⍷
阶码：E的作用是对浮点数加权，这个权重是2的E次幂（可能是负数）

将浮点数的位表示分为3个阶段：

一个单独的符号位s直接编码符号s
k位的阶码字段exp=e_k-1e_k-2...e₀
n位的小数字段frac=f_n-1f_n-2...f₀编码尾码M，但是编码出来的值也依赖于阶码的值是否为0。

以c语言的float和double为例：

根据exp的值不同，编码后的值被分为三种情况，情况对应如下：

规格化数值表示

exp不全为0也不全为1的情况下：

阶码的值为e-Bias，其中e为无符号数，其位表示e_k-1e_k-2...e₀，Bias值为2^k-1-1。

尾码的值为1+f，其中f值为0.f_n-1f_n-2...f₀，这种方式也称为隐含的以1开头的表示，因为总是可以通过阶码的移动使得尾数1<= M < 2，所以这样可以多获取一个精度的值。
非规格化数

exp全为0的的情况下：

阶码的值为1-Bias，尾码的值为f，其中Bias和f的取值方式和规格化数相同。

舍入规则

因为表示方法限制了浮点数的精度和范围，所以浮点数只能近似的表示实数运算。对于数值x，我们需要一个系统的方法，找到最接近的x的x'。

IEEE浮点格式定义了四种不同的舍入规则，默认的方法是找到最接近匹配的，其他三种用于计算上界和下界。举例来说明四种舍入方式：

默认使用的是向偶数舍入的方式，它首先试图找到一个最接近的值，唯一的设计决策是确定两个可能的中间数的值，该方法是：将数字向上或向下舍入，使得结果的最低有效位是偶数。

为什么使用偏向取偶数，而不是向上或向下舍入，可以假想这样一个场景，使用向上或向下舍入一组值，会在计算这些平均值的时候引入统计误差，向偶数舍入会在大多数现实情况中避免这种统计误差

同理向偶数舍入也可以运用在二进制的小数上，我们将最低有效位的值0认为是偶数，值1认为是奇数，一般来说只有对形如：XXXX.YYYY1000的二进制的模式的数，这个舍入方式才会有效，最右边的Y是要被舍入的位置，只有这种位模式表示两个可能的值中间的值。

如下，我们考虑舍入到小数点后两位：

10.00011₂舍入后的值位10.00₂（向下舍入）

10.00110₂舍入后的值位10.01₂（向上舍入）

10.01100₂舍入后的值位10.10₂（向偶数舍入），这个值是两个可能值中间的值，所以倾向于使最低有效位为零。

浮点数计算

根据ECMA-262规范描述：

primitive value corresponding to a double-precision 64-bit binary format IEEE 754 value

翻译成中文为：

数值型原始值对应双精度64位二进制格式的IEEE 754值

以下计算以双精度浮点数为前提

浮点数计算遵循以下步骤

对阶，小阶向大阶对齐；
尾数运算；
规格化处理；
舍入处理；
溢出验证（上溢和下溢）；

以标题中的0.1+0.2为例

0.1和0.2根据IEEE标准表示为双精度浮点数：

数值	s	exp	frac
0.1	0	01111111011	1001100110011001100110011001100110011001100110011010
0.2	0	01111111100	1001100110011001100110011001100110011001100110011010

0.1表示为(-1)⁰*1.6*2^-4

0.2表示为(-1)⁰*1.6*2^-3

对阶

0.1的阶码值：-4

0.2的阶码值：-3

所以将0.1的尾码右移1一位为：

0 01111111100 1100110011001100110011001100110011001100110011001101

尾数相加

由于0.1尾数右移了一位，整数位则默认补0。

  x: 0.1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1101
+ y: 1.1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1010
-----------------------------------------------------------------------
    10.0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0111

规格化处理

由于尾数并不是规格化数，因为整数部分为10而不是1，需要对其进行规格化处理。即尾数需要右移1位，阶码值加一。

10.0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0111

右移一位 1.00110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 011(1)

规格化后，尾数高位1，隐藏不显示

s	exp	frac
0	01111111101	0011001100110011001100110011001100110011001100110011(1)

舍入处理

尾数末位是1，需要利用上文介绍的舍入方法对其进行舍入，按最接近值舍入为(末尾加1)引入了误差

s	exp	frac
0	01111111101	0011001100110011001100110011001100110011001100110100

检查溢出

0 01111111101 0011001100110011001100110011001100110011001100110100，没右发生溢出，故0.1+0.2结果为：

s	exp	frac
0	01111111101	0011001100110011001100110011001100110011001100110100

结果

将上述表示按规格化数转化成十进制为

0.30000000000000004