来源

公众号：人魔七七

Github：https://github.com/renmoqiqi/100-Days-Of-iOS-DataStructure-Algorithm

一张图来描述Binary Tree

二叉树的节点最大分支度是2，也说明每个节点最多拥有2个子节点，范围是[0-2]。

Binary Tree的几个常见类型

A degenerate (or pathological) tree。（树的每个节点只有一个子节点或者是右孩子或者是左孩子，这时候这个树就和链表性能差不多了。）

Full Binary Tree （树的任何一个节点都有0或者2个孩子节点。或者这样定义树的任何一个非叶子节点都有两个孩子节点）

Complete Binary Tree（可能除了树的最后一层其它层级的每个节点都有左右孩子节点，最后一层要么是满的要么节点都靠左边）
Perfect Binary Tree （它是一个这样的二叉树，他所有的非叶子节点都有左右子节点，并且所有的叶子节点都在同一层级）

和Binary Tree有关的一些公式

节点数和二叉树树Height的关系，假如h是树的Height，n是树节点个数。那么Min Nodes(n = h+1),Max Nodes(2^h+1-1)。看下图例子，很容易推导出Min Nodes(n = h+1)。

下面我们推导下Max Nodes。上图第三种情况h = 3，Max Nodes = 1 +2 + 2²+ 2³ = 15，也就是Max Nodes = 1 +2 + 2²+ 2³ + ....+ 2^h= ,也就是等比数列求和，如下图：

代入求和 Max Nodes = 1 +2 + 2²+ 2³ + ....+ 2^h=2^h+1-1

等比数列求和可以参考如下链接： https://zh.wikipedia.org/wiki/等比数列

反过来可以很容易推导出Min Height (h = Log₂(n+1)-1),Max Height(h = n-1)。

如果是full binary tree那么节点数和树Height的关系又是什么呢？推导过程可以参考上面的步骤，Min Nodes(n = 2h+1),Max Nodes(2^h+1-1)，反过来可以很容易推导出Min Height (h = Log₂(n+1)-1),Max Height(h = ${n-1}\over{2}$ )。
第i层至多拥有2^i-1个节点，最少有1个节点。从下图可以很容易看出来，
度为0的节点数n1和度为2节点数n2的关系。n1 = n2 + 1。看下图

二叉树的存储方式

Array Representation
Linked Representation

Array Representation

二叉树可以被以广度优先的顺序作为隐式数据结构存储在数组中。注意的是如果这个二叉树是complete binary tree，这些不会浪费空间，但是如果对于A degenerate (or pathological) tree这种高度很大的树就很浪费空间，可以参考后面根据这个存储方式判断这个树是不是complete binary tree的介绍。这种存储方法通常也用在binary heaps。

举例：找E的父节点，E的索引是5，那么Parent = i/2 = 5/2 = 2.5,向下取整就是2，对应的就是B。反之假如找A的左右孩子，A的索引是1，那么左孩子索引就是2对应B，右孩子索引就是3对应C。

注意：Parent的索引如果有存在小数情况是向下取整。

下面我们看怎么根据这个表示方法判断是不是complete binary tree。

上三个图中1，2元素之间没有空白的空间是complete binary tree，图3元素之间有空白的空间说明不是complete binary tree。

Linked Representation

@interface DSTreeNode : NSObject

@property (nonatomic, strong) NSObject   *object;
@property (nonatomic, strong) DSTreeNode *leftChild;
@property (nonatomic, strong) DSTreeNode *rightChild;
@property (nonatomic, strong) DSTreeNode *parent;
@property (nonatomic, assign) SEL         compareSelector;


- (void)printDescription;
//是否是左还是结点
- (BOOL)isLeftChildOfParent;


@end

这种存储二叉树方法浪费了不少内存,由于那些节点的左右指针（为null或者指向某些节点）。