在Dijkstra算法中，面对单源单目标的最短路径，如果遇到了要relax的节点u就是目标节点t,显然就可以执行结束了。

Dijkstra算法

Dijkstra算法的探索路径是从源一直往目标前景，那么加速它的一个角度就是从源开始探索的时候，同时从目标点向源开始探索，这种算法即Bi-Directional Search。

Bi-Directional Search

具体操作位，从源点和从目标两个方向均开始搜索，轮流的执行。两个方向的搜索意味着，在初始化的时候将有两个路径值： $d_f[u]$ :向前搜索最短路径、 $d_b[u]$ 向后搜索最短路径；两个最小优先级队列 $Q_f$ 、 $Q_b$ ；对应的前一个节点指向 $\pi_f$ 、 $\pi_b$ ;以及 $S_f$ 、 $S_b$

向前搜索：沿着源点向目标搜索

向后搜索：沿着目标向源点搜索

Bi-Directional Search的结束条件是什么？

对于选出的顶点u,当他'同时'被前向搜索和后向搜索处理完成，或者说是‘同时’从 $Q_f$ 、 $Q_b$ 中删除了，此时可以结束。

当 Bi-Directional Search的结束的时候，如何找到最短路径？

可能想到的思路是，如果u是第一个满足结束条件的，那么沿着各自的前向指针，即可找到最短路径。以如下搜索为例：

向前搜索：从源点出发，使用Dijkstra算法，可以计算出 $Q_f$ ={a(3),u(5),b( $\infty$ ),t( $\infty$ )}, $S_f$ ={s(0)}

向后搜索：从目标出发，使用Dijkstra算法，可以计算出 $Q_b$ ={a( $\infty$ ),s( $\infty$ ),b(3),u(5)}, $S_b$ ={t(0)}

向前搜索：从 $Q_f$ 中移除的最小值为 $d_f[a]$ =3,执行边(a,b)的Relax操作，可得到 $Q_f$ ={u(5),b(6),t( $\infty$ )}, $S_f$ ={s(0),a(3)}

向后搜索：从 $Q_b$ 中移除最小值为 $d_b[b]$ =3,执行边(a,b)的Relax操作，可以计算出 $Q_b$ ={a(6),s( $\infty$ ),u(5)}, $S_b$ ={t(0),b(3)}

向前搜索：从 $Q_f$ 中移除的最小值为 $d_f[u]$ =5,执行边(u,t)的Relax操作，可得到 $Q_f$ ={b(6),t(10)}, $S_f$ ={s(0),a(3),u(5)}

向后搜索：从 $Q_b$ 中移除最小值为 $d_b[u]$ =5,执行边(s,u)的Relax操作，可以计算出 $Q_b$ ={a(6),s(10)}, $S_b$ ={t(0),b(3),u(5)}

此时的u达到了终止的条件，同时从 $Q_f$ 和 $Q_b$ 中删除，按照前向搜索和后向搜索的指针去计算最短路径，发现为10，很明显不是最短路径。
正确的计算方式为：当终止之后，应该找到一个顶点x,使得 $d_f[x]$ + $d_b[x]$ 最小。具体措施为，看 $S_f$ 、 $Q_f$ 中的所有节点，看它在 $S_b$ 、 $Q_b$ 中值，使得 $d_f[x]$ + $d_b[x]$ 最小

另一种算法为Goal-Directed Search ,详见 https://www.researchgate.net/publication/225722939_Speed-Up_Techniques_for_Shortest-Path_Computations

附录

算法导论(MIT 6.006 第18讲)