DLX（Dancing Links）算法详解：求解数独最快的算法DLX（Dancing Links）用双向十字循环链表实

DLX（Dancing Links）用双向十字循环链表实现 Algorithm X，通常用于求解精确覆盖问题。

一、精确覆盖问题

设全集为 $U$ ，给定若干候选子集 $S_1,S_2,\ldots,S_n$ ，需要从中选出一些子集，使 $U$ 中的每个元素都恰好被包含一次。即所选子集两两不交，且并集等于 $U$ 。

将每个候选子集写成一行，将全集中的每个元素写成一列。若子集 $S_r$ 包含元素 $c$ ，则矩阵的 $a_{r,c}=1$ ，否则为 0。这样就得到用于精确覆盖的 0-1 关联矩阵（incidence matrix）：

候选行	C1	C2	C3	C4
R1	1	1	0	0
R2	0	0	1	1
R3	1	0	1	0
R4	0	1	0	1

矩阵表示的内容是：

行：一种可以选择的完整方案。例如 R1 同时满足 C1、C2。
列：一个必须恰好满足一次的约束。
1：该方案会覆盖该列；0：该方案不覆盖该列。

这里有两组精确覆盖解：{R1, R2} 与 {R3, R4}。前者覆盖的列集合分别为 {C1,C2}、{C3,C4}，不存在遗漏或重复。

二、X 算法

对于 $n$ 行 $m$ 列的 0-1 矩阵，最直接的做法是枚举每行是否选取，再检查每列中 1 的个数是否为 1。这需要考虑最多 $2^n$ 个行子集，逐一检查的时间开销很大。

Algorithm X 改为按约束列展开搜索。设当前还未满足的约束列集合为 $C$ ，每一次递归执行以下步骤：

从 $C$ 中选出一列 $c$ 。如果 $C$ 为空，则当前已选行构成一个解。
枚举所有在第 $c$ 列取值为 1 的候选行 $r$ 。
假设选中 $r$ ，从剩余问题中去掉 $r$ 所覆盖的列，并去掉与 $r$ 在任意列发生冲突的候选行。
对缩小后的问题递归求解；无解时恢复状态，尝试第 $c$ 列的下一行。

仍以四列矩阵为例，第 C1 列有 R1、R3 两种候选行。若选择 R1，则 C1、C2 已被满足，剩余的 C3、C4 可以由 R2 覆盖；若选择 R3，则 C1、C3 已被满足，剩余的 C2、C4 可以由 R4 覆盖。

选定 C1
├── 选择 R1（覆盖 C1、C2）
│   └── 选择 R2（覆盖 C3、C4） -> 一组解
└── 选择 R3（覆盖 C1、C3）
    └── 选择 R4（覆盖 C2、C4） -> 另一组解

搜索期间需要频繁删除行、列，并在回溯时恢复。普通二维数组可以实现，但每次删除或恢复都涉及较多元素的移动或状态判断。Dancing Links 用双向循环链表维护这些变化；Algorithm X 决定搜索顺序，DLX 负责链表操作。

三、舞蹈链的数据结构

以下使用一个 3×3 矩阵说明链表结构：

原矩阵	C1	C2	C3
R1	A	0	B
R2	C	D	0
R3	0	E	F

A～F 分别代表该位置的一个 1，不是额外的矩阵取值。

在这里插入图片描述

一个 1 对应一个节点

每个数据节点 p 有四个方向指针（数组模拟时实际存储的是节点编号）：

数组	含义	连接范围
`L[p]`	当前节点左侧节点	同一矩阵行
`R[p]`	当前节点右侧节点	同一矩阵行
`U[p]`	当前节点上侧节点	同一矩阵列
`D[p]`	当前节点下侧节点	同一矩阵列

因此，一个节点同时加入一条横向循环链表和一条纵向循环链表。例如 A 位于 R1、C1：横向连接 B，纵向连接 C。并不是横向、纵向各创建一个 A。

在这里插入图片描述

当同一行只有 A、B 两个数据节点时，L[A] = R[A] = B，L[B] = R[B] = A；当某行只有一个节点时，它的 L、R 都指向自己。

列头与总表头

DLX 额外创建：

编号为 0 的总表头 root；
编号 1..m 的列头，每列一个；
编号 m+1 开始的数据节点，每个 1 一个。

列头用于纵向访问该列的数据节点，且列头之间通过 L/R 连接成另一条双向循环链表：

root <-> H1 <-> H2 <-> H3 <-> root

H1 <-> A <-> C <-> H1    （纵向）
H2 <-> D <-> E <-> H2    （纵向）
H3 <-> B <-> F <-> H3    （纵向）

A  <-> B <-> A            （横向）
C  <-> D <-> C            （横向）
E  <-> F <-> E            （横向）

以上 <-> 只是表示相邻节点双向连接，末尾返回开头；实际横向和纵向的相邻关系分别存放在不同的数组中。行一般没有专用的行头节点，而是用 first[r] 记录建表时该行的一个入口。

节点编号和原矩阵坐标

按行扫描，依次插入 A、B、C、D、E、F，节点编号如下：

节点	root	H1	H2	H3	A	B	C	D	E	F
编号	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9

例如 R[4] = 5 表示编号 4 的节点 A 的右邻居是节点 B；col[5] = 3 才表示 B 对应原矩阵第 3 列。节点编号只是存储位置，不代表行号或列号。

四、建表过程

初始化

列头先连成横向循环链表；每个列头的 U/D 指向自身，表示当前列没有数据节点：

void DLX::init(int n,int m)
{
    tot=m;
    for(int i=0;i<=n;i++)first[i]=0;
    for(int i=0;i<=m;i++)
    {
        L[i]=i-1;
        R[i]=i+1;
        U[i]=D[i]=i;
        sz[i]=0;
        col[i]=i;
    }
    L[0]=m;
    R[m]=0;
}

当 m=3 时，初始化后的部分数组为：

编号	节点	L	R	U	D
0	root	3	1	0	0
1	H1	0	2	1	1
2	H2	1	3	2	2
3	H3	2	0	3	3

例如 U[1]=D[1]=1 的意思不是“第 1 列已经有数据”，而是“空列的纵向循环链表只有列头 H1”。

插入节点

设待插入的 1 位于原矩阵 (r,c)，给新节点分配编号 p=++tot。纵向把它插在当前列的最后一个数据节点与列头 c 之间：

int p=++tot;
row[p]=r;
col[p]=c;

int last=U[c];
U[p]=last;
D[p]=c;
D[last]=p;
U[c]=p;
sz[c]++;

前两句指向旧末尾与列头，后两句让旧末尾和列头改为指向新节点。由于这是一个循环链表，列头 c 也充当纵向插入时的边界。

横向插入分两种情况。第一次向行 r 插入节点时，形成只有自己的循环链表：

if(first[r]==0)
{
    first[r]=p;
    L[p]=R[p]=p;
}

如果该行已有节点，就在 first[r] 之前、也就是当前行末尾插入：

else
{
    int f=first[r];
    L[p]=L[f];
    R[p]=f;
    R[L[f]]=p;
    L[f]=p;
}

这里的“末尾”只是本实现的插入位置。DLX 不要求横向节点按照原矩阵的列号严格递增；只需要保证每个候选行在链表中包含正确的节点。

在这里插入图片描述

3×3 矩阵的完整插入过程

把六次插入逐一展开，比直接看完整代码更容易核对指针：

次序	插入位置	节点编号	纵向变化	横向变化
1	A=(R1,C1)	4	`H1 ↔ A ↔ H1`	`A ↔ A`，`first[1]=4`
2	B=(R1,C3)	5	`H3 ↔ B ↔ H3`	`A ↔ B ↔ A`
3	C=(R2,C1)	6	`H1 ↔ A ↔ C ↔ H1`	`C ↔ C`，`first[2]=6`
4	D=(R2,C2)	7	`H2 ↔ D ↔ H2`	`C ↔ D ↔ C`
5	E=(R3,C2)	8	`H2 ↔ D ↔ E ↔ H2`	`E ↔ E`，`first[3]=8`
6	F=(R3,C3)	9	`H3 ↔ B ↔ F ↔ H3`	`E ↔ F ↔ E`

六次插入的指针变化如下。表中的 p 为新节点编号；列头和旧节点指针的修改同样列出。row[p]、col[p] 每次都设为对应的原矩阵坐标。

插入节点	纵向新增和修改	横向新增和修改	辅助数组
A（4）	`U[4]=1, D[4]=1, D[1]=4, U[1]=4`	`L[4]=4, R[4]=4`	`first[1]=4, sz[1]=1`
B（5）	`U[5]=3, D[5]=3, D[3]=5, U[3]=5`	`L[5]=4, R[5]=4, R[4]=5, L[4]=5`	`sz[3]=1`
C（6）	`U[6]=4, D[6]=1, D[4]=6, U[1]=6`	`L[6]=6, R[6]=6`	`first[2]=6, sz[1]=2`
D（7）	`U[7]=2, D[7]=2, D[2]=7, U[2]=7`	`L[7]=6, R[7]=6, R[6]=7, L[6]=7`	`sz[2]=1`
E（8）	`U[8]=7, D[8]=2, D[7]=8, U[2]=8`	`L[8]=8, R[8]=8`	`first[3]=8, sz[2]=2`
F（9）	`U[9]=5, D[9]=3, D[5]=9, U[3]=9`	`L[9]=8, R[9]=8, R[8]=9, L[8]=9`	`sz[3]=2`

例如插入 C 时，U[6]=4、D[6]=1 是新节点的邻接记录；D[4]=6、U[1]=6 则是更新 A 和 H1 的旧链接。只有双方的指针都修改完，纵向双向循环链表才完整。

全部插入完成后的方向数组如下。它可以作为调试 insert() 的直接对照表：

节点编号	节点	L	R	U	D	row	col
0	root	3	1	0	0	—	—
1	H1	0	2	6	4	—	1
2	H2	1	3	8	7	—	2
3	H3	2	0	9	5	—	3
4	A	5	5	1	6	1	1
5	B	4	4	3	9	1	3
6	C	7	7	4	1	2	1
7	D	6	6	2	8	2	2
8	E	9	9	7	2	3	2
9	F	8	8	5	3	3	3

辅助数组此时为 first[1..3] = {4,6,8}，sz[1..3] = {2,2,2}。其中 sz[c] 统计的是该列当前活动数据节点数量，列头不计入。

五、删除与恢复

单个节点的摘除和恢复

假设纵向循环链表的局部顺序是 A ↔ B ↔ C。删除 B 的操作只有：

D[U[B]]=D[B];
U[D[B]]=U[B];

这两句修改的是 B 上下邻居的指针；B 自己的 U[B] 与 D[B] 保持旧值。于是活动链表中 A 直接连接 C，但 B 仍记得原来的位置。

// 按正确的回溯顺序恢复 B
D[U[B]]=B;
U[D[B]]=B;

该操作是 $O(1)$ 的。恢复正确的前提是被摘除节点及相关邻居遵守 DLX 的逆序回溯规则，不能随意改变恢复次序。横向摘除列头时使用的是对称的 L/R 修改。

`cover(c)`：覆盖一列

cover(c) 的输入是列头编号，而不是某个普通数据节点编号。它完成两类修改：

把列头 c 从 root 的横向活动列链表中摘除；
遍历 c 纵向链表中的每个数据节点 i，将其所在行的**其他节点 j**从各自的纵向活动链表中摘除。

void DLX::cover(int c)
{
    L[R[c]]=L[c];
    R[L[c]]=R[c];

    for(int i=D[c];i!=c;i=D[i])
        for(int j=R[i];j!=i;j=R[j])
        {
            U[D[j]]=U[j];
            D[U[j]]=D[j];
            sz[col[j]]--;
        }
}

`cover(C1)` 的实际执行过程

3×3 例子中的 C1 包含 A（R1）和 C（R2）。执行过程如下：

步骤	外层 `i`	内层 `j`	实际操作
先摘列头	—	—	让 `root` 的列头链表绕过 H1
第一次	A（4）	B（5）	将 B 从 C3 的纵向链表摘除，`sz[3]--`
第二次	C（6）	D（7）	将 D 从 C2 的纵向链表摘除，`sz[2]--`

在这里插入图片描述

B 与 D 不是同一行。它们分别通过 A → B 和 C → D 两条不同的横向链表被访问。之所以都被摘除，是因为 A、C 属于同一个需要处理的列 C1。

cover(C1) 完成后，活动列头只剩 H2、H3。纵向活动链表变为 H2 ↔ E ↔ H2、H3 ↔ F ↔ H3。而 H1 自己的纵向环仍为 H1 ↔ A ↔ C ↔ H1，用来在下一步枚举候选行。

因此，cover(c) 的作用是：它是在当前搜索层中维护可能的候选关系，既没有销毁整行节点，也没有直接决定选中哪一行。B、D 的横向指针同样保持不变，用于后续恢复。

节点编号与列编号

内层变量 j 是数据节点编号，例如 B 对应 j=5，但它所属的列是 col[5]=3。因此删除 B 时必须写：

sz[col[j]]--;  // 正确：第 3 列的活动节点数减 1

sz[j]-- 则是错误地把节点编号 5 当作列编号。类似地，选择行时也应该执行 cover(col[j])，而不是 cover(j)。

`uncover(c)`：逆序恢复

覆盖操作按“先列头、后数据节点；向下、向右”的顺序进行。恢复时需要“先数据节点、后列头；向上、向左”：

void DLX::uncover(int c)
{
    for(int i=U[c];i!=c;i=U[i])
        for(int j=L[i];j!=i;j=L[j])
        {
            U[D[j]]=j;
            D[U[j]]=j;
            sz[col[j]]++;
        }

    L[R[c]]=c;
    R[L[c]]=c;
}

以 cover(C1) 为例，被摘除的数据节点先后是 B、D，因此恢复应为 D → B → H1 列头。对应 uncover(C1) 的遍历方向为 C→A（向上），每行沿左指针恢复。

uncover() 的标准写法把列头放在最后恢复。这与 cover() 的顺序完全对应，方便检查回溯不变量。节点本身的旧指针未被清空，因此不需要重新查找插入位置。

六、搜索过程

链表的插入、删除和恢复确定后，即可实现 Algorithm X 的递归搜索。

选列与选行

在四列示例中，若当前选择 C1，候选行只有 R1 和 R3。两个候选行分别表示：

选择 R1，覆盖 {C1,C2}；
选择 R3，覆盖 {C1,C3}。

无论进入哪个分支，C1 都需要被处理；而 C2、C3 则取决于实际选择了哪一行。因此标准 DLX 将 cover(c) 放在候选行循环外。

在这里插入图片描述

int c=R[0];
cover(c);                     // 当前搜索层的公共操作

for(int i=D[c];i!=c;i=D[i])
{
    ans[dep]=row[i];          // 尝试选择 i 对应的原矩阵行

    for(int j=R[i];j!=i;j=R[j])
        cover(col[j]);       // 该行涉及的其他列

    dance(dep+1);

    for(int j=L[i];j!=i;j=L[j])
        uncover(col[j]);     // 与 cover 顺序相反
}

uncover(c);

`cover(c)` 的执行位置

从数学上讲，精确覆盖的决定是选择候选行。仅仅执行 cover(c) 并不能证明已经有行满足 C1；这一点需要区分“搜索结构中的列头摘除”和“搜索分支选定一行”。

标准实现中：

cover(c) 暂时摘除当前列头，并处理该列关联的候选行在其他列中的节点；
for (i=D[c]; i!=c; i=D[i]) 从当前列的候选节点中选择一行；
覆盖这行包含的其余列后，才调用下一层 dance(dep+1)；
回溯时恢复其余列，枚举下一个 i；所有候选行都试完后再恢复 c。

如果列 c 没有任何候选节点，循环根本不会执行，也就不会进入下一层并误判成功。可以提前用 sz[c]==0 直接返回失败。

一个更小的反例是单元素矩阵 [1]：如果省略 cover(c)，只覆盖被选中行的“其他列”，该行没有其他列，递归前活动列头链表没有变化；下一层会再次处理同一个 C1，反复递归。每一次实际选行，都必须把该行的全部约束从待处理列集合中移除，其中就包括当前列 c。

当然，也可以在枚举每个候选行时才执行 cover(c)，再覆盖该行的其他列；只要严格恢复，也能实现相同的搜索。标准写法将各分支共用的 cover(c) 提取到循环外，减少重复操作，并保持当前候选列的遍历入口稳定。

为何还能遍历当前列

因为覆盖列头时只修改它的横向 L/R 关系，并没有删除这个列头或它的纵向节点。D[c] 仍指向该列第一个候选数据节点。于是：

cover(c);
for(int i=D[c];i!=c;i=D[i])
{
    // 此处仍可逐个枚举 c 列的候选行
}

所需的入口始终存在，直到当前搜索层结束并执行 uncover(c)。

3×3 矩阵上的搜索过程

前面的 3×3 矩阵没有精确覆盖解，因为任意两个不同行的集合都存在重叠列，而只选择一行又不能覆盖全部 3 列。DLX 的搜索过程可以直接显示这一点。

先选 C1：执行 cover(C1) 后，H1 保留 A、C 作为候选，H2 中只剩 E，H3 中只剩 F。接下来有两条分支：

分支	选中的原矩阵行	本层继续执行	结果
先试 A	R1 = `{C1,C3}`	`cover(C3)` 时，F 所在行的 E 从 C2 中摘除	`sz[C2]=0`，失败并回溯
再试 C	R2 = `{C1,C2}`	`cover(C2)` 时，E 所在行的 F 从 C3 中摘除	`sz[C3]=0`，失败并回溯

在第一条分支里，cover(C3) 会让 C2 变为空活动列；第二条分支则对称地让 C3 变为空活动列。因此两条分支都不可能继续选出合法行。恢复 C1 后，当前层所有候选行已被枚举，dance(0) 返回 false。

可以看到 cover(c) 与“选中一行”的区别：虽然在枚举之前先摘除了 C1 的列头，但实际的搜索分支仍分别由 A 和 C 两个节点决定。

`sz[]` 与最少候选列优化

sz[c] 是第 c 列在当前活动纵向链表中的数据节点数。初始化时为 0，insert(r,c) 使 sz[c]++；cover() 摘除某节点 j 时使 sz[col[j]]--，uncover() 再加回来。

3×3 例子中，初始 sz={2,2,2}（只列出 C1～C3）。执行 cover(C1) 后，H1 已不在活动列头链表中；H2、H3 则分别失去 D、B，活动节点数变为 1、1。sz[1] 仍然等于 2，因为 H1 的纵向节点 A、C 没有被摘除。

sz[] 最常见的用途是优先选取候选行数最少的活动列，即最少剩余值（MRV）策略：

int c=R[0];
for(int i=R[0];i!=0;i=R[i])
    if(sz[i]<sz[c])c=i;

if(sz[c]==0)return false;

在这里插入图片描述

例如三个待处理列的候选行数分别是 100、2、50。选第二列只需枚举两个分支，往往能更早发现冲突。这是一种搜索顺序启发式，不影响解的正确性，也不能保证多项式时间。若 sz[c]==0，说明尚未处理的约束已经没有可选行，当前分支无解，可立即回溯。

`ans[]` 与递归返回

ans[dep] 保存第 dep 层选择的原矩阵行号：

ans[dep]=row[i];

这里 i 是 DLX 内部的数据节点编号，row[i] 才是对应的候选方案行号。成功时，ans[0..dep-1] 就是选出的方案。若只判断解是否存在，可以省略 row[]、ans[]，直接返回布尔值。

注意 ans[] 不需要每次回溯都清零：更浅层的值是当前路径，回到同一深度后下一条分支会覆盖 ans[dep]，只有成功时记录的深度范围才有效。

仅求第一组解时，dance() 可以返回 bool，在下一层返回成功时提前结束。若后续仍要使用同一个 DLX 对象，应先执行相应的 uncover()，再返回成功；如果找到解后程序立即终止，也可以直接返回，但那时链表尚未完全恢复。

七、完整代码

以下实现使用数组模拟链表，原矩阵行列编号从 1 开始；root=0。输入 n m 和 n×m 个 0/1，输出第一组精确覆盖所选行号；若不存在则输出 No Solution!。

代码将 DLX 对象定义在全局作用域，避免包含多个大数组的局部结构体占用栈空间。输入时直接插入 1，因此不需要再保存完整的 a[][]。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAXRC = 505;
const int MAXNODE = 500002;
const char NS[] = "No Solution!";

int n, m;

struct DLX
{
    int tot;
    int U[MAXNODE], D[MAXNODE], R[MAXNODE], L[MAXNODE];
    int row[MAXNODE], col[MAXNODE];
    int first[MAXRC], sz[MAXRC];
    int ans[MAXRC];
    int ansCount;

    void init(int r, int c);
    void insert(int r, int c);
    void cover(int c);
    void uncover(int c);
    bool dance(int dep);
};

DLX dlx;

void DLX::init(int r, int c)
{
    tot = c;
    ansCount = 0;

    for (int i = 0; i <= r; i++)
        first[i] = 0;

    for (int i = 0; i <= c; i++)
    {
        L[i] = i - 1;
        R[i] = i + 1;
        U[i] = i;
        D[i] = i;
        col[i] = i;
        sz[i] = 0;
    }

    L[0] = c;
    R[c] = 0;
}

void DLX::insert(int r, int c)
{
    int p = ++tot;
    row[p] = r;
    col[p] = c;

    // 插到第 c 列的末尾
    int last = U[c];
    U[p] = last;
    D[p] = c;
    D[last] = p;
    U[c] = p;
    sz[c]++;

    // 插到第 r 行的末尾
    if (first[r] == 0)
    {
        first[r] = p;
        L[p] = p;
        R[p] = p;
    }
    else
    {
        int f = first[r];
        L[p] = L[f];
        R[p] = f;
        R[L[f]] = p;
        L[f] = p;
    }
}

void DLX::cover(int c)
{
    L[R[c]] = L[c];
    R[L[c]] = R[c];

    for (int i = D[c]; i != c; i = D[i])
    {
        for (int j = R[i]; j != i; j = R[j])
        {
            U[D[j]] = U[j];
            D[U[j]] = D[j];
            sz[col[j]]--;
        }
    }
}

void DLX::uncover(int c)
{
    for (int i = U[c]; i != c; i = U[i])
    {
        for (int j = L[i]; j != i; j = L[j])
        {
            U[D[j]] = j;
            D[U[j]] = j;
            sz[col[j]]++;
        }
    }

    L[R[c]] = c;
    R[L[c]] = c;
}

bool DLX::dance(int dep)
{
    // 所有必选约束列都已覆盖
    if (R[0] == 0)
    {
        ansCount = dep;
        return true;
    }

    int c = R[0];
    for (int i = R[0]; i != 0; i = R[i])
    {
        if (sz[i] < sz[c])
            c = i;
    }

    if (sz[c] == 0)
        return false;

    cover(c);

    for (int i = D[c]; i != c; i = D[i])
    {
        ans[dep] = row[i];

        for (int j = R[i]; j != i; j = R[j])
            cover(col[j]);

        bool found = dance(dep + 1);

        // 与覆盖顺序相反，保证返回时链表仍可复用
        for (int j = L[i]; j != i; j = L[j])
            uncover(col[j]);

        if (found)
        {
            uncover(c);
            return true;
        }
    }

    uncover(c);
    return false;
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    cin >> n >> m;
    dlx.init(n, m);

    // 行列编号从 1 开始，0 留给 root
    for (int r = 1; r <= n; r++)
    {
        for (int c = 1; c <= m; c++)
        {
            int x;
            cin >> x;
            if (x)
                dlx.insert(r, c);
        }
    }

    if (dlx.dance(0))
    {
        for (int i = 0; i < dlx.ansCount; i++)
        {
            if (i)
                cout << ' ';
            cout << dlx.ans[i];
        }
        cout << '\n';
    }
    else
    {
        cout << NS << '\n';
    }

    return 0;
}

例如输入：

按代码给定的选列、插入顺序，可输出：

1 2

表示选中 R1、R2。如果换一种合法的列选择和行遍历顺序，也可能先找到 R3、R4。矩阵本身存在多组解，不意味着所有运行顺序都会先找到同一组。

八、建模例子

数独：324 个约束列

9×9 数独的候选方案用 (r,c,v) 表示：在第 r 行、第 c 列填数字 v。每个候选方案同时满足四类约束：

约束类型	数量	例如候选 `(2,3,5)` 对应
每个格子恰好填一次	81	格子 `(2,3)` 已填
每行每个数字恰好一次	81	第 2 行包含 5
每列每个数字恰好一次	81	第 3 列包含 5
每宫每个数字恰好一次	81	第 1 宫包含 5

共 81×4=324 个约束列。最多 9×9×9=729 个候选行，每行恰好有 4 个 1。列编号可以按下式映射（均为 1-based）：

格子约束：      (r-1)*9+c
行数字约束：    81+(r-1)*9+v
列数字约束：   162+(c-1)*9+v
宫数字约束：   243+(b-1)*9+v

b=((r-1)/3)*3+(c-1)/3+1

已知数字只保留与该已知值一致的候选填写；未填格子可以枚举 v=1..9。这样数独的四类规则全部变成精确覆盖矩阵中的“恰好一次”。

棋盘拼块与矩形排样

若板材离散成单位格，且要求所有格子被完全覆盖、每个指定拼块恰好使用一次，可建立两类列：拼块使用列与格子占用列。每个候选行表示某个拼块放在某个合法位置（必要时包含旋转），并把“使用该拼块”及“覆盖到的全部格子”设置为 1。

这类模型适合严格的完整铺放。若只要求格子最多被占用一次、不要求全部填满，就不是所有列都“恰好一次”的普通精确覆盖；可以使用主列/次列（primary/secondary columns）等扩展。当目标变为最大化利用率、允许部分拼块不用时，还需要额外的优化目标和搜索策略。较大尺寸按单位格展开还会带来较多候选行，不一定适合直接采用标准 DLX。

九、复杂度分析

对于一个有 m 列、k 个 1 的输入，DLX 的链表节点数为 m+k+1，主要链表存储为 $O(m+k)$ ；若额外使用 first[] 与答案路径，还需按原矩阵行数准备辅助空间。相较于直接存储整个 $n\times m$ 矩阵，稀疏矩阵能节省大量空间。

cover 与 uncover 的工作量取决于访问的链表节点数；每一次节点摘除或恢复只需常数次指针修改。搜索树的规模仍可能是指数级，sz[] 只是常见的启发式优化，不改变精确覆盖问题在一般情形下的搜索难度。

DLX（Dancing Links）算法详解：求解数独最快的算法

一、精确覆盖问题

二、X 算法

三、舞蹈链的数据结构

一个 1 对应一个节点

列头与总表头

节点编号和原矩阵坐标

四、建表过程

初始化

插入节点

3×3 矩阵的完整插入过程

五、删除与恢复

单个节点的摘除和恢复

cover(c)：覆盖一列

cover(C1) 的实际执行过程

节点编号与列编号

uncover(c)：逆序恢复

六、搜索过程

选列与选行

cover(c) 的执行位置

为何还能遍历当前列

3×3 矩阵上的搜索过程

sz[] 与最少候选列优化

ans[] 与递归返回

七、完整代码

八、建模例子

数独：324 个约束列

棋盘拼块与矩形排样

九、复杂度分析

`cover(c)`：覆盖一列

`cover(C1)` 的实际执行过程

`uncover(c)`：逆序恢复

`cover(c)` 的执行位置

`sz[]` 与最少候选列优化

`ans[]` 与递归返回