翻译现实、算出答案、证明靠得住——数学建模的七件武器，以及一次完整复现里挖出的三处书中错误。
仓库租金每月都在涨，签长约还是短约？生产线 24 小时不断，几点该排多少人？面包店开几家、几点开门？
这些问题都不是数学问题，但答案得用数学算出来。这就是数学建模。
而它真正难的，从来不是「用哪个求解器」。难在两件事：把一个说不清的现实问题，翻译成一个能算的模型；再证明算出来的结果靠得住。
这两件事，正好对应数学建模的七件武器。
我把《数学建模算法与应用（第 3 版）》前 3 章的 16 道例题全部用 Python 复现了一遍，运行时自动与书中答案逐项比对，共 93 项断言全部一致。副产物是：独立发现了书里的 3 处问题。
配套工程（16 个脚本 + 93 项答案比对 + 10 张教学图，全部可一键跑通）： github.com/CurrenWong/…
下面把七件武器和那三处问题拆开讲。
一、建模到底在干什么
一句话：把一个说不清的现实问题，翻译成数学（一个能算的模型），算出结果后再翻译回现实，并且证明这个结果靠得住。
建模是一个闭环：现实问题 → 数学模型 → 解 → 决策 → 验证 → 验证不过就回到模型重想。
绝大多数人的作业停在「解」这一步——右边那两格才是建模真正的产出。求解器给你一个数字，和你能不能对这个数字负责，是两件事。
书里给了五步法，这也是这份材料的骨架：
- 提出问题：我要决定什么？有哪些已知量？写不出目标等于没有目标。
- 选方法：这问题的结构像哪一类？线性？带整数？非凸？这一步决定了后面七招的顺序。
- 建模型：设变量、写目标、写约束。核心是把「现实里的限制」翻译成式子。
- 求解：用算法把它算出来。这一步最省心，也最容易骗人。
- 回答 + 验证 + 灵敏度：翻译回现实、证明靠得住、参数变了会怎样。
贯穿全书的一句话：建模 = 翻译 → 计算 → 翻译 → 验证与解释。
只会前半段的人叫「会调求解器」，会后半段的人才叫「会建模」。
二、武器一：把现实翻译成线性规划
什么时候用：目标是一次式、约束是一次式、能写成「资源不超过上限」的场景。
三要素只有三个：变量、目标、约束。
min c1*x1 + c2*x2 + ... + cn*xn
s.t. a11*x1 + ... + a1n*xn <= b1
a21*x1 + ... + a2n*xn <= b2
x1, ..., xn >= 0
翻译的关键是找到「变量」。变量 = 你能决定的东西。
例如例 1.4 捷运公司仓库租赁：设 xij = 第 i 个月初签订的、租期 j 个月的合同面积。注意它不是「第 i 个月在用的面积」——差一个字，模型全错。
把所有约束画成半平面，交出来的那块就是可行域；目标函数是一族平行线，往「值最大」的那条推，撞上约束的地方就是最优解。
这里有个几何事实决定了 LP 求解器为什么快：最优解几乎总是落在顶点上，因为顶点就是约束的交点。
LP 还有三个「天然性质」，直接决定你该怎么检验它：
- 可行域是凸的 → 最优解唯一，或者是一整条边/面上的多个点；
- 最优解在顶点 → 解对不对，看它是不是约束的交点；
- 解对系数线性敏感 → 改了参数解的变化是分段线性的 → 天然能做灵敏度分析。
纸上建模型的通用套路：列一张变量表（名字、含义、单位、范围）→ 写目标（max 还是 min、单位是什么）→ 逐条写约束并注明「现实依据」→ 检查非负性和单位一致性。
写不出依据的约束，要么删掉，要么你还没想清楚。
例 1.4 仓库租赁（第 1 章）：各月所需面积 15、10、20、12（单位 100m²），租期 1/2/3/4 个月的每 100m² 月租为 2800 / 4500 / 6000 / 7300 元，5 月起不再需要仓库。求总租借费用最小的签约方案。
书中答案：x11 = 3, x31 = 8, x14 = 12，其余为 0，最优值 z = 118400 元。
落地到 Python 有三件事必须记住：
from scipy.optimize import linprog
# scipy 的 linprog 只做最小化，且不等式只接受 <=
res = linprog(c, A_ub=A, b_ub=b, A_eq=Beq, b_eq=beq, bounds=[(0, None)] * n)
- 要最大化，先把目标取负，别去改求解器；
- 模型的
>=约束整体乘 −1 变成<=，这是最容易错、报错又最迷惑的地方； - 多重最优解是常态，例 1.4 里书中方案和求解器给的方案不同但成本都是 118400，检验要看目标值和可行性，不要逐元素比对解向量。
三、武器二：线性化
什么时候用：目标或约束里出现了 |x|、max、分段函数、乘积——凡是「看起来不像线性」的，先想能不能变过去。
为什么这么重要？线性问题有又快又准的求解器，而非线性问题只能靠局部方法，慢，而且可能给错答案。能线性化就线性化，永远是首选。
左：原问题的目标是 V 形曲线，最优解在「尖底」。右：把 x 拆成 u−v（u, v ≥ 0）后，目标 u+v 的等高线变成一组平行直线。
三招及其适用条件：
| 招式 | 怎么做 | 注意 |
|---|---|---|
| 绝对值 | x = u − v（u, v ≥ 0），则 abs(x) = u + v | u、v 的非负约束绝不能漏。漏了不会报错，会静悄悄给出目标值 0 的错答案 |
| 目标里的 max | max_i abs(eps_i) → 引入 v，约束 -v <= eps_i <= v | 只把真正该自由的量设成变量。例 1.8 里 eps 是给定的，若把 x 也放开，求解器会让 x = y 使 v = 0 |
| 分段函数 | 按段拆开，段之间用 0-1 变量切换 | 这就把整数规划引进来了；段数 > 3 就要考虑别的办法 |
例 1.7：求 min |x1| + 2|x2| + 3|x3| + 4|x4|，约束为三条线性不等式（x1-x2-x3+x4 <= -2、x1-x2+x3-3x4 <= -1、x1-x2-2x3+3x4 <= -0.5）。书中答案 x = (-2, 0, 0, 0)，z = 2。
例 1.8：已知 y 与 x 的各分量，求 min max_i |eps_i|，其中 eps_i = x_i - y_i 是已给定的量，不是待决策量，所以只需对 v 这一个变量求解。
线性化失败之后，判断顺序是：不能线性化 → 判断是否凸 → 又不能又不是凸 → 多起点 + 独立验证。
一个容易混的点：凹 ≠ 非凸
例 3.2 彩电定价（第 3 章）是线性化失败的典型。19 英寸与 21 英寸零售价 339 / 399 美元，成本 195 / 225 美元，固定成本 400000 美元；每多卖一台同型号均价降 1 美分，交叉影响是每卖一台 21 英寸使 19 英寸均价降 0.3 美分、每卖一台 19 英寸使 21 英寸均价降 0.4 美分。
把利润写成 x 的函数：
f = -0.01*x1^2 - 0.007*x1*x2 - 0.01*x2^2 + 144*x1 + 174*x2 - 400000
这个线性化不了，但它的 Hessian 是 [[-0.02, -0.007], [-0.007, -0.02]]，特征值 −0.027、−0.013，负定，所以目标函数是严格凹的。无约束下严格凹函数的最大点唯一，令梯度为零就能解析求解：
x* = (4735.04, 7042.74) f* = 553641
与书中答案一致，误差 1.2×10⁻⁹。
求最大化时，凹目标恰好是好消息：凹函数求最大 ≡ 负的凹函数求最小 = 凸问题。所以判据要看方向——最小化看 Hessian 正定，最大化看负定。
四、武器三：整数性
什么时候用：人、厂、设备、班次、选不选——决策量本身必须是整数。
先忽略整数约束解一次 LP（松弛解），最优点常常落在网格缝隙里：x = 2.4 台机器、y = 4.8 个人，现实里根本不存在。
LP 松弛解落在网格缝隙里，整数规划要在附近的格点里挑最好的。
由此得到一个实用技巧：先把 integrality 全关掉跑一次 LP，如果它恰好是整数，那就是整数规划的最优解，可以直接收工。
求解器怎么干活？分支定界——把它拆成一堆好解的小问题。
松弛解不满足整数约束，就加一条 x <= 2 或 x >= 3 把它切成两半，各解一次；每支都给一个下界，下界已经不优于当前最优解的，整棵子树直接砍掉。
例 2.5 生产线排班：一条生产线 24 小时不间断，划分 6 个 4 小时班次，各需 35 / 40 / 50 / 45 / 55 / 30 人；每名工人连续工作 8 小时（跨两个班次），只能在某个班次开始时报到。求至少需要多少人。
min z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6
s.t. x1+x6 >= 35, x1+x2 >= 40, x2+x3 >= 50
x3+x4 >= 45, x4+x5 >= 55, x5+x6 >= 30
x_i >= 0 且为整数
书中答案 x = (35, 5, 45, 0, 55, 0)，z = 140 人。
什么时候用精确方法：变量几十个以内、目标是线性的、需要证明最优——用 scipy.optimize.milp（HiGHS 分支定界），能混合整数与连续变量。
什么时候用随机方法：变量上百个、目标非线性、能接受「大概最优」。
蒙特卡洛：不列方程，改成随机撒点、数比例。
精度的规律值得记住：误差约等于 1/√N。样本量翻 100 倍，误差只缩小 10 倍。便宜、稳健，但收敛慢。
例 2.9 非线性整数规划是「精确枚举不可能」的题：5 个变量各取 0~99，精确枚举要算 100⁵ = 10¹⁰ 个点。目标是
max z = x1^2 + x2^2 + 3*x3^2 + 4*x4^2 + 2*x5^2 - 8*x1 - 2*x2 - 3*x3 - x4 - 2*x5
s.t. x1+x2+x3+x4+x5 <= 400
x1+2*x2+2*x3+x4+6*x5 <= 800
2*x1+x2+6*x3 <= 200
x3+x4+5*x5 <= 200
书中答案是蒙特卡洛（10⁶ 采样）得 z = 50273，Lingo 精确全局最优 x = (50, 99, 0, 99, 20)、z = 51568。
工程里的打法是组合拳：蒙特卡洛全局撒网 → 局部搜索在好解附近精修 → 多次重启 → 有条件再用 milp 校验，最终精确复现了 51568（10 次重启命中 9 次）。
关键细节：爬山邻域要设计成「单变量 ±1 + 两变量联动 ±1」。只做单变量会卡在 50898——因为约束把变量耦合了，从 (49, 96, 1) 走到 (50, 99, 0) 必须同时动两个变量。
五、武器四：凸性
什么时候用：目标或约束含平方、乘积、三角函数——也就是线性化不了的时候。
先说清一个口径：下面的「碗 / 山地」是最小化问题的画面。求最大化时画面上下颠倒。
左：目标曲面像碗，不管从哪个点出发往下滚，最后都停在同一个碗底。右：像起伏山地，到处是坑，随初值不同停在不同的坑里，有的坑还不是最深的那个。
| 凸问题（碗） | 非凸问题（山地） | |
|---|---|---|
| 初值 | 任何初值收敛到同一个解 | 解依赖初值 |
| 最优性 | 局部最优 = 全局最优 | 好几个局部最优，可能陷在坑里 |
| 结论 | 解唯一、结果可解释、能做灵敏度 | 无法证明全局最优 |
| 对策 | 直接求解 | 必须多起点 + 独立验证 |
怎么判断凸不凸？算目标函数的 Hessian，看特征值。
| 你要做的事 | Hessian 结论 | 得到 |
|---|---|---|
| 最小化 f(x) | 半正定（特征值全 ≥ 0） | 凸问题 |
| 最小化 f(x) | 正定（特征值全 > 0） | 严格凸 → 解唯一 |
| 最大化 f(x) | 半负定（特征值全 ≤ 0） | 凹 |
| 最大化 f(x) | 负定（特征值全 < 0） | 严格凹 → 仍是凸问题，解唯一 |
一行代码搞定：np.linalg.eigvalsh(H)。
「凹 ⇒ 解唯一」只在严格凹时成立。
左：例 3.2 的利润函数，特征值 −0.027、−0.013，负定 → 唯一最优点。右：f = -(x-y)^2，特征值 −4 和 0，半负定 → 出现一个平坦方向，整条对角线上的点全都是最优解。
多出一个 0 特征值，解就从「一个点」变成「一条线」。
回到例 3.2：Hessian 特征值 −0.027、−0.013，负定 → 严格凹 → 无约束下最大点唯一。实测 200 个随机初值，目标值的散布只有 0.11（相对 2×10⁻⁷）；解的坐标有 ±5 的抖动纯粹是函数太平坦（曲率仅 0.013）导致优化器提前停下，不是多解。
判断不出来怎么办？多起点跑 + 看结果是否一致 + 用 K-T 验算。标准工作流是：
- 构造几个物理上合理的初值（不是随机数！比如「让某架飞机不动」「让料场落在工地上」）；
- 每个初值解一次，逐个检查可行性（求解器说成功 ≠ 可行）；
- 取最好的那个，并报告结果对初值的敏感性；
- 找一个不依赖求解器的办法独立复核。
例 3.9 两料场选址：6 个建筑工地，位置与水泥日用量分别为 (1.25, 1.25) 3t、(8.75, 0.75) 5t、(0.50, 4.75) 4t、(3.75, 5.00) 7t、(3.00, 6.50) 6t、(7.25, 7.75) 11t，总需求 36 t；拟建 2 个料场，每个日储量 20 t。
料场位置是连续变量，但目标对 (x, y) 非凹，所以是局部方法，必须多起点。书中答案是料场 (7.25, 7.75) 与 (3.2942, 5.1790)，总吨千米 72.6303。
工程里的实测：12 个随机初值全部收敛到同一个解，总吨千米 71.9352，比书上那个好。而书上那个 72.6303 的运料方案里，工地 1 被两个料场分供（料场 1 给 0.0329、料场 2 给 2.9671）。
这不是书错了，是随机初值不够好时就会发生的事。
六、武器五：最优性证明
什么时候用：结果要拿去说服人（老板、评委、审稿人）的时候。
求解器返回「收敛成功」，只说明它自己觉得找到了驻点。在凸问题上，有一个严格的判据能证明你找到的就是全局最优——K-T 条件。
K-T 条件的几何图像：在最优点处，目标函数的梯度方向必须与起作用的约束的切线方向一致。某条约束不起作用（lambda = 0），就不该画它的切线。
三条条件：
grad f(x*) + sum_i lambda_i * grad g_i(x*) = 0 (平稳性)
lambda_i >= 0, lambda_i * g_i(x*) = 0 (互补松弛)
g_i(x*) <= 0, x* >= 0 (可行性)
凸问题里这三个条件是充要的 → 验算通过，就等于证明了「这是全局最优解」。
例 3.1：min f(x) = x1^2 + x2^2 - 4x1 + 4，约束 g1 = -x1 + x2 - 2 <= 0、g2 = x1^2 - x2 + 1 <= 0、x >= 0。书中答案 x* = (0.5536, 1.3064)，f* = 3.7989。
工程里的实测：求解器给的结果与书一致，且独立验算了三条 K-T 条件——平稳性残差 1.4×10⁻⁹、互补松弛 lambda = 2.6129 >= 0 且 lambda*g = 1.7×10⁻¹⁰、可行性只有 g₂ 起作用。全部通过。
「独立复核」有四种手段，从弱到强：
- 换初值再跑一遍（结果一样 → 大概率对）；
- 换算法重算（LP 松弛 vs IP、解析解 vs 数值解）；
- 手算 / 穷举小规模（工程里例 1.4 就是把书上的方案拿回来自己验证可行性和成本）；
- 仿真 / 几何还原（最硬，见武器七）。
注意：只有独立于求解器的复核才有意义，再跑一次同一个求解器不叫复核。
还有一个反直觉但重要的事实：在凸问题上 K-T 是充要条件，验算它比「多跑几个初值」硬得多；在非凸问题上 K-T 只是必要条件，验算通过也只说明「是个局部最优」。所以先花五分钟判断凸不凸，往往比多跑一百次求解器更省事。
七、武器六：灵敏度分析
什么时候用：永远。答案如果只在某个参数取一个值时成立，那它其实没有答案。
现实里的数据从来不精确。价格弹性可能是 0.006 也可能是 0.02，风险上限可能估错了 10%。灵敏度分析回答的是「我的结论对参数有多敏感」——这是把「一个数」变成「一个决策依据」的关键一步。
彩电定价的真实灵敏度曲线（19 英寸每多卖一台降 a 美元）。左：a 越大，19 英寸减产、21 英寸增产。右：利润和利润率一起走低。
例 1.9 投资的收益与风险（1998 全国数学建模竞赛 A 题）是经典双目标案例：4 种风险资产与银行存款，平均收益率 ri、风险损失率 qi、交易费率 pi、按 ui 计价的阈值 ui 已知，资金 M 相当大，要求净收益尽可能大、总体风险尽可能小。
建模关键有三点：
- 总体风险用「所投资产中最大的风险」度量
max_i q_i x_i，这是个 max，引入变量才能线性化； - 交易费是分段函数，因 ui 相对 M 很小，净收益可近似为
(r_i - p_i) x_i； - 这是双目标问题，模型一固定风险上限 a 求最大收益，模型二固定盈利水平 k 求最小风险，模型三按权重 w 加权求和（仍需线性化）。
书中答案：模型一在 a ≈ 0.006 附近出现转折，Q ≈ 2019；模型三 w ≤ 0.7 时收益 2673.27、风险 247.52，w = 1.0 时全存银行（收益 500、风险 0）。
风险—收益曲线的读法不是「哪个点最好」，而是「哪一段性价比最高」：风险从 247 降到 59（降 76%），收益只从 2673 降到 2016（降 25%），这一段就是「买保险」最划算的地方。
三种常见的灵敏度形式：
| 形式 | 怎么做 | 读出什么 |
|---|---|---|
| 参数扫描 | 让某个参数从 a 扫到 b，每个值解一次 LP/NLP | 「降价更狠还赚不赚？」 |
| 目标扫描 | 反过来固定一个目标值（如收益 ≥ 0.15），求另一个的最优 | 「想要收益 15%，最少得承担多少风险？」 |
| 有效前沿 | 用权重 w 把两个目标合成一个，w 从 0 扫到 1 | 所有「不亏」的组合的边界，决策者自己挑 |
交付形式有两种：一张表（参数 → 目标值）适合放进报告；一条曲线适合让人一眼看出「转折点在哪」——转折点就是决策点。彩电定价里 a = 0.010 附近是转折，投资组合里风险 59–92 之间是转折。
别忘了「模型假设的敏感性」：上面所有分析都在同一个模型假设下变参数。还有一类更重要的问题——如果模型的假设本身错了怎么办（比如「售价随销量线性下降」在极端销量下显然不成立）。这时要回到第一步改模型，而不是做灵敏度分析。
八、武器七：验证
什么时候用：永远，尤其是结论「看起来不太对劲」的时候。
例 3.10 飞行管理避免碰撞（1995 全国数学建模竞赛 A 题）：边长 160 km 的正方形空域内若干架飞机水平飞行，速度均为 800 km/h。一架飞机进入区域边缘时，需要立即判断是否会与区域内飞机碰撞；若会碰撞，要计算各机（含新进入的那架）方向角的调整量，使调整幅度尽量小。
条件是：两机距离始终大于 8 km、方向角调整不超过 30°、速度 800 km/h、新进入飞机进入时距区域内飞机 60 km 以上、最多 6 架、不考虑飞出区域后。
书中答案是 delta_theta_5 = 2.7979°、delta_theta_6 = 0.9330°，总调整角 3.7310°。
左：按书上的答案调整后，两架机在 (75, 85) 附近直接穿过，最小间距 2.927 km，远小于 8 km 的安全线。右：本工程的解，两机刚好擦过 8.000 km。
这个差别只有把轨迹真跑一遍才看得出来。
三层验证，逐层加码：
- 代回约束——把解代回每一条约束，逐条检查有没有违反；
- 独立复算——换算法、换初值、手算小规模、用别的公式重算一遍；
- 仿真 / 还原成现实——把解放进时间轴、放进地图、放进生产线，看它到底长什么样。
仿真为什么是最硬的验证？因为它不依赖模型本身，只是按模型的解去执行。模型说「这样调完就不撞了」，仿真把六架机按调完的方向飞一遍，最小间距 8.000 km——这就是现实，不是推论。
反过来，仿真也能抓出模型的漏洞。
不报错 ≠ 对
工程里最有价值的三个发现，全部来自验证，而不是来自跑求解器。
| 静默出错的典型原因 | 表现 |
|---|---|
| 漏写变量的非负 / 上下界 | 目标值跑到 −10¹⁵，或解出负产量 |
| 不等式方向写反 | 模型 infeasible（至少会报错，属于好的失败） |
| 单位重复换算 | 4 度变成 229 度 |
| 解析梯度漏了因子 | 求解器立刻罢工（会报错） |
| 约束写错但恰好可行 | 最难发现：结果看着合理，其实算的是另一个问题 |
九、三个书中错误
这就是前面说的副产物。三处问题，全部是不报错的——求解器都给出了一个数。
① 例 3.10 飞行管理：标准答案不满足它自己的约束
按书上给的方向角调整量仿真，六架机里两架在 (75, 85) 附近直接穿过，最小间距只有 2.927 km，而安全线是 8 km。
在「代回约束」这一层就能露馅：机对 (3, 新进入) 的 |beta + s| = 0.777° 小于 alpha = 2.125°，不满足条件。
本工程给出的可行解是 delta_theta_3 = 2.558°、delta_theta_6 = 1.072°，仿真最小间距恰好 8.000 km。
② 例 3.9 两料场选址：书上的连续解是局部最优
书上给的总吨千米 72.6303，而 12 个随机初值全部收敛到 71.9352，更优。书上的解之所以是局部的，是因为它的运料方案里工地 1 被两个料场分供。
③ 例 2.9：书里的 Matlab 代码有一处约束笔误
代码里写的是 sum(z) <= 20，而总需求是 36。这样必然不可行。
这三个 bug 全部「不报错」。所以结论只有一条：书上或别人给的答案，也要用你自己的验证链查一遍。
十、决策表：遇到问题按这张表选招
| 你遇到的情况 | 用哪一招 | 要点 |
|---|---|---|
| 目标是若干项加权和，约束都是「不超过上限」 | 武器一 · 线性规划 | 最快最准；解可能在顶点；多重最优解要看目标值 |
| 目标或约束里有 abs(x)、max、分段 | 武器二 · 线性化 | u、v 非负约束不能漏；线性化不了再看凸性 |
| 决策量不能切一半（人、厂、班次、选不选） | 武器三 · 整数规划 | 先跑 LP 松弛；变量多 + 目标非线性 → 随机方法 |
| 有平方、乘积、三角函数 | 武器四 · 凸性 → 武器五 · K-T | 先判凸（特征值）；凸 → 单次求解即全局最优 |
| 解要拿去说服人 | 武器五 · 最优性证明 | 凸问题验 K-T = 严格证明 |
| 结论要能指导行动 | 武器六 · 灵敏度分析 | 参数扫描 / 目标扫描 / 有效前沿；找转折点 |
| 结果看着可疑 / 要交作业 / 要上生产 | 武器七 · 验证 | 代回约束 → 独立复算 → 仿真，至少走两层 |
动手前的七步清单：决策变量是什么（名字、含义、单位、类型、范围）→ 目标是什么（max 还是 min，有没有 max 项和绝对值）→ 约束逐条列并标注现实依据 → 判断线性还是非线性 → 判断是不是凸 → 先定好验证方案再动手写代码 → 挑 1–2 个最不确定的参数做灵敏度。
八个坑（这个工程全踩过，代码里都留了注释）：
- 不等号方向写反 → infeasible，还不说是哪条；
- 最大化双重取负 → 目标值符号离谱；
- 变量没给下界 → 目标值跑到 −10¹⁵；
- 等式约束漏了右端项 → 模型不可行；
- 解析梯度漏了 1/2 因子 → 方向全错，求解器立刻罢工；
- 单位重复换算 → 4 度变成 229 度；
- 消元交叉验证时忘了起作用的那个约束 → 得到次优解 (40, 60) 而非 (35.37, 64.63)；
- 信任书上的答案 → 以为对了，其实书错了。
最后三句：
- 建模不是数学，是翻译。你的功夫全在翻译上。
- 先想清楚再算。80% 的错误来自模型建错，而不是求解器算错。
- 永远留一条独立的验证路径。能代回约束、能手算小规模、能仿真跑一遍，至少一条。
十一、配套工程
整套材料都是可运行的，不是静态文档：
| 材料 | 位置 |
|---|---|
| 16 个例题脚本（运行时自动与书中答案比对） | 仓库 ch01–ch03 目录 |
| 一键回归（16 脚本 + 93 项答案比对） | python run_all.py |
| 本文的 10 张教学图（全部由工程脚本生成） | report/make_figs.py → report/figs/ |
| 完整长图版报告（11 页，1080 宽） | report/png/ |
| 各章学习文档（含自测题） | 各章目录下的 README.md |
| 总览 + Matlab → Python API 对照表 | 仓库根目录 README.md |
仓库地址： github.com/CurrenWong/…
克隆后按 README.md 装依赖，python run_all.py 就能把 16 个脚本跑一遍，看 93 项断言是不是真的全过。
十二、怎么练
方法只有练过才是自己的。每周 1–2 小时，三周一轮：
- 第 1 周 · 跑一遍，看图：把 16 个脚本跑一遍，重点看那 10 张图怎么生成的。改参数（降价幅度 a、风险上限、工人数），看图怎么变，理解「模型是活的」。
- 第 2 周 · 手推一遍：挑 4 道题（例 1.7 线性化、例 2.5 排班、例 3.1 凸 NLP、例 3.10 飞行管理），遮住代码，用纸写出变量 → 目标 → 约束 → 检查，再对照。写不出来的那一题，就是你需要重读的地方。
- 第 3 周 · 自己出一道题：把生活里的一个真问题建成线性模型（怎么排通勤、怎么选课、怎么排班）。哪怕很简单。
建模能力是练出来的，不是看会的。
本文的 16 道例题复现与全部图表均已开源。教材正文与 EPUB 因版权原因不随仓库分发，请自行获取正版。
本文首发于公众号，原始链接：github.com/CurrenWong/…
配套代码、10 张教学图与完整长图版报告，见文末 GitHub 仓库。
