Anthropic 未公开模型证出 18 年量子猜想：证明怎么走，Lean 验了什么

blackappleD
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11 月 6 日，一家叫 Physical Superintelligence（PSI）的研究公司公布了 Aaronson-Ambainis 猜想的证明。这个猜想 2008 年由 Scott Aaronson 提出，讲的是"没有结构的问题上，量子计算机能不能比经典计算机快出指数级"，在量子复杂性理论里是出了名的硬骨头。证明是 PSI 内部的研究系统跑出来的，系统里干活的是多个 Anthropic 未公开模型的实例，第 3 天写出第一个完整证明，Lean 证明助手全部检查通过。

AI 做数学的新闻这一年不少，这条值得单独拆：问题足够核心，证明和形式化代码全部公开，PSI 还把哪些经过机器验证、哪些没有写得很清楚。

它是什么

项目内容
发布方Physical Superintelligence（PSI），2026 年 9 月公开亮相的研究公司
公布日期2026-11-06（GitHub 仓库同日创建）
问题Aaronson-Ambainis 猜想，2008 年 Aaronson 讲座首次提出，期刊版为 Theory of Computing 10 (2014) 的 Conjecture 1.7
结论猜想成立，而且给出显式指数 7（原猜想只要求 O(1)）
用的模型多个"非公开 Anthropic 模型"的实例，模型名未公开；Anthropic 未就此置评
耗时运行第 3 天写出第一个完整证明，之后两次把指数从 22 改进到 11、再到 7
人的角色David Turturean 选题、搭研究框架、运行系统、审稿并对正确性负责；Jim Halverson 审核证明，Phiala Shanahan 对 Lean 形式化提意见
公开内容论文 PDF 和 LaTeX、Lean 4 形式化（Apache 2.0）、验证记录
评审状态未经同行评审；斯坦福 Blanc、Docter、Strassle、Tan 四人正在审读并撰写面向专家的简明版

斯坦福这四位在 2026 年 8 月刚证明过猜想的一个特例（固定并行轮数的量子算法），PSI 页面引了他们的评价："This is a huge result."

猜想在说什么

从量子算法到多项式

Shor 分解大数能指数加速，靠的是输入里的周期性。已知的指数级量子加速大多要靠类似的"承诺"：输入满足某种稀有模式。

Aaronson 和 Ambainis 问的是反面：如果输入完全随机、不带任何承诺，量子算法还能不能指数级领先？

他们把问题翻译成了纯数学。Beals 等人证明过：做 T 次查询的量子算法，输出"是"的概率是输入比特的多项式，次数不超过 2T，取值在 0 到 1 之间。于是问题变成：这种有界、低次数的多项式，有没有什么共同的弱点，能让经典算法钻空子？

影响力：翻转一个比特，输出变多少

猜想用的工具叫"影响力"（influence）：把第 i 个比特翻转，输出变化量的平方对所有输入取平均：

Inf_i[p] = E_X[ (p(X) − p(X^i))² ]      X^i：把 X 的第 i 位翻转

猜想说的是：只要多项式不是近乎常数（方差至少为 ε），就一定存在某个比特的影响力不小于 (ε/d)^O(1)，也就是一个关于 ε 和 1/d 的多项式，和变量总数 N 无关。

为什么这能推出"随机输入上没有指数加速"？Aaronson 和 Ambainis 当年给了思路：经典算法每次查影响力最大的那个比特，固定下来，再在子问题里继续。只要影响力总有多项式大小的下界，查不了多少次，多项式就塌缩成近似常数，经典算法也就能预测量子算法的输出概率。

证出来的版本

PSI 证明的显式结果（仓库 README 原文）：

Inf_i[p] ≥ (8√15 / (125 π^4)) · ε^{5/2} / d^6 ≥ (ε/d)^7

常数约等于 0.0025。论文给出的推论是：做 T 次查询的量子算法，其接受概率可以由确定性经典算法在除 δ 比例以外的输入上近似到误差 ε 以内，经典查询次数不超过：

(4T)^8 · ε^(-14) · δ^(-8)

也就是说，在随机输入上，量子相对经典在查询次数上最多领先多项式倍。在此之前，对一般有界多项式已知的下界都随次数 d 指数衰减；2019 年 Keller 和 Klein 曾宣布过一个证明，后来撤回了。

证明怎么走

论文说证明是"初等的"，主体分四步：

 布尔函数 g 的"分数证书"
        │  行列式最低次项 → 一一配对（双射定理）
        ▼
 所有点对不等式（all-pairs inequality）     ← 替换 Lovett–Zhang 方案里留作猜想的那一步
        │  对 f 的每个水平集 {f > t} 应用，再对 t 积分
        ▼
 三阶矩不等式 → 某坐标的 L1 影响力有下界
        │  对影响力偏小的坐标做平均
        ▼
 某坐标的影响力 ≥ c · Var^{5/2} / (L(f)·K²)
        │  代入 K = π²d²（行界），L(f) ≤ 4d²
        ▼
 主定理：Inf ≥ c · Var^{5/2} / d^6

几个关键点：

  1. 沿用 Lovett 和 Zhang 的路线图。 两人在 ITCS 2023 提出用"分数证书"（给每个坐标分配非负权重，凡是翻转后能改变函数值的坐标集合，总权重至少为 1）把问题拆到各个水平集上，但缺一个不等式，只能留作猜想。PSI 用新证出的"所有点对不等式"补上了它。

  2. 补缺口的工具来自 Reimer。 新不等式的核心是一个双射定理：在函数值为 1 的点之间构造一一配对，同时控制每个坐标上"保持不变"的点数。它由一个单项式矩阵行列式的最低次项推出，去掉"计数"这一层就等价于 Reimer 在证明 van den Berg–Kesten 猜想时用的 Butterfly Lemma。论文附录说，模型实例在提出任何正式命题之前，先从文献里翻出了 Reimer 的不等式和 Kahn–Saks–Smyth 的对偶不等式，并把"给分数证书做一个类似版本"定成了目标。

  3. 推到实值函数。 对每个水平 t，{f > t} 是布尔函数，可以套用上面的不等式；对 t 积分得到三阶矩不等式，在中位数处取值，推出某个坐标的 L1 影响力有下界。

  4. 用次数控制证书总权重。 次数为 d 的有界函数在每个点都有总权重不超过 π²d² 的证书。Agarwal 和 Ben-David 证过常数更好的版本，论文按他们的方法给了完整证明。

还有个细节：论文指出 Lovett 和 Zhang 留下的那个猜想（他们论文的 Conjecture 37）按原表述不成立，并给了反例，所以证明换了一个不等式顶替它。论文里的命题都由 AI 产生，这意味着系统不只是照路线图填空，也处理了路线图本身的问题。

AI 在里面干了什么

论文的"AI 披露"一节写得很直白：数学命题由 AI 模型产生，初稿也由模型实例整理，Turturean 审阅修改并对正确性负责。多个模型实例分工检索已有思路、提出新想法、组合并测试想法，还有实例负责监督其他实例和它们之间的沟通。

附录给了主要命题的提出顺序和证明顺序：

命题提出顺序证明顺序
双边不等式13
对所有水平积分26
对径点对不等式31
所有点对不等式43
行列式不等式51
双射定理63
对坐标做平均77

"对坐标做平均"是最后才加上的。第 3 天的第一个完整证明给出的界是 Var(f)^8 / (2^23 π^12 d^12)，换成原猜想的形式是指数 22。之后模型实例被要求去推相关开放问题，顺带打磨了中间结果：对所有水平积分把指数降到 11，再加上坐标平均和 L(f) ≤ 4d² 降到 7，每一版都过了 Lean。

另外，仓库验证记录里第一台机器的检查任务启动于 2026-10-22，PSI 在公布前至少花了两周做多机复核。

Lean 验证到底保证了什么

我认为这是整件事里最扎实的部分。README 写清了检查链条和信任边界：

检查做了什么
静态审计库里没有 sorry、axiom、native_decide、unsafe 等，也没有自定义语法和宏
公理报告四个最终定理的 #print axioms 只列出 propext、Classical.choice、Quot.sound 三个 Mathlib 常用公理
内核重放用 leanchecker 在 Lean 内核里重放全部声明，包括从空环境重放 Lean core 和 Mathlib
第二个内核再用独立实现的类型检查器 lean4lean 重放一遍
对照实验关掉内核检查、塞进假命题的小项目：lake build 能过，两个检查器都拒绝，说明光看 build 不够
Comparator把定理和只导入命题文件的"挑战文件"比对，再用 Rust 写的 nanoda 和 Lean 内核各验一遍

规模上，形式化有 84 个模块、761 个声明（113 个定义、648 个定理），工具链是 Lean 4.33.0 + Mathlib v4.33.0。

仓库也列了机器检查覆盖不到的三件事：

  1. 命题是否等价于原猜想。 PrintedConjecture 是否忠实表达了原猜想，要人来读。它被写成只依赖 Mathlib 的单独文件，方便核对。
  2. 论文本身。 论文没有经过机器检查，第 1.3–1.5 节和第 9 节等没有形式化对应。
  3. 地基。 Lean 内核、Mathlib 的定义和跑检查的机器仍需信任。

剩余风险主要在第一条。好在命题定义不长，斯坦福团队的审读结论会是关键信号。

和以往的尝试对比

结果状态
Aaronson、Ambainis（2009 预印本，2014 期刊）提出猜想；对一般有界多项式，已知下界随次数 d 指数衰减（借 Dinur–Friedgut–Kindler–O'Donnell 的结果）只证了特殊多项式类
Keller、Klein（2019，arXiv:1911.03748）宣布证明完整猜想后来撤回
Lovett、Zhang（ITCS 2023）用分数证书给出完整路线图，缺一个不等式（Conjecture 37）该猜想按原表述不成立（PSI 论文指出）
Blanc、Docter、Strassle、Tan（2026-08，斯坦福）证明固定并行轮数的量子算法在随机输入上没有指数加速特例
PSI 研究系统（2026-11-06）完整猜想，指数 7，全部 Lean 形式化等待同行评审

和最近的 AI 数学成果比也有区别。10 月下旬 Axiom 用 Agent 群把有限单群分类形式化，约 4310 万行 Lean，那是把已知定理验一遍，拼的是工程量。PSI 给的是开放 18 年、有人宣布过又撤回的猜想的新证明，难在数学洞察，形式化规模反而不大。

适用场景和局限

这个结果说明了什么：

  • 在查询模型、随机输入下，量子加速最多是多项式级，指数加速必须利用输入里的结构。"量子优势需要结构"从直觉变成了定理。
  • Aaronson 和 Ambainis 从猜想推出的三个推论随之成立，例如：如果 P = P^#P，那么相对于随机预言机，BQP 包含在 AvgP 里。

它没有说明什么：

  • 只限制查询次数，不限制总计算时间。 经典模拟算法需要知道接受概率对应的多项式，计算量可能很大。
  • 只对大多数输入成立。 结论排除了一小部分输入，不保证每个输入都能预测准。
  • 不影响 Shor 这类有结构的问题。 无结构问题上中等程度的（多项式级）加速也仍有空间。
  • 指数未必最优。 论文说方差的指数至少要是 2，现在是 5/2，最优值未知；双射靠行列式推出存在性，还没有直接的组合构造。

对 AI 研究流程的启示：

搭"AI 做研究"系统的话，PSI 有几处值得抄：多实例分角色、互相监督；每一版结果都过 Lean；公开时分开写机器验证覆盖和没覆盖的范围。但算力、失败次数、换个问题能否复现，都没公开。

我的判断

数学上，我倾向于相信这个证明是对的。 Lean 形式化完整，双内核重放加对照实验，作弊空间很小；剩下的风险在命题是否忠实于原猜想，这一步人工核对不难；刚证过特例的斯坦福团队给了正面的初步评价。同行评审之前，"已证明"仍要打个问号，但这个问号比大多数 AI 数学新闻小。

对 AI 来说，这比"又刷了一个竞赛题"重要得多。 竞赛题有标准答案，这次是专家卡了 18 年、有人失败过的开放问题。更关键的是附录的记录：模型实例从文献里找到 Reimer 的工具，定下中间目标，绕开了原路线图里不成立的命题。这些是研究里最难外包的部分。

我保留意见的地方有两个。 一是模型不公开，外界没法复现，PSI 也没说试了多少个问题才成了这一个，可能有幸存者偏差。二是 Anthropic 没有表态，这个模型是什么、什么时候进公开产品，只能等。

参考资料

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