无线电自学教程 02：数学工具箱——正弦、复数、相量与分贝无线电工程师每天都在和四样数学工具打交道：正弦函数：载波、本

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本章目标：读完本章，你将能够

用振幅、频率、相位描述一个正弦信号，把相位差换算成时间差，算出峰值、峰峰值和有效值；

用积化和差公式解释“两个频率相乘会产生和频与差频”，这是混频器和超外差接收机的数学基础；

熟练进行复数的四则运算，在直角坐标和极坐标之间互相转换；

理解并证明欧拉公式 $e^{j\theta} = \cos\theta + j\sin\theta$ ，把正弦信号看成复平面上旋转的相量；

用相量计算同频正弦的叠加，并用它解释多径衰落；

熟练使用 dB、dBm、dBμV、dBi、dBd 和 S 表读数，做出一份完整的链路预算；

用 NumPy 处理复数和数组，用 Matplotlib 画图。

前置知识：高中三角函数（和角公式）和对数。第一、三节用到导数和定积分的基本概念，第三节用到泰勒级数（只需知道“函数可以展开成幂级数”）。

无线电工程师每天都在和四样数学工具打交道：

正弦函数：载波、本振、音频，无线电里几乎所有信号都由正弦波构成；
复数：电容、电感的阻抗，正交（IQ）信号，软件无线电里的每一个采样点，都是复数；
相量：把“同频正弦的加减和求导”变成“复数的加减和乘法”，第 03 章分析交流电路全靠它；
分贝：从 100 W 的发射机到 0.2 μV 的接收灵敏度，功率相差 17 个数量级，没有分贝几乎没法讨论。

本章把这四样工具一次讲清楚。每一样都结合无线电的实际例子：负载上的电压、混频器、多径衰落、S 表读数、链路预算。最后用一节介绍 NumPy 和 Matplotlib，后面所有章节的代码都建立在它们之上。

一、正弦信号：无线电的“原子”

1. 三个参数

一个正弦信号可以写成

v(t) = A\cos(2\pi f t + \varphi) = A\cos(\omega t + \varphi)

它由三个参数完全确定：

符号	名称	单位	含义
$A$	振幅（峰值）	V、A、V/m 等	偏离零点的最大值
$f$	频率	Hz	每秒重复的次数； $\omega = 2\pi f$ 是角频率，单位 rad/s
$\varphi$	初相位	弧度或度	$t = 0$ 时刻处在一个周期的哪个位置

本教程统一用余弦 $\cos$ 作为“标准”正弦信号，正弦函数可以用 $\sin x = \cos(x - 90°)$ 换过来。角度在公式里一律用弧度，在叙述和图表里为了直观常用度， $180° = \pi$ rad。

2. 相位差就是时间差

把 $\cos(\omega t + \varphi)$ 改写成 $\cos[\omega(t + \varphi/\omega)]$ ，可以看出：初相位 $\varphi$ 相当于把波形在时间上提前了

\Delta t = \frac{\varphi}{\omega} = \frac{\varphi}{360°}\,T

$\varphi > 0$ 称为超前， $\varphi < 0$ 称为滞后。

图 1：100 W 发射机接 50 Ω 假负载时，负载两端的电压（f = 7.1 MHz）。虚线超前 60°，相当于提前 T/6。

例如在 7.1 MHz，周期 $T = 140.8$ ns，60° 的相位差对应 $140.8/6 = 23.47$ ns 的时间差。在射频电路里，“相位”和“时间延迟”是同一件事的两种说法：一段电缆、一个滤波器让信号延迟了多少纳秒，就等于让它的相位滞后了多少度。

3. 峰值、峰峰值和有效值

描述正弦电压的“大小”，常用三个量：

峰值 $V_p$ ：最大值，即振幅 $A$ ；
峰峰值 $V_{pp} = 2V_p$ ：从最低点到最高点，示波器上最容易直接读出；
有效值（均方根值，RMS） $V_{\mathrm{rms}}$ ：产生相同平均功率的直流电压。

有效值的定义是“平方的平均值再开方”：

V_{\mathrm{rms}} = \sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T v^2(t)\,dt}

对正弦信号，利用 $\cos^2 x = \dfrac{1 + \cos 2x}{2}$ ：

\frac{1}{T}\int_0^T V_p^2\cos^2(\omega t)\,dt = \frac{V_p^2}{T}\int_0^T \frac{1 + \cos 2\omega t}{2}\,dt = \frac{V_p^2}{2}

因为 $\cos 2\omega t$ 在一个周期内的积分为零。所以

\boxed{\ V_{\mathrm{rms}} = \frac{V_p}{\sqrt 2} \approx 0.707\,V_p\ }

电阻 $R$ 上的平均功率是 $P = V_{\mathrm{rms}}^2/R$ 。我们平时说的“220 V 市电”“100 W 发射机”，指的都是有效值和平均功率。

例：100 W 发射机接 50 Ω 假负载。 附录代码算出：

V_{\mathrm{rms}} = \sqrt{PR} = \sqrt{100\times 50} = 70.71\ \mathrm{V},\qquad V_p = 100.00\ \mathrm{V},\qquad V_{pp} = 200.00\ \mathrm{V}

代码还对一个周期的采样直接求了均方根，结果 70.7107 V，和公式一致。反过来，如果你用示波器（配合衰减器）测出假负载上的峰峰值，就能算出发射功率：

P = \frac{V_{\mathrm{rms}}^2}{R} = \frac{(V_{pp}/2\sqrt2)^2}{R} = \frac{V_{pp}^2}{8R}

4. 积化和差：两个频率相乘，产生和频与差频

由余弦的和角公式

\cos(a+b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b,\qquad \cos(a-b) = \cos a\cos b + \sin a\sin b

两式相加再除以 2，得到积化和差公式：

\boxed{\ \cos a\cdot\cos b = \frac{1}{2}\cos(a-b) + \frac{1}{2}\cos(a+b)\ }

令 $a = 2\pi f_1 t$ 、 $b = 2\pi f_2 t$ ，它告诉我们：两个不同频率的正弦信号相乘，结果是两个新的频率：差频 $f_1 - f_2$ 和和频 $f_1 + f_2$ ，原来的 $f_1$ 、 $f_2$ 反而不见了。

图 2：14.2 MHz 的信号乘以 5.2 MHz 的本振，结果正好是 9.0 MHz 和 19.4 MHz 两个余弦之和。

附录代码在 2 μs 内取了 20 万个采样点，两边的最大误差只有 $2.8\times10^{-14}$ ，也就是计算机的舍入误差。

这个公式是整个无线电接收技术的基石。接收机里有一个叫混频器的电路，它把收到的信号和本机振荡器（本振）的信号相乘。比如要收 14.2 MHz 的短波电台，让本振工作在 5.2 MHz，相乘后得到 9.0 MHz 和 19.4 MHz；再用一个固定在 9.0 MHz 的滤波器取出差频，就把任意电台“搬”到了一个固定的中频上。想收别的电台，只需改变本振频率。这就是阿姆斯特朗发明的超外差原理，第 15 章会详细讨论（包括这个方案带来的“镜像频率”问题，见练习 2）。

另一个常用的特例是 $a = b$ ：

\cos^2(\omega t) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(2\omega t)

一个正弦信号经过“平方”这样的非线性运算，就会产生直流分量和二倍频（二次谐波）。检波器、倍频器的原理是它，发射机为什么会产生谐波干扰、为什么必须加滤波器，原因也是它。**线性电路不会产生新频率，非线性电路会。**这是射频电路里反复出现的主题。

5. 同频正弦相加，还是同频正弦

另一个经常遇到的问题是：两个同频率但振幅、相位不同的正弦信号相加，结果是什么？比如

10\cos(\omega t + 30°) + 5\cos(\omega t - 60°) = \ ?

可以证明结果仍是同一频率的正弦，只是振幅和相位变了。用和角公式展开、合并、再凑回一个余弦，能算出来，但很繁琐。接收天线同时收到直射波和地面反射波时，遇到的就是这个问题。下面两节介绍的复数和相量，能把它变成简单的向量加法。

二、复数

1. 定义

引入一个数 $j$ ，规定

j^2 = -1

形如 $z = a + jb$ （ $a$ 、 $b$ 为实数）的数称为复数， $a = \mathrm{Re}\,z$ 是实部， $b = \mathrm{Im}\,z$ 是虚部。数学和物理书里常用 $i$ ，电子工程里习惯用 $j$ ，因为 $i$ 已经被电流占用了。Python 也用 j：3 + 4j 就是一个复数。

复数可以画在复平面上：横轴是实部，纵轴是虚部， $z = a + jb$ 对应点 $(a,\ b)$ ，或者从原点指向它的箭头。

2. 四则运算

按普通代数运算，遇到 $j^2$ 就换成 $-1$ ：

运算	公式
加减	$(a + jb) \pm (c + jd) = (a \pm c) + j(b \pm d)$
乘法	$(a + jb)(c + jd) = (ac - bd) + j(ad + bc)$
共轭	$z^* = a - jb$ ， $\ z z^* = a^2 + b^2$
除法	$\dfrac{a + jb}{c + jd} = \dfrac{(a + jb)(c - jd)}{c^2 + d^2}$ （分子分母同乘分母的共轭）

以 $z_1 = 3 + 4j$ 、 $z_2 = 1 - 2j$ 为例，附录代码给出：

运算	结果
$z_1 + z_2$	$4 + 2j$
$z_1 - z_2$	$2 + 6j$
$z_1 z_2$	$(3 + 8) + j(-6 + 4) = 11 - 2j$
$z_1 / z_2$	$\dfrac{(3 + 4j)(1 + 2j)}{1 + 4} = \dfrac{-5 + 10j}{5} = -1 + 2j$
$z_1^*$	$3 - 4j$

加减法就是向量的加减（平行四边形法则），这一点后面画相量图时会用到。

3. 极坐标形式

复平面上的点也可以用长度和角度描述：

|z| = \sqrt{a^2 + b^2},\qquad \theta = \arg z = \operatorname{atan2}(b,\ a)

$|z|$ 称为模， $\theta$ 称为辐角。反过来， $a = |z|\cos\theta$ ， $b = |z|\sin\theta$ 。工程上常把复数写成 $|z|\angle\theta$ ，例如 $3 + 4j = 5\angle 53.13°$ 。

注意 atan2：辐角不能简单地用 $\arctan(b/a)$ 计算，因为它分不清 $(a,\ b)$ 和 $(-a,\ -b)$ 。例如 $-1 - j$ 在第三象限，辐角应为 $-135°$ ，而 $\arctan\frac{-1}{-1} = 45°$ 。附录代码同时算了这两种方法，atan2 给出了正确的 $-135°$ 。NumPy 的 np.angle 内部用的就是 atan2。

图 3：左：复数的直角坐标与极坐标。右：复数乘法，模相乘、角相加；乘以 j 就是逆时针旋转 90°。

极坐标的好处在乘法上特别明显。附录代码算出 $z_1 = 5\angle 53.13°$ ， $z_2 = 2.2361\angle -63.43°$ ，而

z_1 z_2 = 11 - 2j = 11.1803\angle -10.30°

正好是 $5 \times 2.2361 = 11.1803$ ， $53.13° + (-63.43°) = -10.30°$ 。**复数相乘，模相乘，辐角相加。**为什么会这样，欧拉公式会给出答案。

一个特例： $j = 1\angle 90°$ ，所以乘以 $j$ 就是把向量逆时针旋转 90°，长度不变。 $jz_1 = j(3 + 4j) = -4 + 3j$ ，见图 3 右。第 03 章会看到，电感上电压超前电流 90°，正是因为它的阻抗里有一个 $j$ 。

三、欧拉公式

1. 公式与证明

\boxed{\ e^{j\theta} = \cos\theta + j\sin\theta\ }

这就是欧拉公式。它把指数函数和三角函数联系在一起，是整个信号处理和射频工程最常用的公式。

证明用泰勒级数。我们知道

e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots

\cos\theta = 1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \cdots,\qquad \sin\theta = \theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \cdots

把 $x = j\theta$ 代入 $e^x$ ，利用 $j^2 = -1$ 、 $j^3 = -j$ 、 $j^4 = 1$ ，周期为 4：

e^{j\theta} = 1 + j\theta - \frac{\theta^2}{2!} - j\frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^4}{4!} + j\frac{\theta^5}{5!} - \cdots

把实部和虚部分开，实部恰好是 $\cos\theta$ 的级数，虚部恰好是 $\sin\theta$ 的级数。证毕。

附录代码对 $\theta = \pi/3$ 逐项累加这个级数：

累加项数	部分和	与 $\cos\frac{\pi}{3} + j\sin\frac{\pi}{3}$ 的误差
2	$1.000000 + j1.047198$	$5.3\times10^{-1}$
3	$0.451689 + j1.047198$	$1.9\times10^{-1}$
4	$0.451689 + j0.855801$	$4.9\times10^{-2}$
6	$0.501796 + j0.866295$	$1.8\times10^{-3}$
9	$0.500000 + j0.866021$	$4.2\times10^{-6}$
12	$0.500000 + j0.866025$	$3.6\times10^{-9}$

12 项之后误差已经只有 $10^{-9}$ 量级，收敛到 $0.5 + j0.866025$ 。取 $\theta = \pi$ ，得到著名的 $e^{j\pi} + 1 = 0$ ，代码算出的结果是 $1.2\times10^{-16}j$ ，同样只是舍入误差。

有了欧拉公式，极坐标就可以写成指数形式：

z = |z|\angle\theta = |z|\,e^{j\theta}

复数乘法“模相乘、角相加”也就一目了然： $|z_1|e^{j\theta_1}\cdot|z_2|e^{j\theta_2} = |z_1||z_2|\,e^{j(\theta_1 + \theta_2)}$ ，指数相乘就是指数相加。

2. 旋转的相量

令 $\theta = \omega t$ ， $e^{j\omega t}$ 就是复平面单位圆上一个以角速度 $\omega$ 逆时针旋转的点，每秒转 $f$ 圈。它在实轴上的投影是 $\cos\omega t$ ，在虚轴上的投影是 $\sin\omega t$ ：

图 4：旋转的相量 $e^{j\omega t}$ 。右上：投影到虚轴，得到正弦；左下：投影到实轴，得到余弦（时间轴向下）。

这给了我们看待正弦信号的新视角：一个正弦信号，就是一个旋转相量在实轴上的投影。

把欧拉公式和它的共轭 $e^{-j\theta} = \cos\theta - j\sin\theta$ 相加、相减，得到

\cos\theta = \frac{e^{j\theta} + e^{-j\theta}}{2},\qquad \sin\theta = \frac{e^{j\theta} - e^{-j\theta}}{2j}

一个实数余弦等于两个反向旋转的相量之和：一个逆时针转（频率 $+f$ ），一个顺时针转（频率 $-f$ ），虚部正好抵消。这就是频谱图上会出现“负频率”的原因，第 04 章讲傅里叶变换、第 19 章讲 IQ 信号时还会回来。

四、相量

1. 定义

对于一个频率已知的正弦信号，利用欧拉公式可以写成

A\cos(\omega t + \varphi) = \mathrm{Re}\left\{A e^{j\varphi}\,e^{j\omega t}\right\}

括号里分成了两部分： $e^{j\omega t}$ 是旋转，所有同频率的信号都一样； $A e^{j\varphi}$ 是一个不随时间变化的复数，记录了这个信号独有的振幅和相位。后者就叫相量（phasor），通常用大写字母表示：

\mathbf{V} = A e^{j\varphi} = A\angle\varphi

在一个只有单一频率的系统里（比如第 03 章的交流电路，或者只看载波的天线问题）， $e^{j\omega t}$ 是公共因子，可以先扔掉，只对相量运算，最后再乘回去取实部。

2. 同频正弦相加 = 相量相加

因为取实部和加法可以交换顺序，

A_1\cos(\omega t + \varphi_1) + A_2\cos(\omega t + \varphi_2) = \mathrm{Re}\left\{(\mathbf{V}_1 + \mathbf{V}_2)\,e^{j\omega t}\right\}

**同频正弦相加，只需把相量相加。**回到第一节第 5 小节的问题：

\mathbf{V}_1 = 10\angle 30° = 8.660 + j5.000,\qquad \mathbf{V}_2 = 5\angle -60° = 2.500 - j4.330

\mathbf{V}_1 + \mathbf{V}_2 = 11.160 + j0.670 = 11.18\angle 3.43°

所以

10\cos(\omega t + 30°) + 5\cos(\omega t - 60°) = 11.18\cos(\omega t + 3.43°)

图 5：左：相量图，两个相量首尾相接，像力的合成一样。右：时域核对，逐点相加的结果（绿）和相量算出的正弦（虚线）完全重合。

附录代码在一个周期内取了 360 万个点逐点相加，找到最大值 11.1803，出现在 $\omega t = 356.57°$ 处，即相位 3.43°，和相量计算完全一致。注意合成振幅 11.18 小于 $10 + 5 = 15$ ，因为两个分量的相位相差 90°，不是同时达到最大。

3. 应用：多径衰落

接收天线常常同时收到两路信号：一路直射过来，另一路经地面、楼房或山体反射过来。反射路径比直射路径长 $\Delta d$ ，所以反射波晚到，相位滞后

\Delta\varphi = 2\pi\frac{\Delta d}{\lambda}

设反射波的振幅是直射波的 $a$ 倍（ $0 < a < 1$ ），以直射波为参考，合成信号的相量是

\mathbf{R} = 1 + a\,e^{-j\Delta\varphi}

它的模的平方为

|\mathbf{R}|^2 = (1 + a\cos\Delta\varphi)^2 + (a\sin\Delta\varphi)^2 = 1 + a^2 + 2a\cos\Delta\varphi

路程差是波长的整数倍时， $\cos\Delta\varphi = 1$ ，两路同相叠加， $|\mathbf{R}| = 1 + a$ ；
路程差是半波长的奇数倍时， $\cos\Delta\varphi = -1$ ，两路反相抵消， $|\mathbf{R}| = 1 - a$ 。

图 6：直射波加反射波的合成强度随路程差的变化。路程差每变化一个波长，信号就经历一次起伏；反射越强，谷底越深。

当 $a = 0.8$ 时，附录代码算出最强为 1.8 倍（+5.11 dB），最弱只有 0.2 倍（−13.98 dB），起伏达 19.1 dB。如果反射波和直射波一样强（ $a = 1$ ），谷底就是 0，信号完全消失。

这就是多径衰落。在 2 米波段（145 MHz， $\lambda = 2.068$ m），如果直射波从身后来、反射波从前方的楼房反射回来，两者相向传播，你每移动 $\lambda/2 = 1.034$ m，路程差就变化一个波长，经历一次衰落。开车以 60 km/h（16.67 m/s）行驶时，每秒要穿过 16.1 个“零点”，听起来就是信号一阵一阵地“哒哒”抖动，英文叫 picket fencing（栅栏效应）。

这给手台用户一个很实用的建议：信号差的时候，往旁边挪半米试试，也许就从谷底移到了峰顶。第 10 章会进一步讨论多径和衰落的统计规律。

4. 求导变成乘以 jω

相量的另一个重要性质：

\frac{d}{dt}\,\mathrm{Re}\left\{\mathbf{V}e^{j\omega t}\right\} = \mathrm{Re}\left\{j\omega\mathbf{V}\,e^{j\omega t}\right\}

对正弦信号求导，在相量上就是乘以 $j\omega$ ：振幅乘以 $\omega$ ，相位超前 90°。这让微分方程变成了代数方程。

把它用到电感和电容上（第 03 章详细推导）：

电感： $v = L\,\dfrac{di}{dt}$ ，相量形式 $\mathbf{V} = j\omega L\,\mathbf{I}$ ，所以电感的阻抗是 $Z_L = j\omega L$ ；
电容： $i = C\,\dfrac{dv}{dt}$ ，相量形式 $\mathbf{I} = j\omega C\,\mathbf{V}$ ，所以电容的阻抗是 $Z_C = \dfrac{1}{j\omega C} = -\dfrac{j}{\omega C}$ 。

在 7.1 MHz，附录代码算出 1 μH 电感的阻抗是 $+j44.61\ \Omega$ ，100 pF 电容的阻抗是 $-j224.16\ \Omega$ 。有了复数阻抗，交流电路就可以像直流电路一样用欧姆定律计算，只是所有量都换成了复数。

五、分贝

1. 为什么要用分贝

图 7：无线电里常见的功率电平，放在同一把“分贝尺”上。上方是对应的线性功率。

无线电里的功率跨度极大：一台 1500 W 的功率放大器输出 $+61.8$ dBm，而 1 Hz 带宽内的热噪声只有 $-174$ dBm，两者相差 236 dB，即 $10^{23}$ 倍以上。用瓦特写出来，一个是 1500，一个是 $4\times10^{-21}$ ，根本没法放在同一张表里比较。

分贝的第二个好处更重要：信号经过一连串放大器、电缆、天线和传播路径，每一级都是乘上一个增益或损耗；取对数之后，乘法变成加法：

\lg(G_1 G_2 G_3) = \lg G_1 + \lg G_2 + \lg G_3

这就是为什么无线电工程师总是用 dB 来做“链路预算”。

2. 定义

两个功率之比的分贝数定义为

\boxed{\ G_{\mathrm{dB}} = 10\lg\frac{P_2}{P_1}\ }

其中 $\lg$ 是以 10 为底的对数。比值大于 1 时 dB 为正（增益），小于 1 时为负（损耗），等于 1 时为 0 dB。

如果比较的是电压（或电流、场强），由于功率与电压的平方成正比（ $P = V^2/R$ ），在相同阻抗下：

G_{\mathrm{dB}} = 10\lg\frac{V_2^2/R}{V_1^2/R} = 20\lg\frac{V_2}{V_1}

所以电压翻倍是 +6 dB，功率翻倍是 +3 dB，两者说的是同一件事。注意前提是阻抗相同；比较 50 Ω 和 75 Ω 系统上的电压时，不能直接用 $20\lg$ 。

3. 速算

记住两个数就够了：3 dB ≈ ×2，10 dB = ×10。其他的都能拼出来，例如 13 dB = 10 dB + 3 dB ≈ ×20，7 dB = 10 dB − 3 dB ≈ ×5，−3 dB ≈ ×½。附录代码列出了 1～10 dB 的精确倍数，以及好记的近似值：

dB	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
精确倍数	1.2589	1.5849	1.9953	2.5119	3.1623	3.9811	5.0119	6.3096	7.9433	10
速算	1.25	1.6	2	2.5	3.2	4	5	6.3	8	10

4. 绝对电平：dBm、dBW、dBμV

分贝本来只表示比值。如果固定一个参考值，它就能表示绝对大小：

单位	参考值	常见用途
dBm	1 mW	射频功率，最常用
dBW	1 W	大功率发射机、卫星 EIRP
dBμV	1 μV	接收机输入电压、EMC 测量
dBμV/m	1 μV/m	电场强度

$P\,[\mathrm{dBm}] = 10\lg\dfrac{P}{1\ \mathrm{mW}}$ ，所以 dBW = dBm − 30。附录代码列出了几个常见功率：

功率	1 mW	1 W	5 W	25 W	100 W	1500 W
dBm	0.00	30.00	36.99	43.98	50.00	61.76

在 50 Ω 系统里，0 dBm 对应的电压是 $\sqrt{10^{-3}\times 50} = 0.2236$ V $= 106.99$ dBμV，所以

\mathrm{dB\mu V} \approx \mathrm{dBm} + 107\qquad (50\ \Omega)

例如手台灵敏度 $-121$ dBm 相当于 $-14$ dBμV，也就是 0.2 μV。

5. dBc、dBFS、dBi 和 dBd

还有几个以“相对于什么”命名的分贝单位：

dBc：相对于载波（carrier）功率。例如“谐波抑制 −43 dBc”表示谐波比载波弱 43 dB；
dBFS：相对于满量程（full scale），用于 ADC 和软件无线电，0 dBFS 是 ADC 能表示的最大值；
dBi：天线增益，相对于各向同性（isotropic）天线；
dBd：天线增益，相对于半波偶极子（dipole）。

dBi 和 dBd 之间差一个固定值：半波偶极子本身相对各向同性天线的增益。半波偶极子的方向图是

U(\theta) \propto \left[\frac{\cos\left(\frac{\pi}{2}\cos\theta\right)}{\sin\theta}\right]^2

它的方向性系数等于最大辐射强度与平均辐射强度之比：

D = \frac{4\pi\,U_{\max}}{\displaystyle\oint U\,d\Omega} = \frac{2}{\displaystyle\int_0^\pi \frac{\cos^2\left(\frac{\pi}{2}\cos\theta\right)}{\sin\theta}\,d\theta}

附录代码用数值积分算出 $D = 1.6409$ ，即 $10\lg 1.6409 = 2.15$ dBi。所以

\mathrm{dBi} = \mathrm{dBd} + 2.15

看天线广告时要留意：同一副天线，标 dBi 的数字比标 dBd 的大 2.15。只写“dB”不写参考的增益数字，最好打个问号。第 09 章会推导这个方向图。

6. S 表

业余电台面板上的S 表（信号强度表）用 S1～S9 表示收到的信号强度，S9 以上用“S9 + 多少 dB”表示。IARU 第一区的技术建议规定：每个 S 单位相差 6 dB（电压的 2 倍），在 50 Ω 输入端：

HF（30 MHz 以下）：S9 = −73 dBm，即 50 μV；
VHF 及以上：S9 = −93 dBm，即 5 μV。

附录代码由此推出各级读数：

S 读数	HF 电平	HF 电压	VHF 电平	VHF 电压
S1	−121 dBm	0.199 μV	−141 dBm	0.020 μV
S3	−109 dBm	0.793 μV	−129 dBm	0.079 μV
S5	−97 dBm	3.159 μV	−117 dBm	0.316 μV
S7	−85 dBm	12.574 μV	−105 dBm	1.257 μV
S9	−73 dBm	50.059 μV	−93 dBm	5.006 μV

HF 的 S9 + 20 dB 就是 −53 dBm。通联时对方报告“你的信号 S7”，你就知道它大约在 −85 dBm。不过要注意，许多电台的 S 表并没有严格按这个标准校准，读数只能作参考。

7. 分贝不能直接相加

一个常见的错误是把两个用 dBm 表示的功率直接相加。正确的做法是先换回瓦特，相加，再换回 dBm：

功率 A	功率 B	A + B
0 dBm	0 dBm	3.01 dBm
−100 dBm	−110 dBm	−99.59 dBm
−100 dBm	−120 dBm	−99.96 dBm

两个相等的功率相加，总功率加 3 dB；一个比另一个弱 20 dB 时，它的贡献几乎可以忽略。这在计算噪声时很有用：290 K 下的热噪声功率谱密度是 $kT = -173.98$ dBm/Hz，在 12.5 kHz 的 FM 信道带宽内是 $-173.98 + 10\lg 12500 = -133.01$ dBm。第 14 章讨论灵敏度时会用到这个数字。

（“dB 加 dB”在另一种意义下是对的：增益和损耗可以直接加减，因为它们表示的是乘法关系。一个 20 dB 的放大器后面接一段 3 dB 损耗的电缆，总增益就是 17 dB。）

8. 链路预算

把第 01 章的平方反比公式推广到收发天线都有增益的情况：

P_r = P_t\,G_t\,G_r\left(\frac{\lambda}{4\pi d}\right)^2

这就是 Friis 传输公式，第 10 章会详细推导。其中 $\left(\frac{4\pi d}{\lambda}\right)^2$ 称为自由空间路径损耗（FSPL）。取分贝：

P_r\,[\mathrm{dBm}] = P_t\,[\mathrm{dBm}] + G_t\,[\mathrm{dBi}] + G_r\,[\mathrm{dBi}] - \mathrm{FSPL}\,[\mathrm{dB}]

\mathrm{FSPL} = 20\lg\frac{4\pi d}{\lambda} = 20\lg d_{\mathrm{km}} + 20\lg f_{\mathrm{MHz}} + 32.45

常数 32.45 是把 $d$ 用 km、 $f$ 用 MHz 表示时 $20\lg\frac{4\pi\times10^3\times10^6}{c}$ 的值。用它重算第 01 章的例子（5 W、145 MHz、10 km、各向同性天线），得到 −58.69 dBm，和当时的结果一致。

下面是一条更完整的 2 米波段链路：一台 25 W 的车载电台，经过馈线和天线，与 30 km 外的另一个电台通联。天线增益和馈线损耗是假设的典型值，并假设视距无遮挡：

项目	增益 / 损耗	电平
发射功率 25 W	+43.98 dB	43.98 dBm
发射端馈线损耗（假设）	−1.50 dB	42.48 dBm
发射天线增益（假设）	+6.00 dB	48.48 dBm
自由空间路径损耗（30 km）	−105.22 dB	−56.74 dBm
接收天线增益（假设）	+3.00 dB	−53.74 dBm
接收端馈线损耗（假设）	−1.00 dB	−54.74 dBm

图 8：链路预算的“瀑布图”。每一级增益或损耗都只是在 dB 上加减。

接收功率 −54.74 dBm，比灵敏度高 66.3 dB。这 66 dB 的余量用来抵消现实中的各种额外损耗：山体和建筑物的遮挡、多径衰落、天线没对准、雨雪……第 10 章会逐一讨论。用 dB 做链路预算的好处在于：想改一个条件（比如换一副增益更高的天线），只需在表里改一行加减。

六、对数坐标

第 01 章的电磁波谱、天线尺寸、平方反比图都用了对数坐标：坐标轴上等距离的刻度代表等倍数而不是等差。1、10、100、1000 之间的距离相等。读对数坐标时记住两点：

每一大格（一个十倍程）代表乘以 10。两个大刻度之间的小刻度依次是 2、3、…、9 倍，越往右越挤；
在双对数坐标上，幂函数 $y = x^n$ 是一条直线，斜率等于 $n$ 。所以第 01 章图 7 里，接收功率（dBm）对距离（对数坐标）的曲线是一条直线：距离每增加 10 倍，功率下降 20 dB。

纵轴用 dB 表示时，它本身就已经是对数了，所以纵轴不需要再取对数坐标。

七、Python 上手：NumPy 与 Matplotlib

本教程的所有计算和配图都用 Python 完成。只需要两个库：

NumPy：数组运算，原生支持复数；
Matplotlib：画图。

安装好 Python 3 之后，在命令行运行：

python -m pip install numpy matplotlib

附录 C 会详细介绍环境配置。下面这段代码把本章的几个计算串起来：

import numpy as np

z1, z2 = 3 + 4j, 1 - 2j
print(z1 * z2, z1 / z2)                     # 复数的乘除
print(abs(z1), np.angle(z1, deg=True))      # 模和辐角（度）

V = 10 * np.exp(1j * np.radians(30)) + 5 * np.exp(1j * np.radians(-60))
print(abs(V), np.angle(V, deg=True))        # 相量相加

P = np.array([0.001, 1, 5, 100])            # 功率，单位 W
print(10 * np.log10(P / 1e-3))              # 一次性换算成 dBm

输出：

(11-2j) (-1+2j)
5.0 53.13010235415598
11.180339887498949 3.434948822922008
[ 0.         30.         36.98970004 50.        ]

几个要点：

复数是 Python 的内置类型：3 + 4j 直接就是复数，abs() 求模；NumPy 的 np.angle(z, deg=True) 求辐角，np.exp(1j * theta) 就是欧拉公式；
向量化：NumPy 的函数作用在整个数组上，例如最后一行一次算出了四个功率的 dBm，不需要写循环。后面处理成千上万个采样点时，这既简洁又快；
画图：Matplotlib 的基本用法是 plt.plot(x, y) 画曲线、plt.xlabel() 加坐标轴标题、plt.show() 显示。附录代码最后画出了图 4 的简化版。每一章的配图脚本 make_figures.py 都放在文章旁边，可以对照着学习更多画法。

小结

正弦信号 $A\cos(\omega t + \varphi)$ 由振幅、频率、相位三个参数确定。相位差等于时间差： $\Delta t = \frac{\varphi}{360°}T$ 。正弦电压的有效值 $V_{\mathrm{rms}} = V_p/\sqrt2$ ，电阻上的平均功率 $P = V_{\mathrm{rms}}^2/R = V_{pp}^2/8R$ 。
积化和差： $\cos a\cos b = \frac12\cos(a-b) + \frac12\cos(a+b)$ 。两个频率相乘产生和频与差频，这是混频器和超外差接收机的原理；非线性运算会产生新频率，线性运算不会。
复数 $a + jb = |z|\angle\theta$ ，辐角用 atan2 计算。加减按分量，乘除按极坐标：模相乘除、角相加减。乘以 $j$ 等于旋转 90°。
欧拉公式 $e^{j\theta} = \cos\theta + j\sin\theta$ ，可由泰勒级数证明。 $e^{j\omega t}$ 是复平面上旋转的相量，正弦信号是它的投影； $\cos\theta$ 等于两个反向旋转相量之和，由此引出负频率。
相量 $\mathbf{V} = A e^{j\varphi}$ 记录正弦信号的振幅和相位。同频正弦相加就是相量相加，求导就是乘以 $j\omega$ ，由此得到电感、电容的阻抗 $j\omega L$ 、 $1/(j\omega C)$ 。
多径衰落：直射波与反射波的合成 $|1 + a e^{-j2\pi\Delta d/\lambda}|$ 在 $1 - a$ 与 $1 + a$ 之间起伏，路程差每变化一个波长起伏一次。
分贝：功率比 $10\lg$ ，电压比 $20\lg$ （同阻抗）。3 dB ≈ ×2，10 dB = ×10。dBm 以 1 mW 为参考，50 Ω 下 dBμV ≈ dBm + 107；dBi = dBd + 2.15；S9 在 HF 为 −73 dBm、VHF 为 −93 dBm，每个 S 单位 6 dB。增益和损耗可以直接加减，两个功率相加则必须先换回瓦特。
链路预算： $P_r = P_t + G_t + G_r - \mathrm{FSPL}$ ， $\mathrm{FSPL} = 20\lg d_{\mathrm{km}} + 20\lg f_{\mathrm{MHz}} + 32.45$ 。

下一章，我们用这些工具分析电路：电阻、电容、电感、复数阻抗，以及无线电里最重要的电路之一——LC 谐振回路。

练习题

（有效值） 用示波器测得 50 Ω 假负载两端的电压峰峰值为 63.2 V。发射机的输出功率是多少？
（混频与镜像） 一台接收机的中频是 9.0 MHz。要接收 7.100 MHz 的信号，本振调到 16.100 MHz。(a) 混频后得到哪两个频率？(b) 另外还有一个输入频率，和这个本振混频后也会落在 9.0 MHz 上，它是多少？
（复数运算） 计算 $(2 + j)(1 - 3j)$ 和 $\dfrac{2 + j}{1 - 3j}$ ，结果分别写成直角坐标和极坐标形式。
（相量） (a) 三个振幅都是 1、相位分别为 0°、120°、240° 的同频正弦相加，结果是什么？(b) 把 $3\cos\omega t + 4\sin\omega t$ 写成 $A\cos(\omega t + \varphi)$ 的形式。
（dB 速算） 不用计算器，估算 23 dB、17 dB、−7 dB、36 dB 各对应多少倍功率，再用计算器核对。
（绝对电平） (a) 0.5 W 是多少 dBm？(b) 50 Ω 系统中的 −107 dBm 约等于多少 dBμV、多少 μV？(c) HF 波段对方报告你的信号从 S5 升到了 S9，信号功率增加了多少 dB、多少倍？
（馈线损耗） 一段 30 m 长的同轴电缆，假设它在 145 MHz 的损耗为 6 dB/100 m。电台输出 50 W，到达天线的功率是多少？
（多径） 如果反射波振幅只有直射波的一半（ $a = 0.5$ ），合成信号的最强和最弱分别是多少 dB？
（编程：链路预算） 修改附录代码第 9 部分，把距离从 30 km 改为 60 km，接收功率和余量各是多少？距离每增加一倍，路径损耗增加多少 dB？
（噪声相加） 两个互不相关的噪声源功率相等，叠加后总噪声比单个噪声源高多少 dB？如果两路信号完全同相（比如练习 8 中直射波和反射波同相、 $a = 1$ ），叠加后功率又高多少 dB？两者为什么不同？

参考答案

$V_p = 31.6$ V， $V_{\mathrm{rms}} = 31.6/\sqrt2 = 22.34$ V， $P = 22.34^2/50 =$ 9.99 W，约 10 W。或者直接用 $P = V_{pp}^2/8R = 63.2^2/400 = 9.99$ W。
(a) 差频 $16.1 - 7.1 =$ 9.0 MHz，和频 $16.1 + 7.1 =$ 23.2 MHz。中频滤波器选出 9.0 MHz。(b) 输入为 $16.1 + 9.0 =$ 25.1 MHz 时，差频 $|25.1 - 16.1| = 9.0$ MHz，同样落进中频。25.1 MHz 称为 7.1 MHz 的镜像频率，它和有用信号关于本振对称。如果不在混频器前面把它滤掉，25.1 MHz 上的电台就会混进来。第 15 章专门讨论这个问题。
$(2 + j)(1 - 3j) = 2 - 6j + j - 3j^2 =$ $5 - 5j$ $= 7.071\angle -45°$ ； $\dfrac{2 + j}{1 - 3j} = \dfrac{(2 + j)(1 + 3j)}{10} = \dfrac{-1 + 7j}{10} =$ $-0.1 + 0.7j$ $= 0.7071\angle 98.13°$ 。用极坐标核对： $\sqrt5\angle 26.57° \times \sqrt{10}\angle -71.57° = \sqrt{50}\angle -45°$ ；相除则是 $\sqrt{0.5}\angle 98.13°$ 。
(a) 三个相量 $1\angle 0°$ 、 $1\angle 120°$ 、 $1\angle 240°$ 首尾相接构成一个闭合的等边三角形，和为 0（代码算出的模是 $3\times10^{-16}$ ）。这就是三相交流电在平衡负载下中性线电流为零的原因。(b) $\sin\omega t = \cos(\omega t - 90°)$ ，相量为 $-j$ ，所以总相量为 $3 - 4j = 5\angle -53.13°$ ，即 $5\cos(\omega t - 53.13°)$ 。
23 dB = 20 + 3 ≈ 100 × 2 = 200（精确值 199.5）；17 dB = 20 − 3 ≈ 100 ÷ 2 = 50（50.1）；−7 dB = −10 + 3 ≈ 0.1 × 2 = 0.2（0.1995）；36 dB = 30 + 6 ≈ 1000 × 4 = 4000（3981）。
(a) $10\lg(500) =$ 26.99 dBm。(b) $-107 + 107 =$ 0 dBμV，即约 1 μV（精确地说是 −0.01 dBμV）。(c) S5 到 S9 是 4 个 S 单位，24 dB，功率增加 $10^{2.4} \approx$ 251 倍（电压增加 16 倍）。
损耗 $30 \times 6/100 = 1.8$ dB，到达天线的功率 $50\times10^{-0.18} =$ 33.0 W，有约 17 W 变成了电缆里的热量。接收时，天线收到的信号同样要损失 1.8 dB。所以在 VHF/UHF，低损耗电缆和尽量短的馈线很重要。
最强 $20\lg 1.5 =$ +3.52 dB，最弱 $20\lg 0.5 =$ −6.02 dB，起伏 9.5 dB，比 $a = 0.8$ 时的 19.1 dB 小得多（图 6 中的橙色虚线）。
60 km 时 FSPL = 111.24 dB，接收功率 −60.76 dBm，余量 60.2 dB。距离加倍，FSPL 增加 $20\lg 2 =$ 6.02 dB（自由空间里的“6 dB 每倍程”规律）。
不相关的噪声按功率相加： $10\lg 2 =$ +3.01 dB。同相的两路信号按电压（相量）相加：振幅加倍，功率变为 4 倍，+6.02 dB（就是 $a = 1$ 时多径的峰值， $20\lg 2$ ）。区别在于相关性：同相信号的电压时时刻刻都在互相加强；不相关的噪声有时加强、有时抵消，平均下来只有功率可加。天线阵列和分集接收正是利用了这一差别：把多路信号同相相加，信号增加 6 dB，而噪声只增加 3 dB。

参考资料

W. H. Hayt, J. E. Kemmerly, J. D. Phillips, S. M. Durbin. Engineering Circuit Analysis. 9th ed. McGraw-Hill, 2018. 第 10 章（正弦稳态分析与相量）。
R. G. Lyons. Understanding Digital Signal Processing. 3rd ed. Prentice Hall, 2010. 附录 A（复数）、第 8 章（正交信号）。
P. J. Nahin. An Imaginary Tale: The Story of √−1. Princeton University Press, 1998.
ARRL. The ARRL Handbook for Radio Communications. 最新版. “Electrical Fundamentals” 与 “Radio Fundamentals” 章节。
IARU Region 1. Technical Recommendation R.1: S-meter calibration. 1981.
T. S. Rappaport. Wireless Communications: Principles and Practice. 2nd ed. Prentice Hall, 2002. 第 4 章（自由空间传播与链路预算）、第 5 章（多径衰落）。

附录：完整代码

下面的代码复现了本章所有数值：正弦信号的峰值与有效值、相位差折合的时间差、积化和差的数值验证、复数运算、欧拉公式的泰勒级数逼近、相量相加及其时域核对、多径衰落、电感和电容的阻抗、分贝速算表、dBm 与 dBμV、S 表、功率相加、热噪声、半波偶极子的 dBi，以及链路预算，最后画出旋转相量与它的投影。只依赖 numpy 和 matplotlib，保存为 example.py 后运行 python example.py 即可。

"""无线电自学教程 02：数学工具箱 —— 附录代码

1. 正弦信号：峰值、峰峰值、有效值；相位差折合成时间差；
2. 积化和差：两个余弦相乘得到和频与差频（混频器的数学原理）；
3. 复数运算：加减乘除、模与辐角、极坐标；
4. 欧拉公式：用泰勒级数逼近 e^{jθ}，验证 e^{jπ} + 1 = 0；
5. 相量：两个同频正弦相加，用相量求和并用时域采样核对；
6. 多径：直射波与反射波的相量和，衰落的深度与快慢；
7. 阻抗预览：电感 jωL、电容 1/(jωC)；
8. 分贝：速算口诀、dBm 与 dBμV、S 表、功率相加、半波偶极子的 dBi；
9. 链路预算：自由空间路径损耗与一条 2 米波段链路的预算表；
最后画出旋转相量与它在实轴上的投影。
运行：python example.py
"""
import cmath
import math

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

plt.rcParams["font.sans-serif"] = ["Microsoft YaHei", "SimHei", "DejaVu Sans"]
plt.rcParams["axes.unicode_minus"] = False

C = 299_792_458.0          # 光速 [m/s]


def db(x):
    """功率比 → dB。"""
    return 10 * np.log10(x)


def dbm(p_watt):
    return 10 * np.log10(p_watt / 1e-3)


def watt(p_dbm):
    return 1e-3 * 10 ** (p_dbm / 10)


def polar_str(z):
    return f"{abs(z):.4f}∠{np.degrees(np.angle(z)):.2f}°"


def rect_str(z):
    sign = "+" if z.imag >= 0 else "-"
    return f"{z.real:.3f} {sign} j{abs(z.imag):.3f}"


# ---------------- 1. 正弦信号 ----------------
print("=== 1. 正弦信号：100 W 发射机接 50 Ω 假负载 ===")
P, R = 100.0, 50.0
v_rms = math.sqrt(P * R)
v_p = v_rms * math.sqrt(2)
print(f"有效值 V_rms = sqrt(P·R) = {v_rms:.2f} V，峰值 V_p = {v_p:.2f} V，峰峰值 V_pp = {2 * v_p:.2f} V")
t = np.linspace(0, 1, 100_000, endpoint=False)          # 一个周期（归一化）
v = v_p * np.cos(2 * np.pi * t)
print(f"数值积分：一个周期内 v^2 的平均值开方 = {np.sqrt(np.mean(v**2)):.4f} V")
f, phi = 7.1e6, 60.0
print(f"7.1 MHz 时，60 度相位差相当于 {phi / 360 / f * 1e9:.2f} ns 的时间差")

# ---------------- 2. 积化和差 ----------------
print("\n=== 2. 积化和差：cos a · cos b = [cos(a-b) + cos(a+b)] / 2 ===")
f1, f2 = 14.2e6, 5.2e6
t = np.linspace(0, 2e-6, 200_001)
lhs = np.cos(2 * np.pi * f1 * t) * np.cos(2 * np.pi * f2 * t)
rhs = 0.5 * (np.cos(2 * np.pi * (f1 - f2) * t) + np.cos(2 * np.pi * (f1 + f2) * t))
print(f"两边最大误差 {np.max(np.abs(lhs - rhs)):.1e}")
print(f"{f1 / 1e6} MHz × {f2 / 1e6} MHz → 差频 {(f1 - f2) / 1e6:.1f} MHz，和频 {(f1 + f2) / 1e6:.1f} MHz")

# ---------------- 3. 复数运算 ----------------
print("\n=== 3. 复数运算 ===")
z1, z2 = 3 + 4j, 1 - 2j
print(f"z1 = {z1}，z2 = {z2}")
print(f"z1 + z2 = {z1 + z2}，z1 - z2 = {z1 - z2}")
print(f"z1 · z2 = {z1 * z2}，z1 / z2 = {z1 / z2}")
print(f"|z1| = {abs(z1)}，arg z1 = {np.degrees(np.angle(z1)):.2f}°，共轭 = {z1.conjugate()}")
print(f"极坐标：z1 = {polar_str(z1)}，z2 = {polar_str(z2)}，z1·z2 = {polar_str(z1 * z2)}")
print(f"  模相乘 {abs(z1) * abs(z2):.4f}，角相加 "
      f"{np.degrees(np.angle(z1) + np.angle(z2)):.2f}°")
print(f"arg(-1 - 1j)：atan(b/a) 给出 {np.degrees(np.arctan(-1 / -1)):.0f}°，"
      f"atan2 给出 {np.degrees(np.arctan2(-1, -1)):.0f}°（正确）")

# ---------------- 4. 欧拉公式 ----------------
print("\n=== 4. 欧拉公式：e^{jθ} = cos θ + j sin θ ===")
theta = np.pi / 3
target = complex(np.cos(theta), np.sin(theta))
partial = 0
for n in range(12):
    partial += (1j * theta) ** n / math.factorial(n)
    if n in (1, 2, 3, 5, 8, 11):
        print(f"泰勒级数前 {n + 1:2d} 项：{partial.real:.6f} + j{partial.imag:.6f}，"
              f"误差 {abs(partial - target):.1e}")
print(f"cos(π/3) + j sin(π/3) = {target.real:.6f} + j{target.imag:.6f}")
print(f"e^(jπ) + 1 = {cmath.exp(1j * np.pi) + 1:.1e}")

# ---------------- 5. 相量相加 ----------------
print("\n=== 5. 相量：10 cos(ωt + 30°) + 5 cos(ωt - 60°) ===")
p1 = 10 * cmath.exp(1j * np.radians(30))
p2 = 5 * cmath.exp(1j * np.radians(-60))
ps = p1 + p2
print(f"V1 = {rect_str(p1)}，V2 = {rect_str(p2)}")
print(f"V1 + V2 = {rect_str(ps)} = {polar_str(ps)}")
wt = np.linspace(0, 2 * np.pi, 3_600_001)
s = 10 * np.cos(wt + np.radians(30)) + 5 * np.cos(wt - np.radians(60))
k = np.argmax(s)
print(f"时域采样核对：最大值 {s[k]:.4f}，出现在 ωt = {np.degrees(wt[k]):.2f}°，"
      f"即相位 {-np.degrees(wt[k]) % 360:.2f}°")

# ---------------- 6. 多径 ----------------
print("\n=== 6. 多径：直射波 1 + 反射波 0.8·e^{-jΔφ} ===")
a_ref = 0.8
print(f"同相叠加：{1 + a_ref:.1f} 倍（{20 * np.log10(1 + a_ref):+.2f} dB），"
      f"反相抵消：{1 - a_ref:.1f} 倍（{20 * np.log10(1 - a_ref):+.2f} dB），"
      f"起伏 {20 * np.log10((1 + a_ref) / (1 - a_ref)):.1f} dB")
lam = C / 145e6
speed = 60 / 3.6
print(f"145 MHz：λ = {lam:.3f} m。直射波与反射波相向而来时，零点间隔 λ/2 = {lam / 2:.3f} m")
print(f"车速 60 km/h（{speed:.2f} m/s）时，每秒穿过 {speed / (lam / 2):.1f} 个零点")

# ---------------- 7. 阻抗预览 ----------------
print("\n=== 7. 阻抗：Z_L = jωL，Z_C = 1/(jωC) ===")
f = 7.1e6
w = 2 * np.pi * f
L, Cap = 1e-6, 100e-12
zl, zc = 1j * w * L, 1 / (1j * w * Cap)
print(f"f = 7.1 MHz：1 μH 电感 Z = {zl.real:.0f} + j{zl.imag:.2f} Ω，"
      f"100 pF 电容 Z = {zc.real:.0f} - j{-zc.imag:.2f} Ω")

# ---------------- 8. 分贝 ----------------
print("\n=== 8. 分贝 ===")
print("dB 数   精确倍数   口诀")
trick = {1: "1.25", 2: "1.6", 3: "2", 4: "2.5", 5: "3.2", 6: "4", 7: "5", 8: "6.3",
         9: "8", 10: "10"}
for n in range(1, 11):
    print(f"{n:4d}   {10 ** (n / 10):9.4f}   {trick[n]}")
print("功率与 dBm：")
for p in (1e-3, 1.0, 5.0, 25.0, 100.0, 1500.0):
    print(f"  {p:>8g} W = {dbm(p):7.2f} dBm")
v0 = math.sqrt(1e-3 * 50)
print(f"50 Ω 上 0 dBm 的电压 = {v0:.4f} V = {20 * np.log10(v0 / 1e-6):.2f} dBμV")
print("S 表（IARU 第一区建议：每个 S 单位 6 dB，50 Ω）：")
for s_unit in (1, 3, 5, 7, 9):
    hf = -73 - 6 * (9 - s_unit)
    vhf = hf - 20
    print(f"  S{s_unit}：HF {hf:5d} dBm（{math.sqrt(watt(hf) * 50) * 1e6:7.3f} μV），"
          f"VHF {vhf:5d} dBm（{math.sqrt(watt(vhf) * 50) * 1e6:7.3f} μV）")
print(f"  S9+20 dB（HF）= {-73 + 20} dBm")
print("功率相加（不相关信号）：")
for a, b in ((0, 0), (-100, -110), (-100, -120)):
    print(f"  {a} dBm + {b} dBm = {dbm(watt(a) + watt(b)):.2f} dBm")
kT = 1.380649e-23 * 290
print(f"290 K 热噪声：{dbm(kT):.2f} dBm/Hz；12.5 kHz 带宽内 {dbm(kT * 12.5e3):.2f} dBm")
th = np.linspace(1e-6, np.pi - 1e-6, 200_001)
pattern = (np.cos(np.pi / 2 * np.cos(th)) / np.sin(th)) ** 2   # 半波偶极子的功率方向图
D = 2 / np.trapezoid(pattern * np.sin(th), th)                  # D = 4π U_max / ∮U dΩ
print(f"半波偶极子方向性系数 D = {D:.4f} = {db(D):.2f} dBi，所以 0 dBd = {db(D):.2f} dBi")

# ---------------- 9. 链路预算 ----------------
print("\n=== 9. 链路预算：145 MHz，30 km，视距无遮挡 ===")
const = 20 * np.log10(4 * np.pi * 1e3 * 1e6 / C)
print(f"FSPL = 20lg(d/km) + 20lg(f/MHz) + {const:.2f} dB")
d, f = 30e3, 145e6
fspl = 20 * np.log10(4 * np.pi * d / (C / f))
budget = [("发射功率 25 W", dbm(25.0)), ("发射端馈线损耗（假设）", -1.5),
          ("发射天线增益（假设）", 6.0), ("自由空间路径损耗", -fspl),
          ("接收天线增益（假设）", 3.0), ("接收端馈线损耗（假设）", -1.0)]
level = 0.0
for name, val in budget:
    level += val
    print(f"  {val:+8.2f} dB  → {level:8.2f} dBm  {name}")
print(f"接收功率 {level:.2f} dBm，比灵敏度 -121 dBm 高 {level + 121:.1f} dB")
print(f"核对：只用 FSPL 算第 01 章的 5 W、10 km：{dbm(5.0) - 20 * np.log10(4 * np.pi * 1e4 / (C / 145e6)):.2f} dBm")

# ---------------- 画图：旋转相量与它的投影 ----------------
wt = np.linspace(0, 4 * np.pi, 400)
fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(10, 4), gridspec_kw=dict(width_ratios=[1, 2]))
ax1.plot(np.cos(wt), np.sin(wt), color="#b0afa9")
ang = np.radians(50)
ax1.annotate("", xy=(np.cos(ang), np.sin(ang)), xytext=(0, 0),
             arrowprops=dict(arrowstyle="-|>", color="#2a78d6", lw=2))
ax1.plot([np.cos(ang)] * 2, [0, np.sin(ang)], "--", color="#eb6834")
ax1.set_aspect("equal")
ax1.set_title(r"$e^{j\omega t}$ 在复平面上旋转")
ax2.plot(wt, np.cos(wt), color="#eb6834", label=r"实部 $\cos\omega t$")
ax2.plot(wt, np.sin(wt), color="#2a78d6", label=r"虚部 $\sin\omega t$")
ax2.set_xlabel(r"$\omega t$ (rad)")
ax2.legend()
for ax in (ax1, ax2):
    ax.grid(True, color="#e6e5e1")
fig.tight_layout()
plt.show()

运行后的完整输出：

=== 1. 正弦信号：100 W 发射机接 50 Ω 假负载 ===
有效值 V_rms = sqrt(P·R) = 70.71 V，峰值 V_p = 100.00 V，峰峰值 V_pp = 200.00 V
数值积分：一个周期内 v^2 的平均值开方 = 70.7107 V
7.1 MHz 时，60 度相位差相当于 23.47 ns 的时间差

=== 2. 积化和差：cos a · cos b = [cos(a-b) + cos(a+b)] / 2 ===
两边最大误差 2.8e-14
14.2 MHz × 5.2 MHz → 差频 9.0 MHz，和频 19.4 MHz

=== 3. 复数运算 ===
z1 = (3+4j)，z2 = (1-2j)
z1 + z2 = (4+2j)，z1 - z2 = (2+6j)
z1 · z2 = (11-2j)，z1 / z2 = (-1+2j)
|z1| = 5.0，arg z1 = 53.13°，共轭 = (3-4j)
极坐标：z1 = 5.0000∠53.13°，z2 = 2.2361∠-63.43°，z1·z2 = 11.1803∠-10.30°
  模相乘 11.1803，角相加 -10.30°
arg(-1 - 1j)：atan(b/a) 给出 45°，atan2 给出 -135°（正确）

=== 4. 欧拉公式：e^{jθ} = cos θ + j sin θ ===
泰勒级数前  2 项：1.000000 + j1.047198，误差 5.3e-01
泰勒级数前  3 项：0.451689 + j1.047198，误差 1.9e-01
泰勒级数前  4 项：0.451689 + j0.855801，误差 4.9e-02
泰勒级数前  6 项：0.501796 + j0.866295，误差 1.8e-03
泰勒级数前  9 项：0.500000 + j0.866021，误差 4.2e-06
泰勒级数前 12 项：0.500000 + j0.866025，误差 3.6e-09
cos(π/3) + j sin(π/3) = 0.500000 + j0.866025
e^(jπ) + 1 = 0.0e+00+1.2e-16j

=== 5. 相量：10 cos(ωt + 30°) + 5 cos(ωt - 60°) ===
V1 = 8.660 + j5.000，V2 = 2.500 - j4.330
V1 + V2 = 11.160 + j0.670 = 11.1803∠3.43°
时域采样核对：最大值 11.1803，出现在 ωt = 356.57°，即相位 3.43°

=== 6. 多径：直射波 1 + 反射波 0.8·e^{-jΔφ} ===
同相叠加：1.8 倍（+5.11 dB），反相抵消：0.2 倍（-13.98 dB），起伏 19.1 dB
145 MHz：λ = 2.068 m。直射波与反射波相向而来时，零点间隔 λ/2 = 1.034 m
车速 60 km/h（16.67 m/s）时，每秒穿过 16.1 个零点

=== 7. 阻抗：Z_L = jωL，Z_C = 1/(jωC) ===
f = 7.1 MHz：1 μH 电感 Z = 0 + j44.61 Ω，100 pF 电容 Z = 0 - j224.16 Ω

=== 8. 分贝 ===
dB 数   精确倍数   口诀
   1      1.2589   1.25
   2      1.5849   1.6
   3      1.9953   2
   4      2.5119   2.5
   5      3.1623   3.2
   6      3.9811   4
   7      5.0119   5
   8      6.3096   6.3
   9      7.9433   8
  10     10.0000   10
功率与 dBm：
     0.001 W =    0.00 dBm
         1 W =   30.00 dBm
         5 W =   36.99 dBm
        25 W =   43.98 dBm
       100 W =   50.00 dBm
      1500 W =   61.76 dBm
50 Ω 上 0 dBm 的电压 = 0.2236 V = 106.99 dBμV
S 表（IARU 第一区建议：每个 S 单位 6 dB，50 Ω）：
  S1：HF  -121 dBm（  0.199 μV），VHF  -141 dBm（  0.020 μV）
  S3：HF  -109 dBm（  0.793 μV），VHF  -129 dBm（  0.079 μV）
  S5：HF   -97 dBm（  3.159 μV），VHF  -117 dBm（  0.316 μV）
  S7：HF   -85 dBm（ 12.574 μV），VHF  -105 dBm（  1.257 μV）
  S9：HF   -73 dBm（ 50.059 μV），VHF   -93 dBm（  5.006 μV）
  S9+20 dB（HF）= -53 dBm
功率相加（不相关信号）：
  0 dBm + 0 dBm = 3.01 dBm
  -100 dBm + -110 dBm = -99.59 dBm
  -100 dBm + -120 dBm = -99.96 dBm
290 K 热噪声：-173.98 dBm/Hz；12.5 kHz 带宽内 -133.01 dBm
半波偶极子方向性系数 D = 1.6409 = 2.15 dBi，所以 0 dBd = 2.15 dBi

=== 9. 链路预算：145 MHz，30 km，视距无遮挡 ===
FSPL = 20lg(d/km) + 20lg(f/MHz) + 32.45 dB
    +43.98 dB  →    43.98 dBm  发射功率 25 W
     -1.50 dB  →    42.48 dBm  发射端馈线损耗（假设）
     +6.00 dB  →    48.48 dBm  发射天线增益（假设）
   -105.22 dB  →   -56.74 dBm  自由空间路径损耗
     +3.00 dB  →   -53.74 dBm  接收天线增益（假设）
     -1.00 dB  →   -54.74 dBm  接收端馈线损耗（假设）
接收功率 -54.74 dBm，比灵敏度 -121 dBm 高 66.3 dB
核对：只用 FSPL 算第 01 章的 5 W、10 km：-58.69 dBm