雷达系统与成像仿真：从电磁散射到工程实现-第 2 章 雷达方程、链路预算与探测边界
第 1 章用一部 X 波段雷达的快速估算说明了“能量—时间—孔径—检测”之间的耦合，并给出了指标树、资源账本和设计案例的框架。那些数字足以判断方案的方向，却不足以支撑一次设计评审：同样的 30 km、0.01 m²、13 dB，换一个参考面、换一种积累假设、换一条损耗计入规则，结果可以相差 6–10 dB。本章把快速预算升级为可审计的预算体系：每一个 dB 从哪里来、按单程还是双程计入、在哪个端口定义、误差多大、如何验证，都要能写清楚。
本章不重复第 1 章的七层架构和 50 个评审问题。它只做一件事：把雷达方程从“一个公式”变成“一条可复核的计算链”。这条链的输入端是任务、目标、环境和平台约束，输出端是一张 dB 表、一条作用距离曲线、一组敏感度系数和一个带不确定度的裕量。中间经过五个模块：传播与散射、噪声、损耗、检测、模式时间预算。任何一个模块的假设错了，整条链的结论都不可信。
2.1 预算的审计链：从公式到可复核的数字
2.1.1 为什么“算过”不等于“算得准”
雷达预算最常见的失败不是公式写错，而是口径不一致。同一份预算表里，天线增益按法向值填写，馈线损耗按单程计入，噪声系数按接收机端口测量，作用距离按最坏扫描角承诺；四个数字各自都没错，合在一起却不成立。更隐蔽的情况是重复计算：把馈线损耗同时放进 和 ，把脉冲压缩增益同时放进“单脉冲信噪比”和“积累增益”，把扫描损失同时算进天线增益和系统损耗。重复计算一项 1–3 dB 的损耗，足以把“裕量充足”变成“差 2 dB”。
审计链的目标不是让预算更悲观，而是让每一个数字都能被第二个人复算。一个可审计的预算至少满足四条：
- 参考面唯一：每个增益、损耗、噪声系数都注明在哪个端口定义，端口之间的转换只做一次。
- 符号规则固定：单程损耗、双程损耗、功率域、幅度域、线性域、dB 域，进入公式前统一。
- 来源可追溯：每个数字标注“实测/手册/估计/假设”，估计值给出不确定度。
- 假设可检验：远场、匹配极化、单散射、平稳噪声、目标起伏模型等假设，逐条写明适用条件；条件不成立时，预算要么修正，要么给出保守裕量。
这四条看似繁琐，实际节省时间。一个没有参考面的预算，在集成阶段出现 4 dB 偏差时，团队要花几周逐段排查；一个有参考面和不确定度的预算，可以直接指出“偏差落在天线罩损耗的 3σ 范围内”，把问题从“玄学”变成“统计”。
2.1.2 每个数字的五个字段
建议预算表的每一行至少包含五个字段：
| 字段 | 含义 | 示例 |
|---|---|---|
| 数值 | 线性值或 dB 值，必须与单位一起写 | |
| 单位/域 | 物理单位、线性/dB、单程/双程 | dB，单程，功率域 |
| 参考面 | 该值在哪个端口成立 | 天线端口（含阵面失配） |
| 来源 | 实测、手册、仿真、估计、假设 | 暗室实测，±0.3 dB |
| 不确定度 | 1σ 或上下界，注明分布假设 | 1σ=0.3 dB，均匀分布 |
一个只写“天线增益 40 dB”的预算行，无法回答“这是法向还是扫描边缘”“含不含馈电损耗”“是仿真还是实测”。在方案阶段，这些字段可以用“估计值 + 假设”填充；到了详细设计阶段，必须逐步替换为实测值。替换过程本身就是设计成熟度的度量：如果一张预算表里 80% 的行还是“估计”，那么它的结论只能用于方向判断，不能用于承诺指标。
2.1.3 参考面：预算中最容易出错的地方
雷达接收链可以抽象成一条从天线端口到 ADC 的级联网络。每个器件的增益、损耗、噪声系数都相对于它的输入端口定义。把它们级联时，必须选一个统一的参考面。工程上常用三个参考面：
- 天线端口：天线与馈线的连接面。这里的信号最弱，但包含天线噪声温度、馈线损耗、环形器隔离等全部前端效应。
- 低噪放输入：接收机第一级放大器的输入面。噪声系数分析仪通常在这里或之后测量，器件手册的 也常在这里定义。
- ADC 输入：数字前端的输入面。这里的噪声包括接收链噪声、ADC 量化噪声、时钟抖动，动态范围由 ADC 满量程决定。
三个参考面之间可以互相转换，但只能转一次。设天线端口到低噪放输入之间有 （dB，单程）的馈线/环形器/限幅器损耗，低噪放在该端口的噪声系数为 ，则折算到天线端口的系统噪声系数为
或
这条关系看起来简单，却经常被违反。常见错误是：预算表里写了“系统损耗 ，其中馈线 2 dB”，同时又写“噪声系数 （接收机实测）”。如果 是在低噪放输入测量的，那么天线端口的系统噪声系数应为 ，而不是 2.5 dB；如果 已经包含馈线，那么 中就不能再算一次馈线。两种写法都合法，混用则不合法。
工程规则：先画一条从天线端口到 ADC 的链，标出每个器件的参考面；然后选定一个参考面，把所有 、、 都折算到该面。折算完成后，在预算表头写明“本表所有噪声系数均指天线端口”。此后任何人新增一项损耗，都必须回答“它在参考面的哪一侧”。
2.1.4 对数域账本：乘法链变成加法链
雷达方程在数学上是一条乘法链：
取对数后，乘法变成加法：
这条式子是预算表的骨架。它的好处是把“哪个量影响多少 dB”变成一眼可见的加法；坏处是容易把不同参考面、不同程数的项直接相加。为避免混乱，建议把账本分成四列：
| 列 | 内容 | 符号约定 |
|---|---|---|
| 发射列 | 、发射馈线、发射阵面失配、扫描发射增益 | 损耗为负，增益为正 |
| 传播列 | 自由空间双程扩展、大气、雨衰、多径 | 全部为负，按双程计 |
| 接收列 | 接收增益、接收馈线、天线罩、极化、噪声系数 | 损耗为负， 单独成行 |
| 处理列 | 脉压、加窗、CFAR、量化、跨单元损失 | 全部为负，按一次计 |
四列相加得到接收功率或信噪比。列与列之间不共享项：发射馈线只在发射列出现，接收馈线只在接收列出现，天线罩若收发共用则在传播列按双程计，处理损失只在处理列出现。这样一来，“某一项该不该乘 2”就不再靠记忆，而靠它所在的列。
2.1.5 单程与双程：符号规则不能靠直觉
电磁波从雷达到目标再回到雷达，经过两次传播。任何发生在“路径上”的损耗都要计两次；任何只发生在“发射机内部”或“接收机内部”的损耗只计一次。表 2-1 给出常见项的计入规则。
表 2-1 常见损耗/增益的单程与双程计入规则
| 项 | 物理位置 | 计入方式 | 说明 | ||
|---|---|---|---|---|---|
| 发射馈线损耗 | 发射机到天线 | 单程，1 次 | 降低发射功率 | ||
| 接收馈线损耗 | 天线到低噪放 | 单程，1 次 | 若 在天线端口定义，已含在 中 | ||
| 环形器/双工器 | 收发共用 | 发射、接收各 1 次 | 若用 含接收端，则 只计发射端 | ||
| 天线罩 | 天线外罩 | 双程，2 次 | 收发各穿过一次 | ||
| 天线失配/驻波 | 天线端口 | 双程，2 次 | 发射、接收各一次反射损耗 | ||
| 极化失配 | 收发天线与目标 | 双程，2 次 | 若收发极化相同，按 $ | \rho_t\cdot\rho_r | ^2$ 一次计入功率 |
| 扫描损失 | 阵面投影 | 双程，2 次 | 单程 ，功率双程 | ||
| 大气/雨衰 | 传播路径 | 双程，2 次 | 按 dB/km × 往返距离 | ||
| 多径 | 传播路径 | 双程，2 次 | 幅度/相位起伏，按统计或最坏值 | ||
| 脉压加窗/失配 | 接收处理 | 单程，1 次 | 只在信号处理中出现 | ||
| CFAR 损失 | 检测处理 | 单程，1 次 | 门限估计的统计代价 | ||
| 量化噪声 | ADC | 单程，1 次 | 若已计入 ，不要重复 | ||
| 跨距离/多普勒单元损失 | 检测处理 | 单程，1 次 | 目标不在采样中心 |
这张表的关键不是记住每一行，而是理解两条原则：
- 路径上的损耗乘 2。天线罩、大气、雨、多径都属于“往返都经过”的项。
- 端口内的损耗乘 1。馈线、滤波器、CFAR 只出现在链路的一侧，乘 1。
有一个容易混淆的例外：收发共用天线时，环形器的发射损耗和接收损耗是两次独立的单程损耗，合计 2 次；但它不是“双程传播损耗”，因为两次损耗发生在不同时刻、不同功率电平上。把环形器损耗写成“双程”在数值上可能碰巧正确，在物理上却是错的；一旦收发通道不对称（例如收发分置、发射功率监测耦合），这种写法就会误导。
2.1.6 预算链的五个模块
本章后续按五个模块展开：
- 传播与散射（2.2 节）：从功率密度、目标散射、接收孔径推出雷达方程；给出峰值、平均、能量、信噪比、距离、搜索六种形式；说明远场、匹配极化、单基地等假设。
- 噪声（2.3 节）：热噪声、外部噪声、噪声系数/温度、Friis 级联、带宽修正、ADC 与时钟抖动。
- 损耗（2.4 节）：馈线、天线罩、扫描、极化、处理、量化、CFAR、大气、雨衰、多径；给出损耗树和重复计算检查。
- 检测（2.5 节）：Pd/Pfa、Swerling 0–4、相参与非相参积累、检测曲线与近似、积累损失；统计推导留给第 4 章，CFAR 工程留给第 8 章。
- 模式与不确定度（2.6–2.8 节）：搜索、跟踪、成像三种模式的时间/能量分配；双基地几何与同步；对数偏导、蒙特卡罗、裕量分配。
最后用两个数值案例（2.10、2.11 节）和一段可运行代码（2.9 节）把五个模块串起来。案例一是一部 X 波段搜索雷达，与第 1 章的边境雷达形成对照：同样是 X 波段，但目标、距离、波位和积累方式不同，预算的瓶颈也不同。案例二是一部 S 波段宽带 SAR，重点不是“作用距离”，而是 NESZ 与分辨率、幅宽、功率的耦合。
2.1.7 一个最小审计卡
在进入推导之前，先给一张“最小审计卡”，用于检查任何一份雷达预算是否自洽：
| 检查项 | 合格标准 | 常见不合格表现 |
|---|---|---|
| 参考面 | 表头写明天线端口/低噪放输入/ADC 输入 | 增益、噪声系数各自为政 |
| 峰值/平均 | 每个功率值注明峰值或平均，进入公式的是哪一个 | 用峰值算平均 SNR |
| 单程/双程 | 每个损耗注明程数 | 天线罩只算一次 |
| dB/线性 | 公式中未标 dB 的量均为线性 | 把 30 dBm 直接乘增益 |
| 带宽 | 噪声带宽与信号带宽的关系明确 | 用 3 dB 带宽代替噪声带宽 |
| 脉压 | 脉压增益只出现一次 | 单脉冲 SNR 与积累增益重复 |
| 积累 | 相参/非相参、脉冲数、驻留时间明确 | 与 重复相乘 |
| 检测 | 起伏模型、Pd、Pfa、积累方式明确 | 用 13 dB 万能常数 |
| 损耗 | 逐项列出，含处理/CFAR/量化 | 只算射频损耗 |
| 不确定度 | 每项有 1σ 或上下界 | 所有数字都是“典型值” |
这张卡不解决具体计算，但能拦住 80% 的低级错误。剩下的 20% 需要本章的推导、数值例和代码来发现。
2.1.8 一次参考面换算的完整例子
设接收链从天线端口到混频器依次为：天线罩 0.5 dB、环形器/限幅器 0.8 dB、低噪放（增益 20 dB，噪声系数 1.5 dB）、镜像抑制滤波器 1.2 dB、混频器（变频损耗 7 dB，单边带噪声系数 9 dB）。把全部噪声折算到天线端口，用 Friis 公式逐级计算：
即 。若只在低噪放输入定义噪声系数，则 ，其前方的 1.3 dB 无源损耗把系统噪声系数抬高到 。两种口径给出同一个数，因为 。
现在看三种常见写法：
- 表头写“，天线端口”， 中不再单列天线罩和环形器接收损耗。正确。
- 表头写“，低噪放输入”， 中列入 1.3 dB 接收前损耗。正确，因为 先被 衰减，再与 比较，结果与第一种相同。
- 表头写“，天线端口”， 中又列入 1.3 dB 接收前损耗。错误，重复计算 1.3 dB。
第三种写法在评审中极常见，因为天线端口噪声系数和“接收损耗”分别由两位工程师填写，各自都对，合起来多扣了 1.3 dB。避免方法只有一个：在表头写明噪声系数的参考面，并规定“该参考面之前的损耗不得再进入 的接收列”。如果链路中有天线罩这类收发共用的损耗，接收侧只计一次，发射侧另计一次，不能因为“双程”就在接收列再乘 2。
在 2.3 节讨论外部噪声时，还会遇到另一种口径：天线噪声温度 与接收机噪声温度 相加得到系统噪声温度 。此时不应再把 折算成噪声系数后与 相加，否则同样重复。规则仍然是“选一个参考面，只转换一次”。
2.2 雷达方程：从功率密度到可用的距离式
2.2.1 这一节要建立的六个形式
雷达方程有很多写法，它们不是不同的物理，而是同一物理在不同约束下的变形。工程上常用的有六种：
- 峰值功率形式：给定 、、、、、，求单脉冲接收功率 。
- 平均功率形式：用 和驻留时间 表示总能量，适合脉冲串/积累。
- 能量形式：用接收能量 和噪声功率谱密度 表示匹配滤波后的信噪比，避免带宽与脉压重复计算。
- 信噪比形式：把 与 相比，适合接收机/ADC 电平设计。
- 距离形式：反解 ，适合作用距离承诺。
- 搜索形式：把波位数、帧时间、搜索空域代入，适合搜索雷达的平均功率需求。
六种形式必须能互相换算。如果两个形式给出不同的数值，先检查参考面、带宽、积累和程数，而不是怀疑物理。
2.2.2 假设清单：方程成立的条件
在推导之前，把假设逐条列出。雷达方程不是一个无条件的真理，而是一组近似的结果。
假设 A1（远场）：目标位于天线的远场，即
其中 为天线最大尺寸， 为波长。对 、，远场距离约 。若目标在 100 m 以内，平面波假设失效，天线增益和 RCS 都要用近场模型。对 SAR 的近距成像（第 18 章），远场条件必须单独检查。
假设 A2（平面波照射目标）：目标尺寸远小于距离，目标上各点的入射波幅度/相位近似相同。若目标是扩展目标（舰船、建筑），其 RCS 是视角的函数，雷达方程仍可用于“等效 RCS”，但不能把目标当成一个点。
假设 A3（单散射）：电磁波与目标作用一次后返回，忽略多次散射、腔体谐振、爬行波。对复杂目标，单散射是近似；对隐身目标，边缘散射/爬行波可能成为主要贡献。
假设 A4（匹配极化）：发射极化与接收极化匹配，且目标散射的极化分量被接收天线有效接收。若极化失配，需乘极化效率 ，其中 为极化单位矢量。正交极化时 ，即 dB；实际天线交叉极化隔离有限，通常 20–30 dB。
假设 A5（目标在波束中心）：天线增益按目标方向取值。若目标偏离波束中心，双程方向图按 下降；搜索雷达必须按波位边缘/最坏扫描角计算。
假设 A6（无多径/无遮挡）：直射路径主导，地面/海面反射可忽略或已计入多径损耗。低仰角目标、海面目标、城市环境不满足此假设，需要两径模型或射线追踪。
假设 A7（窄带）：信号带宽远小于载频，，目标 RCS 在带宽内近似常数。对超宽带 SAR（），RCS 随频率变化，需用频率相关散射模型。
假设 A8（单基地/收发同址）：发射与接收在同一位置，路径长度为 。双基地的推导见 2.7 节。
这八条假设中，A1、A4、A5、A8 最容易被忽略。远场条件决定“天线增益能不能用”，极化决定“回波有没有”，波束中心决定“增益取哪个值”，单/双基地决定“距离是 还是 ”。在预算表里，这四条应各占一行“假设检查”。
2.2.3 推导一：从各向同性辐射到单基地雷达方程
第一步：发射功率密度。 设发射机送到天线的功率为 （W）。若天线各向同性，距离 处的功率密度为
第二步：天线增益。 定向天线把功率集中到立体角 内。增益定义为
其中 为孔径效率。在波束最大值方向，功率密度为
第三步：目标散射。 RCS 的定义是“目标向接收方向散射的等效各向同性面积”：
其中 为距离 处目标散射波的功率密度。于是
注意这里的 既是发射距离也是接收距离（单基地）。RCS 的定义把“目标向各个方向散射多少”压缩成一个等效面积；它不保证散射是各向同性的，只是用“等效”把方向性吸收进 的角度依赖。
第四步：接收孔径。 接收天线的有效面积为
其中 为接收增益， 为波长。接收功率为
第五步：损耗。 实际系统有馈线、天线罩、极化、处理等损耗。把这些损耗合并为 （线性值，双程），得到
第六步：单基地简化。 收发共用天线时 ，于是
量纲核对： 的单位是 W； 无量纲； 是 m²； 是 m²；分母 是 m⁴。分子 W·m⁴，分母 m⁴，结果 W。正确。
数值核对：取 、（）、、、、（），代入：
这个值约为 ，与 2.10 节的逐项预算一致。量级上，70 km、0.5 m²、15 kW 峰值、39 dB 天线，接收功率在 量级，正是低噪放/ADC 设计需要面对的电平。
2.2.4 峰值、平均与能量：三种功率不能混用
雷达方程里的 是峰值功率，即脉冲内的最大功率。脉冲雷达的平均功率为
其中 为脉冲宽度（s）， 为脉冲重复周期（s）， 为占空比。单个脉冲的接收能量为
若在驻留时间 内相参积累 个脉冲，，总接收能量为
匹配滤波后的信噪比等于“信号能量/噪声功率谱密度”：
于是得到能量形式：
这个式子里没有带宽 。这不是遗漏，而是匹配滤波的必然结果：带宽增加会降低每个采样点的信噪比，但脉冲压缩增益 同步增加，二者抵消。只要接收机/滤波器的噪声带宽与波形匹配，检测信噪比只取决于能量和噪声谱密度。
这条结论是本章最重要的“防重复计算”规则。 如果预算表一边用 算单脉冲信噪比，一边又加 的脉压增益，那么带宽只被算了一次（在噪声里），脉压增益是额外的，结果正确；如果先用能量形式算出总信噪比，再加脉压增益，就把脉压算重了。两种写法只能选一种，并在表头注明。
2.2.5 信噪比形式与距离形式
把 与噪声功率 相比，得到信噪比形式：
其中 为接收机噪声带宽（Hz）。若 ，则
与能量形式的单脉冲版本一致。若 （接收机带宽远大于信号带宽），则有一部分噪声被额外接收，形成“带宽失配损失”：
在 dB 域为 。工程上常取 –，即 0–0.8 dB 的损失；如果为了抗混叠/多波形兼容把带宽开到 ，就要计入 3 dB。
由能量形式反解距离，得到距离形式：
若用峰值功率和单脉冲，则
两个形式的比值给出积累对作用距离的增益：
这里要小心：，所以
即相参积累 个脉冲，作用距离提高 ；若 ，提高 倍（8.5 dB 距离域，对应 17 dB 功率域）。这个“四次方根”是雷达工程最残酷的缩放律：要把距离翻倍，需要 16 倍能量。
2.2.6 搜索雷达形式：把波位数和时间代入
搜索雷达的 不是自由参数，而由搜索空域、波束宽度和帧时间决定。设搜索立体角为 （sr），波束立体角为 （sr），则波位数为
若波束立体角与增益满足 （ 为波束效率，含加权/扫描/重叠），则
每个波位的驻留时间为
其中 为搜索帧时间（s）。代入能量形式：
反解平均功率：
若用有效孔径 表示，则
这两个形式说明：搜索性能取决于“平均功率 × 有效孔径”与“搜索空域 × 帧时间”的比值，而不是单独的增益或功率。 这就是经典的“功率-孔径积”结论。把 提高一倍、同时把波束数量增加一倍，搜索帧时间不变，但每个波位的能量减半，作用距离不变；把孔径加倍（ 加倍）而功率不变，作用距离提高 倍。
常见错误：把搜索方程写成 ，然后用“增益提高 3 dB，距离提高 1.5 dB”去承诺。这个写法把波位数随增益增加的效果漏掉了：增益提高会使波束变窄、波位数增加、每波位时间减少。正确的搜索方程中， 只出现一次（或等价地出现 ），不是平方。
数值核对：2.10 节的 X 波段搜索雷达，、、、、、、、、、。代入搜索方程得 ；设计值 给出 的裕量，与逐波位预算的 4.4 dB 一致。这个交叉核对说明：搜索方程不是另一个公式，而是“每波位能量 = 总能量/波位数”的改写。
2.2.7 方程的适用边界
雷达方程在以下情况下会给出过于乐观或过于悲观的结果：
近场/近距离： 时，目标不在天线的平面波区，增益和 RCS 的定义都失效。近距 SAR、FMCW 近距雷达、引信雷达必须用近场模型（第 18 章）。
扩展目标/分布式目标：目标尺寸与分辨单元可比时，RCS 不是常数，回波是多个散射中心的干涉。雷达方程给出的是“等效 RCS”，检测性能取决于起伏模型（2.5 节）和分辨单元内的散射统计（第 4 章）。
强多径/低仰角：地面/海面反射使接收功率随仰角剧烈起伏，可能出现 10–20 dB 的深衰落。雷达方程应乘以多径因子 ，其中 为反射系数、 为路径相位差；最坏情况下衰落深度可达 。
宽带/超宽带： 较大时，RCS 随频率变化，天线增益随频率变化，脉冲展宽/色散不可忽略。应把雷达方程写成频率的积分：
再与接收机频响匹配。
双基地/收发分置：路径不是 ，而是 ，雷达方程变为 （2.7 节）。用单基地方程估算双基地，在基线较大时可能高估或低估 10 dB 以上。
非平稳/机动目标：目标在驻留时间内运动，导致多普勒展宽、距离徙动、相参积累损失。雷达方程给出的是“静止目标”的信噪比；实际检测性能要乘以相干损失因子（2.5 节、第 9 章）。
把这六条边界写在预算表的“适用条件”栏，比在报告末尾写一段“模型有一定局限性”有用得多。评审时，任何一条边界不满足，都要有对应的修正项或裕量。
2.3 噪声体系：从 到 ADC 的噪声底
2.3.1 噪声预算要回答的三个问题
雷达方程的分母里有 ，看起来只是一个数，实际包含了一整条接收链的噪声。做噪声预算，必须回答三个问题：
- 噪声功率有多大：在给定的噪声带宽内，折合到输入端的噪声功率是多少 dBm。
- 它等效到哪个端口：天线端口、低噪放输入、ADC 输入，三个端口的噪声功率不同，不能混用。
- 哪些项已经包含在 里：馈线损耗、ADC 量化噪声、时钟抖动，是已经计入噪声系数，还是需要单独增加。
这三个问题不回答，噪声预算就会变成“把手册上的噪声系数抄进表格”。本节按“热噪声—外部噪声—噪声系数—级联—带宽—ADC”的顺序展开，最后给出一张合并检查表。
2.3.2 热噪声： 的来源
导体中电子的热运动产生热噪声。在匹配负载上，可用噪声功率为
其中 为玻尔兹曼常数， 为绝对温度（K）， 为噪声带宽（Hz）。在 时，
换成 dBm：
这个 是雷达噪声预算的基准。它不是一个“设备指标”，而是“290 K 匹配负载在 1 Hz 带宽内的噪声功率”。有了它，任意带宽的噪声底为
例如 时 ； 时 ； 时 。每十倍带宽增加 10 dB，每翻一倍增加 3 dB。这个 3 dB/倍频程的关系，比任何“典型噪声底”都可靠。
为什么用 290 K 而不是 300 K 或天线实际温度？这是噪声系数定义的历史约定： 以 为参考，使“噪声系数”成为一个与物理温度无关的器件指标。实际噪声功率要用系统噪声温度 计算，2.3.7 节会说明两者的关系。把 290 K 当成“天线温度”是常见误解；它只是参考温度。
2.3.3 外部噪声与天线温度
接收机不是只接收目标回波，它还接收天空、地面、太阳、大气和人为源的噪声。天线把这些噪声按方向图加权后送到接收机，等效为天线噪声温度 ：
其中 为方向 上的亮温度， 为天线增益（归一化后积分为 ）。这个式子说明： 不是“天空温度”，而是“天空温度按天线方向图加权后的平均”。主瓣看到冷空、旁瓣看到热地面时， 由旁瓣电平决定。
主要外部噪声源：
- 宇宙微波背景：约 2.7 K，全频段存在，是下限。
- 银河系同步辐射：在 VHF/UHF 很强，随频率约 下降；到 L 波段以上通常可忽略。
- 大气热辐射：氧气和水汽。22 GHz 水汽吸收线、60 GHz 氧气吸收线附近显著；X 波段晴空约几 K 到十几 K，低仰角增大。
- 降雨：雨滴的热辐射与衰减同时增加噪声，暴雨时 可升到 100 K 以上。
- 太阳：视直径约 0.5°，亮温度极高；主瓣或强旁瓣扫过太阳时会造成短暂噪声突增，设计时要避免波束指向太阳或设置保护。
- 地面/海面：物理温度约 290 K，通过旁瓣进入。旁瓣电平每降低 10 dB，地面噪声贡献降低 10 dB。
- 人为噪声：点火系统、电力线、工业设备、其他雷达。城市 VHF/UHF 环境可比热噪声高 10–30 dB；X 波段以上通常较弱，但同频干扰另算。
表 2-2 天线噪声温度的量级参考（中纬度、晴空、仰角大于 20°）
| 频段 | 典型 量级 | 主要贡献 | 预算处理 |
|---|---|---|---|
| HF/VHF（3–300 MHz） | – | 银河系、人为噪声 | 外部噪声主导，不能只用 |
| UHF（300–1000 MHz） | – | 银河系、地面旁瓣 | 按最坏环境取 |
| L（1–2 GHz） | 50–150 K | 地面旁瓣、大气 | 与接收机噪声可比 |
| S（2–4 GHz） | 20–60 K | 地面旁瓣、太阳 | 通常小于接收机噪声 |
| X（8–12 GHz） | 5–30 K | 大气、地面旁瓣 | 接收机噪声主导 |
| Ku/Ka（12–40 GHz） | 10–50 K | 水汽、雨 | 低仰角/雨天显著增大 |
这张表只用于量级判断，不能作为设备指标引用。实际 取决于天线旁瓣、扫描角、极化、地面环境和天气，必须用方向图与亮温模型计算，或在暗室/外场测量。工程上常见的错误是：在 X 波段忽略 ，把噪声系数当成全部噪声；在 VHF 又把 忽略，结果预算比实测乐观 10 dB 以上。
外部噪声的另一个特点是非白、非平稳。银河噪声随频率下降，人为噪声有脉冲性，太阳噪声是窄角源。用单一 只能做平均预算；对弱目标检测，还要考虑噪声的非高斯性（第 4 章）和干扰的时间结构（第 8 章）。
2.3.4 噪声系数与噪声温度：同一个指标的两种写法
噪声系数定义为输入端信噪比与输出端信噪比之比：
它与等效噪声温度 的关系为
几个常用换算：
| （dB） | （线性） | （K） | （dB，相对 290 K） |
|---|---|---|---|
| 0.5 | 1.122 | 35 | |
| 1.0 | 1.259 | 75 | |
| 1.5 | 1.413 | 120 | |
| 2.0 | 1.585 | 170 | |
| 2.2 | 1.660 | 191 | |
| 3.0 | 1.995 | 290 | 0 |
| 6.0 | 3.981 | 865 | 4.7 |
注意 恰好对应 ，这不是巧合，而是定义的直接结果。 时 ， 时 。
噪声系数有几个容易忽略的前提：
- 源阻抗匹配： 是在指定源阻抗（通常 50 Ω）下定义的。源阻抗失配会改变器件的有效增益和噪声，手册上的 不一定适用。
- 带宽相同：输入和输出信噪比必须在同一带宽内比较，否则 会随测量带宽变化。
- 无源器件：衰减器、滤波器、电缆的噪声系数等于其插入损耗（线性值），即 ，噪声温度 。一个 1 dB 衰减器不是“噪声系数 1 dB 的放大器”，它没有增益，对级联噪声的贡献远大于同噪声系数的有源级。
- 混频器的单边带/双边带：单边带噪声系数比双边带高约 3 dB（取决于镜像抑制），预算中必须注明。雷达接收常用单边带，手册若给双边带值，要加 3 dB。
2.3.5 Friis 级联：为什么第一级决定一切
考虑两级级联，增益分别为 ，噪声温度分别为 ，源温度为 。输入噪声功率为 。经过第一级，信号功率乘 ，噪声功率变为
经过第二级，信号再乘 ，噪声变为
输出信噪比为
输入信噪比为 。两者相除：
这就是Friis 公式。推广到 级：
或写成噪声温度：
公式的结构说明：第一级的噪声系数直接相加，后续级的噪声被前级增益除。 第一级增益每增加 10 dB，第二级的噪声贡献降低 10 dB；但第一级自身的噪声无法被后续增益“压掉”。因此低噪放要尽量靠近天线，馈线损耗要放在低噪放之前并计入第一级。
数值例：低噪放 、，后接 1.2 dB 滤波器。若滤波器在低噪放之后：
若滤波器在低噪放之前：
同样的滤波器，位置不同，系统噪声系数差 1.19 dB。这就是“低噪放尽量靠前”的定量依据。若低噪放增益只有 10 dB，滤波器在后时的系统噪声系数为 （1.60 dB），比 20 dB 增益时差 0.09 dB；增益继续降到 6 dB，则变为 （1.74 dB）。低噪放增益的选择要在“压低后级噪声”和“避免饱和/互调”之间折中，不是越大越好。
表 2-3 接收链逐级噪声系数与累计噪声系数示例
| 级 | 器件 | 增益（dB） | （dB） | 累计 （dB） | 说明 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 天线罩+环形器 | 1.3 | 1.30 | 无源， | |
| 2 | 低噪放 | 20 | 1.5 | 2.80 | 前级损耗直接相加 |
| 3 | 镜像滤波器 | 1.2 | 2.81 | 被 20 dB 增益压低 | |
| 4 | 混频器 | 9.0 | 3.08 | 贡献约 0.27 dB | |
| 5 | 中频放大器 | 30 | 2.0 | 3.08 | 贡献可忽略 |
累计值用 Friis 公式逐级计算，不是简单相加。表 2-3 也说明：一旦前两级确定，后级的噪声系数对系统的影响通常小于 0.2 dB；把精力花在“中频放大器选 1.8 dB 还是 2.0 dB”上，不如检查天线罩损耗是 0.5 dB 还是 1.5 dB。
2.3.6 噪声带宽： 不是 3 dB 带宽
噪声带宽定义为
其中 为接收机/滤波器的频率响应， 为参考频率（通常为中心频率）。它表示“与实际滤波器接收相同噪声功率的理想矩形滤波器带宽”。对于一阶 RC 低通，
即噪声带宽比 3 dB 带宽大 57%，噪声功率多 1.96 dB。对于 阶巴特沃斯滤波器， 随阶数下降：
表 2-4 巴特沃斯滤波器的噪声带宽修正
| 阶数 | （dB） | |
|---|---|---|
| 1 | 1.571 | 1.96 |
| 2 | 1.111 | 0.46 |
| 3 | 1.047 | 0.20 |
| 4 | 1.026 | 0.11 |
| 6 | 1.008 | 0.03 |
| 8 | 1.002 | 0.01 |
工程上常见的错误是用 3 dB 带宽直接代入 ，结果对一阶/二阶滤波器低估噪声 1.96/0.46 dB。对四阶以上滤波器，误差小于 0.11 dB，通常可以忽略，但要在预算表里注明“”。
对矩形脉冲匹配滤波，噪声带宽与脉冲宽度满足 。如果实际滤波器带宽大于匹配值，会多接收噪声，形成带宽失配损失：
例如 、（匹配），，损失 0.97 dB；若为了多波形兼容把带宽开到 ，，损失 3.98 dB。这个损失与“脉压增益”不是一回事：脉压增益由波形的时间带宽积决定，带宽失配损失由接收机带宽与波形带宽的比值决定，两者不能互相抵消。
2.3.7 系统噪声温度与噪声底
把天线噪声和接收机噪声相加，得到系统噪声温度：
其中 已折算到天线端口。噪声功率为
用 dBm 表示：
括号中的最后一项是“实际系统温度相对 290 K 的偏离”。若 ，它就是 0 dB，回到 ；若 ，它是 3 dB；若 ，它是 。
标准雷达方程用 ，等价于假设 且 ，即 。这个假设对地面/海面目标、低仰角、城市环境是合理的；对高空/太空目标、冷空背景，它偏保守。举例：（），若天线看到 100 K 冷空，，比标准假设的 低 2.18 dB；若天线旁瓣看到 290 K 地面， 可能到 150–200 K，–，比标准假设低 0.9–1.5 dB。若目标环境有强人为噪声， 可能超过 290 K，标准公式反而乐观。
因此，噪声预算要注明“是否含天线噪声”。两种口径：
- 口径 A（标准）：用 和 ，不含 。优点是与其他预算表可比，缺点是忽略环境。
- 口径 B（环境）：用 ，含 。优点是接近实测，缺点是需要 模型，且不同场景差异大。
工程上建议：方案阶段用口径 A，详细设计阶段用口径 B 做敏感性分析，并在表头写明。两种口径不能在同一张表里混用；若混用，误差通常在 1–3 dB，正好是“裕量够不够”的量级。
2.3.8 ADC 量化噪声、时钟抖动与增益分配
模拟信号进入 ADC 后，增加两类噪声：量化噪声和时钟抖动/孔径抖动。它们是否计入 ，取决于 的测量参考面。若 是在 ADC 之前测量的，ADC 噪声要单独加入；若 是“从天线到数字输出”的端到端值，则已包含。
量化噪声：理想 位 ADC，满量程正弦输入时，量化信噪比为
推导：量化台阶 ，量化误差在 内均匀分布，噪声功率 ；满量程正弦功率 ；两者相除得 ，取对数即上式。12 位为 74.0 dB，14 位为 86.0 dB，16 位为 98.1 dB。
雷达接收的不是满量程正弦，而是近似高斯分布的噪声+信号。若按 加载（峰值概率约 ），则信号功率为 ，量化信噪比变为
12 位为 67.5 dB，14 位为 79.5 dB，16 位为 91.6 dB。比满量程正弦低 4.77 dB，这是“为峰值留余量”的代价。若只按 加载，信号功率提高 6 dB，但削波概率升到约 0.3%，强目标/脉冲干扰会被截断，通常不取。
ADC 噪声系数：把量化噪声密度与 比较。设 ADC 满量程正弦功率 （dBm）、采样率 、位数 ，则量化噪声总功率为 ，噪声密度为
ADC 噪声系数为
数值例：、、、，则 ，。若 ，则 。ADC 的噪声系数看起来很高，但只要前端增益足够，它对系统的影响可以忽略。
增益分配：把 ADC 噪声折算到天线端口，需要减去前端增益。设前端（天线到 ADC）增益 、噪声系数 ，则级联噪声系数为
数值例：（）、（）、（），则 ，仅比前端差 0.003 dB。若 （），则 （2.52 dB），ADC 贡献 0.32 dB；若 ，则 （4.64 dB），ADC 贡献 2.44 dB。前端增益不足，ADC 噪声会吞掉低噪放的努力。 增益也不是越大越好：增益过高会把强目标/干扰推到 ADC 饱和，压缩动态范围；工程上按“最大预期输入 + 峰值因数 + 裕量”确定增益，再用 AGC/STC 扩展动态范围。
时钟抖动：采样时刻的随机误差 使正弦信号的采样值产生误差，信噪比为
数值例：、，；若 ，则为 64.0 dB。可见抖动对高频/宽带信号更致命。对 300 MHz 带宽、中心 1.5 GHz 的 SAR 中频，1 ps 抖动在带边给出约 40.5 dB，可能低于 12 位量化噪声，成为限制因素。选 ADC 时不能只看位数，还要看孔径抖动、ENOB、SFDR。
2.3.9 噪声预算的合并与检查
把上述各项合并，接收机输入端（天线端口）的噪声底有两条等价路径，必须选定一条并写在表头。
路径 A（端到端噪声系数）： 已包含从天线端口到数字输出的全部噪声，包括 ADC 与抖动，则
路径 B（噪声温度）：把天线、接收机、ADC 的噪声分别写成温度，则
其中 包含接收链与 ADC/抖动的等效噪声温度。若 ADC 噪声未包含在 中，应先把它的噪声功率（不是 dB 值）与 相加，再取对数；不能把两个 dB 值直接相加。
两条路径不能混用： 与 是同一噪声的两种表述，同时出现就是重复计算。工程上最简单的检查是：若表里已经有 ，就不要再写“，所以加 0 dB”；若表里用 ，就不要再加 。下面的算例走路径 A。
表 2-5 噪声预算检查表
| 检查项 | 应写内容 | 常见错误 |
|---|---|---|
| 参考温度 | ，或 及 | 把 290 K 当实际天线温度 |
| 噪声带宽 | 及与 的比值 | 用 3 dB 带宽代替 |
| 噪声系数参考面 | 天线端口/低噪放输入/ADC 输入 | 与馈线损耗重复 |
| 外部噪声 | 是否计入，取何场景 | X 波段忽略、VHF 忽略 |
| ADC | 位数、采样率、满量程、ENOB | 只写“12 位” |
| 抖动 | 孔径抖动、输入频率 | 忽略高频段抖动 |
| 增益分配 | 前端增益、ADC 噪声折算 | 增益过低导致 ADC 主导 |
| 饱和/削波 | 最大输入、峰值因数、AGC | 只算灵敏度不算动态范围 |
一个完整的噪声底算例：、、 按标准 290 K 处理，则
若前端增益 50 dB、ADC 噪声系数 21 dB，则 ADC 贡献折算到输入端为 的相对噪声系数，即 仅增加 0.003 dB，可忽略。若把 误写成 （一阶滤波器），噪声底会低 1.96 dB，预算显得更乐观，实测却对不上。这类 2 dB 级的错误，往往被误判为“天线增益没达标”或“目标 RCS 偏小”。
噪声预算的最终输出不是一条线，而是一个区间： 的场景差异、 的批次差异、 的滤波器容差，各给出 0.2–2 dB 的不确定度。把这些不确定度带入 2.8 节的敏感度分析，才能回答“这个噪声底有多可信”。
2.4 损耗体系：把每一项放在正确的路径上
2.4.1 损耗不是一种东西
预算表里的“损耗”至少包含四类，物理机制不同，计入方式也不同：
- 传导/匹配损耗：馈线、环形器、滤波器、天线失配。能量在器件内变成热，按端口计一次。
- 孔径/扫描损耗：天线有效面积随扫描角投影缩小，增益下降。它发生在天线口面，收发各一次，按双程计。
- 传播损耗：大气吸收、雨衰、多径、遮挡。电磁波在路径上往返，按双程计。
- 处理损耗：加窗、量化、CFAR、跨单元、积累失配。信号在算法中损失，按一次计。
四类损耗的数值可能相同，物理位置完全不同。把它们都叫“系统损耗 ”没有错，但必须能拆开；拆不开，就无法判断哪一项在什么条件下会变、变多少、能不能通过设计改善。一个 8.5 dB 的总损耗，如果 2.2 dB 来自雨衰，那么晴天时雷达的实际性能比预算好 2.2 dB；如果 2 dB 来自天线罩，那么它随频率、入射角、雨淋状态变化，不能当成常数。
2.4.2 馈线、双工器与失配
馈线损耗按长度和频率给出，单位 dB/m。矩形波导在 X 波段的损耗约 0.05–0.15 dB/m，同轴电缆更高；20 m 的波导按 0.1 dB/m 计就是 2 dB。这个损耗在发射端降低发射功率，在接收端降低信号并抬高噪声系数。若收发共用一根馈线，发射和接收各计一次；若低噪放装在天线口面，接收馈线损耗就不存在，但发射馈线仍在。
失配损耗由电压驻波比（VSWR）引起。反射系数为
失配损耗为
数值：VSWR=2.0 时 ，；VSWR=1.5 时 ，；VSWR=3.0 时 ，。天线端口驻波 2:1 是常见指标，对应 0.5 dB 的双程失配损耗（收发各 0.5 dB，合计 1 dB 功率）。很多预算表只写“驻波小于 2”，却不把它折成损耗，结果少算 1 dB。
环形器/双工器的损耗分发射支路和接收支路。环形器发射损耗 0.3–0.8 dB，接收损耗 0.3–0.8 dB；双工器（滤波型）插损更大，1–2 dB。若接收端低噪放前还有限幅器，再加 0.3–0.6 dB。这些损耗都在“端口内”，各计一次，不要因为“收发共用”就乘 2 后放进传播列。它们确实发生两次，但两次发生在不同支路、不同功率电平，应该分别放在发射列和接收列，而不是作为双程传播损耗。
隔离度不是损耗。环形器隔离度 20 dB 表示发射泄漏到接收端被衰减 20 dB，它不衰减目标回波。预算里只有“目标回波经过的路径”才计损耗；隔离度用于评估接收机饱和/泄漏，不进入雷达方程的作用距离项。把隔离度当损耗计入 ，会凭空多出 20 dB 的悲观。
2.4.3 天线罩与扫描损失
天线罩是收发共用的空间滤波器。电磁波往返各穿过一次，所以单程 0.5 dB 的天线罩对应双程 1.0 dB。天线罩损耗随入射角、频率、极化、雨淋/冰雪变化；正入射 0.3–0.8 dB，大扫描角可到 1–2 dB（单程）。预算应取“最坏扫描角 + 雨淋”的值，并注明条件。流水膜、积雪和冰层会使损耗增加数 dB，且难以预测；对长期无人值守的雷达，这是必须留的裕量。
扫描损失来自天线口面的投影。对平面阵，波束偏离法向 时，有效孔径按 缩小，单程增益下降 ，双程功率下降 ：
数值： 时 1.25 dB； 时 3.01 dB； 时 6.02 dB； 时 9.32 dB。这个损失增长很快，是相控阵搜索雷达把扫描范围限制在 ±60° 的主要原因。对圆柱阵/球面阵，扫描损失的定义不同，应按实际口面投影计算，不能直接套 。
扫描损失与增益只能算一次。如果天线增益 已经标注为“扫描角 处的增益”，就不能再乘 ；如果 是法向增益，就必须乘。预算表要写“，法向”或“， 含扫描损失”。两种写法都合法，混用则重复。更隐蔽的是波束宽度：扫描时波束展宽，波位数减少，驻留时间增加，搜索方程里的 和 同时变化；这时应直接用“扫描角处的增益和波束宽度”重算，而不是在法向预算上补一个损耗了事。
2.4.4 极化损失
极化失配损耗为
其中 为发射/接收极化单位矢量。几种典型情况：
- 线极化对线极化，夹角 ：。 时 1.25 dB； 时 3.01 dB； 时无穷大（正交隔离）。
- 圆极化对线极化：理想情况下 3.01 dB（圆极化的一半功率被接收）。
- 圆极化对圆极化，旋向相反：理想隔离；旋向相同：0 dB。
- 实际天线有轴比，交叉极化隔离 20–30 dB；圆极化对线极化的损失在 3 dB 附近波动，取决于轴比和相位。
雨滴在微波频段近似扁椭球，会引入差分衰减和差分相移，使线极化波去极化；大雨时交叉极化分量可达 –。对双极化雷达，这是信息（可反演雨滴形状），对单极化雷达，这是损失。目标本身也会改变极化：复杂目标的交叉极化 RCS 可能比同极化低 5–15 dB，但对隐身目标，交叉极化可能成为主要特征。
极化损失通常只有 0.2–1 dB，容易被忽略；但在圆极化/线极化混用、天线倾斜安装、卫星/目标滚动的情况下，3 dB 级的错误很常见。预算表应写“发射极化、接收极化、目标极化假设”，而不是只写一个“极化损失 0.3 dB”。
2.4.5 处理损失：脉压、加窗、量化、CFAR、跨单元
脉压加窗损失：为压低距离旁瓣，LFM 脉压常用 Hamming、Taylor、Kaiser 等窗。窗函数降低旁瓣的同时展宽主瓣、降低峰值，带来信噪比损失。典型值：矩形窗 0 dB（旁瓣 ）、Hamming 1.34 dB（旁瓣 ）、Hanning 1.76 dB、Taylor（）约 1.2–1.5 dB、Kaiser（）约 1.1 dB。选择窗函数是“旁瓣 vs 信噪比”的折中，不是免费的。
量化损失：ADC 位数不足或信号未充分利用满量程时，量化噪声增加。相对理想无限精度，3 位量化的损失约 0.5 dB，4 位约 0.2 dB，6 位以上可忽略；但这是在同一定标、无过载的条件下。若为了防过载把信号压到满量程的 1/4（），量化信噪比下降 12 dB，远大于位数本身的影响。量化损失应与 2.3.8 节的 ADC 噪声系数统一口径，不能一边算 ADC 噪声系数、一边再乘量化损失。
CFAR 损失：恒虚警处理用参考单元估计噪声/杂波电平，估计误差使门限高于理想值，带来检测损失。CA-CFAR 在均匀杂波、参考单元数 –、 时，相对已知噪声电平的损失约 1–2 dB； 越小、 越低，损失越大；多目标/杂波边缘环境下，CA-CFAR 还会因遮蔽/边缘效应额外损失，需改用 OS-CFAR、GO-CFAR 等。CFAR 的具体统计在第 8 章展开，本章只把它作为一项预算损失。
跨单元损失：目标不在距离/多普勒采样中心时，匹配滤波输出低于峰值。距离维：采样间隔等于分辨单元、目标位于两采样点中间时，三角峰降到一半，损失 6 dB；2 倍过采样时最坏 2.5 dB；4 倍过采样时最坏 1.2 dB。多普勒维：矩形窗相参积累、目标位于两多普勒滤波器中间时，，损失 3.92 dB；加窗后主瓣展宽，最坏损失降到 1–2 dB，但相邻滤波器有交叠。工程上常按 1–2 dB 计跨单元损失，前提是过采样/滤波器交叠足够；若采样率刚好等于信号带宽、滤波器正交且无交叠，必须按 3.9–6 dB 计。
处理损失不能重复：脉压增益、积累增益、加窗损失、CFAR 损失是四个不同的量。脉压增益由 决定，加窗损失是脉压的代价；积累增益由脉冲数/驻留时间决定，跨单元损失是积累的代价；CFAR 损失是门限估计的代价。把它们都塞进一个“处理损失 3 dB”里，就无法判断哪一项可以通过算法改善。
2.4.6 传播损失：大气、雨、多径
大气吸收：氧气和水汽在特定频率吸收。海平面水平路径的典型量级：1–3 GHz 约 0.01 dB/km；10 GHz 约 0.01–0.03 dB/km；22 GHz 水汽线附近 0.1–0.3 dB/km；35 GHz 约 0.1–0.3 dB/km；60 GHz 氧气线附近可达 10–15 dB/km。对 70 km、10 GHz 的路径，单程约 1–2 dB，双程 2–4 dB；对 3 GHz 的 SAR，30 km 路径单程不到 0.5 dB，通常可忽略。精确值应查 ITU-R P.676 或当地大气模型，不能用“0.1 dB/km”一刀切。
雨衰：雨滴的吸收和散射使微波衰减，比衰减可用
其中 为雨强（mm/h）， 依赖频率、极化、雨滴谱。10 GHz、水平极化、 时，；3 GHz 时约 0.01 dB/km；35 GHz 时约 1 dB/km。雨衰不是把整个路径都按同一雨强计算：强降雨通常局限在几公里的雨胞内，路径越长，同时充满强雨的概率越低。工程上用有效路径长度
其中 为实际路径长度， 为雨胞特征尺度（约 20–25 km）。对 70 km 路径，，有效长度约 17 km；若整条路径均匀 10 mm/h，双程雨衰为 ；若按 5 km 雨胞计，双程只有 2.0 dB。两者差 4.8 dB，正好是“晴天/雨天作用距离”的差别。预算必须写明“均匀雨衰”还是“雨胞模型”，不能只写“雨衰 3 dB”。
多径：地面/海面反射形成两径传播，接收场为
其中 为收发天线高度， 为反射系数。传播因子为
当 、 时，，形成深度衰落；当 时，，功率比自由空间高 6 dB。低仰角目标在距离/高度变化时穿过一系列瓣，信号起伏可达 10–20 dB。粗糙表面使 下降，瓣的深度变浅；海面比平静水面更“粗糙”，但仍有明显 lobing。对低空/海面目标，预算要么按瓣的平均值（约 0 dB）加 3–6 dB 衰落裕量，要么用射线追踪/多径模型逐点计算。把多径当成一个固定损耗（例如 3 dB）只是粗略折中，不能预测深衰落。
遮挡/绕射：山体、建筑、地形遮挡使信号按绕射衰减，菲涅尔区被遮挡时损耗迅速增加。工程上常用“视距 + 余隙”判断，余隙小于第一菲涅尔半径的 60% 时开始明显衰减。对地面雷达，这是选址问题，不是预算表能修正的；一旦遮挡，增加 10 dB 功率也未必有效。
2.4.7 损耗树与重复计算检查
把上述损耗按“发射—传播—接收—处理”画成一棵树，每个叶子标注数值、程数、参考面。表 2-6 是一个 X 波段搜索雷达的损耗树示例，总计 8.5 dB，与 2.10 节的案例一致。
表 2-6 X 波段搜索雷达损耗树示例
| 分支 | 损耗项 | 数值（dB） | 程数 | 说明 |
|---|---|---|---|---|
| 发射 | 发射馈线/环形器 | 1.0 | 1 | 发射机到天线 |
| 传播 | 天线罩 | 1.0 | 2 | 单程 0.5 dB |
| 传播 | 扫描损失 | 1.5 | 2 | 扫描角约 32° |
| 传播 | 极化失配 | 0.3 | 2 | 目标/天线极化 |
| 传播 | 大气吸收 | 0.4 | 2 | 70 km，晴空 |
| 传播 | 雨衰 | 2.2 | 2 | 5 km 雨胞，10 mm/h |
| 处理 | 脉压加窗 | 1.0 | 1 | Hamming 类 |
| 处理 | CFAR | 0.8 | 1 | CA-CFAR |
| 处理 | 跨单元 | 0.3 | 1 | 2 倍过采样 |
| 合计 | 8.5 | 不含检测/积累 |
这张表的关键不是数值，而是“每一行的程数能对上物理位置”。天线罩在传播分支、按双程；发射馈线在发射分支、按单程；CFAR 在处理分支、按单程。若把天线罩放进“接收损耗”并只算一次，总计会少 0.5 dB；若把发射馈线按双程算，会多 1 dB。两种错误都很常见，且都不会被“总计 8.5 dB”本身发现。
重复计算检查清单：
- 的参考面之前是否又列了馈线/环形器损耗？
- 天线增益是否已含扫描损失，又乘了 ？
- 脉压增益是否与“单脉冲 SNR”重复？
- 积累增益是否与驻留时间 重复？
- 量化噪声是否已计入 ADC 噪声系数，又乘了量化损失？
- 天线罩/大气/雨衰是否只算了一次而不是双程？
- 极化损失是否与“交叉极化隔离”混为一谈？
- 多径/遮挡是否既算了固定损耗，又加了衰落裕量？
这八条对应八种最常见的 1–3 dB 错误。把它们做成预算表的自动检查项，比事后争论“为什么实测差 3 dB”有效得多。
2.4.8 损耗的统计：最坏值、均方根与裕量
每个损耗都有不确定度。天线罩 1.0 dB 可能是 0.8–1.5 dB，雨衰 2.2 dB 可能是 0–8 dB，CFAR 0.8 dB 可能是 0.5–1.5 dB。把这些不确定度简单相加，会得到过于悲观的“最坏情况”；按均方根相加，会得到偏乐观的“典型情况”。正确做法是区分两种裕量：
- 设计裕量：用于覆盖不可预测的环境/制造偏差，按最坏情况或 95% 分位取值。
- 不确定度裕量：用于覆盖“我们不知道这个数是多少”，按统计分布合成，通常用 RSS。
例如 8 项损耗，每项标称 1 dB、不确定度 0.3 dB（1σ）。最坏情况总和为 ；RSS 为 ；95% 分位（1.65σ）为 。三者相差 1.5 dB。若预算只写“8 dB”，实测落在 8.85–10.4 dB 都不奇怪；若预算写“8 dB ± 0.85 dB（1σ）”，评审就能判断裕量是否足够。
损耗的统计特性还随条件变化：晴天/雨天、法向/扫描边缘、冷/热、新/旧天线罩。一个负责任的预算表会给出“标称、最坏、统计”三列，而不是一个孤零零的数字。2.8 节会把这种思想推广到全部参数，用对数偏导和蒙特卡罗给出裕量的分布。
2.5 搜索雷达方程与搜索屏
2.2.6 已经把搜索方程写成了一个代数式：把每波位驻留时间代入能量形式，再用波位数把 换成 。那个式子回答了“平均功率要多少”，却没有回答三个更基本的问题：搜索空域到底有多大、波位怎么排、帧时间被谁占用。实际评审中，预算表上写“”并不够，必须同时写“在什么搜索屏、多少波位、每波位几个脉冲、帧周期多长、允不允许边扫描边跟踪”的条件。换一个搜索屏，542 W 可以变成 2 kW，也可以变成 200 W，而雷达方程本身没有任何变化。
这一节把搜索方程拆成几何、时间、能量三层。几何决定 和 ，时间决定 和 ，能量决定 。三层都写清楚，搜索距离才是一个可复核的承诺。
检测门限的接口：2.1.6 的路线图把检测放在 2.5 节；检测曲线的完整推导在第 4 章，本节只取预算所需的几个数。对 、、单脉冲，Swerling 0/1/3 的所需信噪比约为 13.2/21.2/17.3 dB，Swerling 2/4 在单脉冲时分别与 1/3 同分布；相参积累 个脉冲时，Swerling 0 的总信噪比仍为 13.2 dB（单脉冲需求降 ），非相参积累的额外损失在 时约 2.1 dB、 时约 5.6 dB。本章把“检测曲线值 + 波束形状”放入 ，把 CFAR/跨单元放入 ，两者只计一次。可运行代码与两个完整案例分别在 2.9、2.10 节。
2.5.1 搜索空域的立体角：从“360°×2°”到球带积分
搜索屏最常用的描述是“方位 、俯仰 –”。这不是一个矩形，而是球面上的一条带。设方位范围为 （rad），俯仰下限和上限为 （rad，相对水平面），则搜索立体角为
这个积分假设波束在方位上均匀覆盖、俯仰上按球带切割。对 方位、– 俯仰：
2.10 节的 X 波段案例取 ，差 0.7%，来自低仰角遮挡和方位扇区边缘的加权；在预算表里应写成“标称 0.2193，有效 0.2177”，而不是把一个积分值和一 个经验值混用。
表 2-7 给出几种典型搜索屏的立体角。注意“方位 360°、俯仰 20°”的立体角是 ，约为“360°×2°”的 9.8 倍；在同样的波束和帧时间下，波位数和所需平均功率也近似按 9.8 倍增加。很多“为什么我的雷达只有 30 km”的问题，根源不是功率不够，而是搜索屏从 2° 改成了 20°，指标却没有跟着改。
表 2-7 典型搜索屏的立体角
| 方位范围 | 俯仰范围 | 立体角（sr） | 相对 360°×2° |
|---|---|---|---|
| 360° | 0°–2° | 0.2193 | 1.00 |
| 360° | 0°–10° | 1.092 | 4.98 |
| 360° | 0°–20° | 2.149 | 9.80 |
| 120° | 0°–10° | 0.364 | 1.66 |
| 90° | 0°–20° | 0.537 | 2.45 |
| 60° | 0°–40° | 0.673 | 3.07 |
表 2-7 只算了几何。实际有效立体角还要扣除三类“看不见”的区域：
- 地球曲率与地形遮挡。在 4/3 等效地球半径模型下，雷达视距近似为
其中 为雷达和目标高度（m）。雷达架高 20 m、目标高度 100 m 时，；目标在 70 km 处必须高于约 180 m 才能被直视。若搜索屏下限是 0°，这 0°–0.15° 的条带在 70 km 处实际是“地平线以下”，不能计入有效 。
-
近区盲区。发射脉冲期间接收机不能工作，最小作用距离为 ， 为收发切换保护时间。、 时，。这一段不是“搜索屏”的一部分，但在时间预算里仍然占用脉冲重复周期。
-
强杂波/干扰扇区。低仰角的地物、海杂波可能使 CFAR 门限升高，等效于这些波位的检测性能下降。工程上要么把这些波位剔除，要么给它们单独的杂波图/更低的事件率；无论哪种， 的有效值都小于几何值。
因此，搜索方程里的 应该是“几何立体角 × 有效系数”，有效系数通常 0.85–0.98。把它写成 1 并不会让雷达变差，只会让预算变乐观。
2.5.2 波位、波束立体角与驻留时间
波位数由搜索空域除以每个波位覆盖的立体角：
不是简单的“方位波束宽度 × 俯仰波束宽度”，而是波位在球面上的实际覆盖面积。若波位之间留重叠， 应取“波位间距”围成的面积，而不是 3 dB 波束面积。天线增益与波束立体角的关系为
其中 是对整个天线方向图积分得到的等效波束立体角。对常用的锥削口径，3 dB 波束立体角约为 的 0.65–0.75；波位间距通常取 3 dB 波束宽度的 0.65–0.85，于是波位面积还要再乘 0.42–0.72。把这两个因子合并，得到
其中 是 3 dB 波束面积与等效波束面积之比， 对应两个方向都取 0.65 倍波束宽度的间距， 表示边缘波位不额外缩小。三者相乘 ，正是 2.10 节案例使用的 0.295。
审计要点： 只描述“波位编排效率”，不包含扫描损失。扫描损失（波束偏离法向时增益下降）应放在 里，按双程计；若把扫描损失也塞进 ，搜索方程会把它算两次。 也不包含 CFAR、脉压、量化等处理损失，那些同样在 里。
波位数确定后，每个波位的驻留时间为
这里的 是“净搜索时间”，即所有波位驻留时间之和，不含扫描机构换向、波束建立、TWS 插入跟踪、任务调度等开销。实际帧周期为
若 、，帧周期为 12.4 s，搜索更新率约 0.081 Hz。这个数字必须和“帧时间 11 s”分开写；把净搜索时间和帧周期混为一谈，会在跟踪插入后出现“为什么更新率掉了 12%”的争议。
驻留时间内能放多少个脉冲，由 PRF 和收发切换决定：
、PRF 时，（占用 24.67 ms），留 0.33 ms 给波束建立和切换。若为了多放几个脉冲把 PRF 提到 2000 Hz，，但最大不模糊距离从 100 km 降到 75 km；对 70 km 的目标，这已经把距离折叠放在门口。PRF 不是“越高越好”的参数，它同时被搜索距离、脉冲数、占空比和距离模糊约束。
每个波位的能量为
整个搜索帧的能量为 。这两个式子是搜索预算的核心：帧能量是总账，波位能量是分账，波位数是除数。增加波位数、缩短帧时间、降低平均功率，三者任取其一，都会减少每个波位的能量；而作用距离只按 变化。
2.5.3 搜索方程的完整推导：从单波位信噪比到资源形式
现在从单波位信噪比出发，把几何和时间逐层代入。假设：
- 单基地、收发共用天线，；
- 目标在波束中心，RCS 为常数 ，极化匹配；
- 每个波位的驻留时间相同，波位按网格划分，重叠与边缘损失已折入 ；
- 检测所需信噪比为 ，已在 2.3–2.4 节折算到天线端口；
- 损耗 、噪声系数 均为线性值，参考面一致。
单波位、 个脉冲的匹配滤波信噪比为
把 代入：
再把 、 代入。先算 ：
于是
这就是搜索方程的信噪比形式。与 2.2.5 的单波位形式相比， 变成了 ， 变成了 ，分母多出 和 。这不是近似，而是“增益越高、波束越窄、波位越多、每波位时间越少”的严格结果。
令 ，反解距离：
用有效孔径 改写，得到更常用的资源形式：
这两个式子是等价的：把 代入第二式，分子多出 ，分母的 抵消，回到第一式。第二式的物理意义更清楚：
- 是一帧内可用的总能量（J），不是功率；
- 是接收有效面积（m²），不是增益；
- 是目标截面（m²）；
- 是搜索空域（sr）， 是把“全空间”分摊到搜索屏的几何因子；
- 是系统与检测的代价。
若把 反解出来，就是 2.2.6 的形式：
四个形式（SNR、R、、）描述的是同一个能量分配，只是把未知量换了一个。评审时最常犯的错误是“用 R 形式算距离，又用 形式算功率，然后把两个结果相加”；正确做法是选一个未知量，其余全部作为输入，算完再用另一个形式交叉核对。
数值核对（与 2.10 节同一组参数）：、、、、、、（7.079）、（1.660）、、（188.4）。代入 形式：
其中 。设计值 是阈值功率的 2.77 倍，即 4.42 dB 能量裕量；在 70 km 处，设计值对应的信噪比为 。若把 1.5 kW 全部用于搜索，阈值距离为
这三个数字——542 W、27.17 dB、90.3 km——必须在预算表、搜索方程和逐波位计算中同时成立。任何一个对不上，先查参考面，再查 和 的取整，最后查 是否重复。
2.5.4 搜索距离与跟踪距离：为什么跟踪可以看得更远
搜索和跟踪使用同一个雷达方程，但时间分配完全不同。搜索把一帧能量分给 个波位，每个波位只得到 ；跟踪把能量集中在一个目标上，驻留时间 可以远大于搜索驻留。设跟踪与搜索的目标 RCS 相同、检测信噪比要求分别为 和 ，则
这个式子是“跟踪距离”与“搜索距离”差别的全部来源。若跟踪驻留取整个搜索帧 ，则 ，距离比为 。对 ，，即跟踪距离可以是搜索距离的 4.58 倍（距离域 13.2 dB，功率域 26.4 dB）。这解释了为什么一部搜索距离 70 km 的雷达，在盯住一个目标时可以在 300 km 外维持跟踪；也解释了为什么“把搜索模式改成跟踪模式”不是免费的——它把整帧的时间给了一个目标。
实际跟踪不会占满整帧。若 、，驻留比为 4，距离比为 ；若跟踪的检测信噪比要求从 22.75 dB 降到 20 dB（跟踪可以用更长的积累和更好的先验），再乘 ，总距离比为 1.66。70 km 的搜索距离对应 116 km 的跟踪距离。这个数字比“跟踪距离等于搜索距离”更接近工程实际，也比“跟踪距离等于 4.58 倍”更可信。
还有两个常被忽略的修正：
-
跟踪起始需要多次检测。单帧搜索能在 70 km 发现目标，不代表能在 70 km 建立航迹。M-of-N 起始逻辑要求连续多帧检测，若单帧 、要求 3/4 帧，起始概率约为 ；要把它提高到 0.95，需要更高的单帧 ，等效于 1–2 dB 的额外信噪比。跟踪起始距离通常比搜索距离低 5–10%。
-
跟踪波位的角度/距离预测误差。搜索波位按网格排列，目标可能落在波位边缘，波束形状损失 1–3 dB；跟踪时波束对准预测位置，波束形状损失较小，但预测误差会带来“失照”风险。跟踪距离的增益有一部分被预测误差抵消，不能把 直接写进承诺。
2.5.5 功率、孔径、时间：三选一的工程判断
搜索方程的资源形式可以写成一句更硬的话：
要把作用距离提高 1 dB（距离比 1.122），右边要增加 2 dB，即 增加 1.585 倍；距离翻倍（6 dB），能量要增加 12 dB，即 16 倍。线性域的四次方关系，在 dB 域表现为“距离 dB 是能量 dB 的一半”。三种资源各有一点不同：
- 功率： 每提高 1 dB，距离提高 0.5 dB。固态发射机的成本随峰值/平均功率近似线性，但散热、初级电源、重量在高功率段超线性。1.5 kW 平均功率的 X 波段固态阵，热设计已经需要液冷或强制风冷；再翻 4 倍到 6 kW，成本可能不是 4 倍，而是 6–8 倍。
- 孔径： 每提高 1 dB，距离提高 0.5 dB。孔径的成本随面积近似线性到平方（结构、重量、伺服），但孔径还同时改善角度分辨率、提高增益、降低波位数。若孔径本来是为了分辨率而设计的，那么“顺便”用它来提高搜索距离的边际成本很低；若为了搜索距离单独加大孔径，成本和重量会很快成为瓶颈。
- 时间： 每提高 1 dB，距离提高 0.5 dB。时间通常是最便宜的资源，直到它撞上更新率、目标机动、TWS 跟踪占用或数据率要求。搜索帧从 11 s 放宽到 44 s（6 dB 能量），距离提高 1.41 倍（3 dB），但更新率从 0.081 Hz 降到 0.020 Hz；对高速目标，航迹在 44 s 内可能已经机动出波束。
把三者的边际成本写成统一形式。设资源 的成本为 ，约束为 。在最优分配点，每种资源的“每 dB 边际成本”相等：
若 ，最优分配是三种资源的成本各占三分之一；若孔径的 、功率的 、时间的 ，则最优成本份额与 成正比：功率 0.43、孔径 0.23、时间 0.34（归一化后）。这条规则不能代替具体报价，但它能防止“把 80% 的预算砸在功率上，却在时间上只给 5 s”的常见失衡。
一个 3 dB 距离的折衷算例：要求 从 70 km 提到 98.9 km（+3 dB），即 增加 4 倍（6 dB）。当前 、、。四种方案：
| 方案 | 改动 | 距离增益 | 主要代价 |
|---|---|---|---|
| 只加功率 | 1.5→6.0 kW | +3 dB | 热、初级电源、成本约 4–8 倍 |
| 只加孔径 | 0.662→2.65 m² | +3 dB | 孔径面积 4 倍，重量/伺服/成本 |
| 只加时间 | 11→44 s | +3 dB | 更新率 0.081→0.020 Hz |
| 混合 | 功率×2、孔径×1.4、时间×1.4 | +3 dB | 功率 +3 dB、孔径/时间各 +1.5 dB 能量，总 6 dB |
混合方案的总资源仍是 4 倍，但每一项只增加 1.5 dB，通常比单项 6 dB 更接近“成本线性区”。工程判断的顺序是：先看时间有没有余量（通常有，但受更新率限制），再看孔径有没有为分辨率预留（通常有 10–20%），最后才加功率。功率是最后一张牌，不是第一张。
2.5.6 搜索屏的边界：低仰角、杂波与距离模糊
搜索方程假设目标在波束中心、噪声主导、RCS 恒定。搜索屏的三个边界会破坏这些假设：
低仰角多径。2.4.6 已给出双径模型。在 0°–2° 的搜索屏内，目标高度低、地面/海面反射强，传播因子 随距离和高度快速起伏。70 km、天线高 20 m、目标高 100 m、 时，路径相位差
已经跨越多个瓣。目标在 100 m 高度上下的微小变化，可能带来 10 dB 以上的信号起伏。搜索屏的低仰角波位不能只用自由空间方程，必须加多径裕量或使用真实天线方向图/射线追踪。
面杂波。低仰角波位照射地面/海面，杂波功率为
其中 为面反射率， 为分辨单元的地面面积。对脉冲雷达，，随 线性增长；因此 ，而目标回波 。杂波/信号比随 增大而变差，直到地球曲率/地形遮挡把杂波截断。搜索屏越远，CFAR 门限越高，检测距离越短；这不是方程能修正的，只能靠多普勒滤波、杂波图、低副瓣和极化改善。
距离模糊。PRF 决定最大不模糊距离 。PRF 时 ；70 km 的目标在第 1 个 PRF 周期内，但 130 km 的强杂波/目标会折叠到 70 km 附近。搜索屏若延伸到 100 km 以外，必须用中/高 PRF、脉间参差或正交波形解模糊；每一种都占用时间或波形自由度，等效于降低搜索效率。
俯仰覆盖与目标高度。2° 的搜索屏在 70 km 处覆盖高度 ；在 20 km 处只覆盖 0.70 km；在 200 km 处覆盖 6.98 km。对 10 km 高的目标，2° 屏要到 才照到（还要加地球曲率）。所以“360°×2° 搜索屏”本质上是低空补盲屏，不是全能搜索屏。若任务要求覆盖 10 km 高度、70 km 距离，俯仰范围至少要 ，立体角增加 4 倍，波位数和功率随之增加。指标书上的“搜索屏”必须和“目标高度包线”一起写，否则就是偷换概念。
2.5.7 搜索预算的审计顺序
把 2.5 的推导压缩成一张检查顺序，评审时按这个顺序走，比逐项争论数字快：
- 先定 ：方位/俯仰范围、目标高度包线、地球曲率/地形遮挡、有效系数。 错了，后面全错。
- 再定 ：、、波位间距、边缘波位。检查 是否重复包含了扫描损失。
- 再定 ：净搜索时间、帧周期、调度开销、TWS 占用、更新率要求。
- 再定 ：、PRF、脉冲数、收发切换、距离模糊。检查 取整后的能量损失。
- 最后算能量：、，用搜索方程和逐波位方程交叉核对。
- 加边界修正：多径、杂波、大气/雨、低仰角遮挡、检测起伏、跟踪起始。每一项都要注明“已含在 / 未含，另加裕量”。
这张顺序表也解释了为什么搜索雷达的“作用距离”通常是一个区间而不是一个数：、、、环境都在变。一个负责任的指标写法是“在 、、、、Swerling 1、晴空、无干扰条件下，，设计裕量 4.4 dB”。少一个限定，数字就不可复核。
2.6 跟踪、驻留与成像预算
搜索预算回答“一帧能量如何分给整个空域”，跟踪预算回答“一次驻留如何换来确定性测量”，成像预算回答“一个分辨单元的能量如何换成图像灵敏度”。三者都用雷达方程，但时间、分辨单元和检测对象的定义完全不同。把搜索方程直接套到跟踪上，会低估跟踪距离；套到 SAR 上，会得到量级错误的 NESZ。这一节把三种预算的接口分开，重点给出跟踪精度、驻留时间、TWS/TAS 时间占用和 SAR NESZ 的推导。
2.6.1 跟踪与搜索的预算差异
搜索面对的是“未知位置、未知出现”的目标，必须在整个空域内分配能量；跟踪面对的是“已知大致位置、需要连续更新”的目标，可以把能量集中到一个波位。表 2-8 列出两种模式的预算差异。
表 2-8 搜索与跟踪的预算接口
| 项目 | 搜索 | 跟踪 |
|---|---|---|
| 空域 | ，全部波位 | 单个波位（含预测误差） |
| 驻留 | ，通常 5–30 ms | 1–100 ms，可按目标分配 |
| 检测对象 | 未知目标， 按帧定义 | 已起始航迹， 按更新定义 |
| 信噪比要求 | 单帧检测 + 起伏/CFAR | 检测 + 测量精度 |
| 时间约束 | 帧时间/更新率 | 跟踪更新率/机动 |
| 主要误差 | 波位边缘、多径、杂波 | 角度/距离噪声、闪烁、预测 |
| 失败模式 | 漏检、起始失败 | 失跟、航迹中断、精度超差 |
跟踪的驻留时间不是越长越好。驻留增加带来 的距离增益和 的测量精度改善，但会挤占搜索时间、增加目标机动期间的积累损失，并提高数据处理/存储压力。工程上把跟踪驻留分成三档：
- 确认驻留（1–5 ms）：刚起始的航迹，用短驻留快速确认，允许较低精度；
- 维持驻留（5–20 ms）：正常跟踪，兼顾更新率和精度；
- 精密驻留（50–200 ms）：对高价值/高机动目标，或需要成像/分类时使用。
三档驻留对应三种不同的波形和 PRF，不能指望一套参数包打天下。
2.6.2 跟踪信噪比与测距/测角精度
跟踪信噪比仍由能量形式给出：
与搜索方程的区别只有两点： 是专门分配给该目标的驻留， 可以是跟踪过程中估计/平滑后的 RCS，而不是设计用的最坏值。若目标 RCS 在跟踪时被估计为 1 m²，而设计搜索用 0.5 m²，则同样的距离下跟踪信噪比高 3 dB；这 3 dB 是“知道了目标更大”带来的，不是雷达变了。
测距精度。匹配滤波后的时延估计精度由克拉美–罗界（CRLB）给出。对复信号 、双边噪声谱密度 ，时延估计的 Fisher 信息为
其中 是信号功率谱的均方根带宽：
于是
对矩形功率谱，，代入得
工程上常用更保守的近似
它比矩形谱 CRLB 大约 1.8 倍，隐含了加窗、失配、时钟抖动和目标扩展的额外损失。两者都可以用，但必须注明用的是哪一个；把 CRLB 当成“保证精度”写进指标，通常会在外场差 2–3 倍。
测角精度。单脉冲测角的误差与波束宽度、差斜率、信噪比有关。设差波束归一化斜率为 （典型 1.3–1.8），则
取 、、（525），则
在 70 km 处对应横向误差 。这个数字看起来很小，但它只是“热噪声引起的角度误差”；实际跟踪误差还有：
- 闪烁（glint）：扩展目标多个散射中心的干涉使视在相位中心跳动，角度闪烁可达 0.1–0.3 个波束宽度，且相关时间与目标姿态变化有关；
- 标定误差：阵面幅相误差、和差通道不平衡、天线罩折射，通常在 0.05–0.2 个波束宽度；
- 多径：低仰角目标的镜像干涉，角度误差可达 0.2–0.5 个波束宽度；
- 预测误差：机动目标的滤波器预测误差，取决于过程噪声模型和更新率。
因此，跟踪精度的预算应写成“热噪声项 + 闪烁项 + 标定项 + 多径项”的 RSS，而不是只写 CRLB。对 1.25° 波束，热噪声 0.024°、闪烁 0.15°、标定 0.08°、多径 0.10°，RSS 为
比热噪声项大 8 倍。此时再提高信噪比 6 dB，总误差只降到 0.198°，几乎没用。跟踪精度的瓶颈通常不是 SNR，而是闪烁、标定和多径；把预算花在提高 SNR 上，收益远小于改善天线标定或选择更高分辨率的波形。
测速精度。多普勒频率估计的 CRLB 与时延类似，把 换成 （信号时长均方根）：
对时长 的矩形包络，，。、、 时，。实际测速还受目标加速度、相位噪声和杂波调制限制，通常按 0.1–1 m/s 量级承诺。
2.6.3 驻留时间、相参积累与机动约束
跟踪驻留 内可以相参积累 个脉冲，信噪比按 增长（相参）或按非相参积累曲线增长。相参积累的增益上限由目标/本振的相位稳定性决定；非相参积累有平方律损失，2.3 节已给出曲线。选择哪种积累，取决于：
- 目标多普勒是否已知/稳定：已知时可相参积累；未知时需多普勒滤波器组，相参积累仍可做，但会有滤波器跨接损失（scalloping loss），典型 1–3 dB；
- 目标是否机动：加速度导致多普勒展宽和距离徙动，长相参积累会散焦；
- 雷达是否具备相参性：频率源、发射机、时钟的相位噪声决定可用的最长 CPI。
距离徙动约束：在 CPI 内，目标径向速度 引起的距离变化为 。若超过一个距离分辨单元 ，脉冲间的距离走动会使相参积累损失。粗略约束为
、、 时，。25 ms 的搜索驻留远低于这个上限，距离徙动可忽略；100 ms 的跟踪驻留仍在边界内，但 1 s 的成像/精密驻留必须做距离徙动校正（Keystone 变换或包络对齐）。
加速度约束：目标加速度 使回波相位产生二次项。CPI 内的二次相位误差为
要求 （四分之一波束宽度准则的相位版），得到
、 时，。也就是说，对 10 m/s² 的机动目标，超过 41 ms 的相参积累就会明显散焦，必须用更短的 CPI 或运动补偿。这个约束比距离徙动更紧，是跟踪驻留不能无限制加长的物理原因。
跟踪更新率。更新率 与机动时间常数 的关系，工程上常取 –。对 的飞机机动，更新率 0.5–1 Hz 足够；对 的导弹，需要 5–10 Hz。更新率提高会线性增加跟踪时间占用，进而压缩搜索时间。
2.6.4 边扫描边跟踪的时间预算
设跟踪目标数为 ，每个目标的驻留为 ，更新间隔为 。跟踪占用的时间比例为
这个比例必须小于 1，否则跟踪任务本身就无法完成。搜索可用时间比例为 ，搜索帧时间从无跟踪时的 变为
算例：，200 个目标，每个驻留 2 ms，更新间隔 1 s：
搜索帧时间增加 67%，作用距离按 下降，即距离损失 1.12 dB（功率域 4.5 dB）。如果目标数增加到 500，，搜索时间被完全挤占；此时要么降低跟踪更新率（ 增大），要么缩短跟踪驻留，要么增加发射/处理资源，没有第四条路。
TWS 与 TAS 的区别：
- 边扫描边跟踪（TWS）：跟踪不额外占用时间，跟踪更新率等于搜索帧率。，。对 、，；但 TWS 的跟踪波位必须落在搜索波位网格上，角度/距离精度受搜索驻留限制，高机动目标容易丢失。
- 跟踪加扫描（TAS）：在搜索间隙插入专用跟踪驻留， 和 可独立设计，精度高、更新快，但会打断搜索。 按上式直接占用时间，调度器必须在“搜索覆盖率”和“跟踪质量”之间分配。
TAS 的调度是一个实时资源分配问题。工程上常用优先级 + 时间窗：高威胁目标获得更短 和更长 ，低优先级目标被“稀疏更新”。调度算法可以优化平均跟踪误差，但不能突破总时间约束。评审时看到“同时跟踪 1000 个目标、更新率 10 Hz、搜索帧 1 s”这类指标，先算 ：若每个驻留 1 ms，，已经超过 1，指标不可能成立。
跟踪容量上限：由 （通常 0.5–0.7，给搜索留余量）得
、、 时，。这个上限是时间预算的上限，不是处理能力的上限；实际容量还要看波束调度、数据关联、航迹滤波和操作员显控的吞吐。
2.6.5 SAR NESZ 的推导：从分布目标到噪声等效后向散射系数
SAR 的预算对象不是“一个点目标的作用距离”，而是“一个分辨单元的图像灵敏度”。定义噪声等效后向散射系数 为：使图像中一个分辨单元的检测信噪比等于 1（0 dB）所需的分布式目标后向散射系数 。 越小，SAR 越灵敏；它通常用 dB 表示，典型值 至 。
第一步：分辨单元的 RCS。 SAR 的距离分辨率为
其中 为发射带宽， 为入射角（从垂直方向量起）， 把斜距分辨率投影到地面。方位分辨率（单视）为
其中 为合成孔径长度， 为平台速度， 为目标被波束照射的时间。分辨单元面积为
若地表的面后向散射系数为 （无量纲，m²/m²），则该单元的等效 RCS 为
第二步：单元的回波能量。 在 内，发射机平均功率为 ，天线增益 ，则照射到该单元的总能量为
这里用的是“能量/噪声谱密度”形式：匹配滤波后的信噪比等于 ，。这一步已经把距离压缩和方位压缩的增益包含在内，不能再额外乘 或 。
第三步：令 SNR=1。 由
解出
这是 NESZ 的“几何–能量”形式，适用于任何 SAR 几何，只要 、、 的定义一致。
第四步：代入分辨率。 把 的表达式代入：
在分子分母中抵消， 消去一个 ，得到
这就是单视、全孔径、分辨率受限条件下的标准 NESZ 量级公式。它的量纲为无量纲：（m³）×（W/Hz）×（Hz）×（m/s）/（ W × × m³ × m/s）=1。
第五步：读公式。 这个式子给出五条工程结论：
- 而不是 。SAR 的分辨单元面积随 增长（距离向投影和方位向合成孔径都随 变长），抵消了一个 。用搜索方程的 估 SAR，会在远距离严重低估 NESZ。
- 在分子。带宽越宽，距离分辨率越好，单元面积越小，单视 NESZ 越差。这就是“高分辨率必然牺牲灵敏度”的定量版本：带宽翻倍，NESZ 恶化 3 dB。
- 在分母。平均功率、天线增益、波长越长（频率越低）都有利于 NESZ。低频 SAR 的 NESZ 通常优于高频，部分原因是 和大气/雨衰更小，部分原因是同样的孔径在低频有更大的波束。
- 在分子。平台速度越快、入射角越大，波束在地面的驻留越短/投影越大，NESZ 越差。这是机载/星载 SAR 的几何惩罚。
- 抵消。在“单视、分辨率受限”条件下，延长方位积累时间会同时提高方位分辨率和降低单元面积，两者严格抵消，NESZ 与方位分辨率无关。这个结论常被误解为“方位积累不重要”；实际上，若保持像素间距不变做多视平均， 视平均会使 NESZ 改善 （5log dB），因为多视是额外的独立样本，不改变单视分辨率。
多视修正：若对方位/距离向 个独立视做非相干平均，斑点噪声的标准差按 下降，图像强度的相对起伏按 减小；但噪声底的均值不变，按平均功率定义的 NESZ 不变。若把 NESZ 定义为“均值信号等于噪声标准差”，则表观 NESZ 改善 （即 dB），两种定义必须注明。多视的代价是分辨率变粗或像素间距变大；它不违反“单视 NESZ 与方位分辨率无关”的结论。
2.6.6 S 波段宽带 SAR 的 NESZ 算例
取一组自洽的假设（不是任何型号的指标）：
| 参数 | 符号 | 数值 |
|---|---|---|
| 载频 | 3.2 GHz | |
| 波长 | 0.0937 m | |
| 带宽 | 120 MHz | |
| 脉冲宽度 | 33.3 µs | |
| PRF | 3000 Hz | |
| 占空比 | 10% | |
| 峰值功率 | 10 kW | |
| 平均功率 | 1 kW | |
| 天线增益 | 35 dB（3162） | |
| 方位孔径 | 6 m | |
| 平台速度 | 7500 m/s | |
| 作用距离 | 250 km | |
| 入射角 | 40° | |
| 噪声系数 | 2.5 dB（1.778） | |
| 系统损耗 | 3.5 dB（2.239） |
先算分辨率：
方位分辨率取 （条带模式），合成孔径时间
像素面积 。代入 NESZ 的几何形式：
分子：；乘 2.239 得 ；乘 得 。分母：；乘 得 ；乘 得 ；乘 5.82 得 。于是
即
用简化公式核对：
分子：；，乘积 ；乘 得 ；乘 得 ；乘 得 ；乘 7500 得 ；乘 0.643 得 。分母：；乘 得 ；乘 得 。NESZ ，与几何形式一致（0.01 dB 的舍入差）。
对 1 m² 的点目标，同一几何下的信噪比为
即 25.7 dB。像素 RCS 为 ，比 1 m² 低 25.7 dB，正好使像素信噪比降到 0 dB。三个数字（-33.3 dB、25.7 dB、0 dB）互相闭合。
2.6.7 为什么 SAR 的预算不能直接套搜索方程
把搜索方程套到 SAR 上，通常会犯四个错误：
错误一：把 当成波束立体角。 搜索方程的分母是搜索空域 ，波位数 表示“一帧要扫多少个波位”。SAR 的波束足印内同时包含成千上万个分辨单元，所有单元靠距离/多普勒正交分离，不需要逐波位驻留。把 代入搜索方程，相当于假设“一次只能看一个分辨单元”，会低估 SAR 的灵敏度几个数量级。
错误二：用 代替 。 搜索方程的时间是一帧内所有波位共享的 ；SAR 的时间是目标被波束照射的 。 由波束宽度、平台速度和方位分辨率决定，不是重访周期。把重访周期（几天）代进去，会得到荒谬的 NESZ。
错误三：用 和点目标 。 SAR 的像素面积随 增长， 也随 增长，因此 NESZ 按 变化。若用 和固定的 ，在 250 km 处会高估 NESZ 约 的额外量，取决于参考距离。
错误四：重复计算脉压/方位压缩增益。 搜索方程的能量形式已经包含匹配滤波；SAR 的 也已经包含距离和方位压缩。若再乘 和 ，会把灵敏度高估几十 dB。正确做法是：要么用“原始回波功率/噪声功率”加两级压缩增益，要么用“总能量/噪声谱密度”，二者只能选一条路径。
SAR 的预算还有搜索方程没有的约束：距离/方位模糊、扇贝效应（scalloping）、天线方向图加权、脉冲间相位稳定性、运动补偿残差、电离层/对流层延迟。这些项不会出现在 NESZ 的一阶公式里，但会在图像上表现为假目标、条纹或灵敏度不均。NESZ 只是“图像能不能看见”的起点，不是 SAR 系统设计的全部。
2.7 双基地与收发分置：几何、同步与双基地 RCS
2.2.7 把双基地列为单基地方程的边界之一：路径不是 ，而是 ，分母从 变成 。这句话只说了公式的形状，没有说清楚三件事：双基地的等距离和等信噪比曲线不是同一条曲线；收发分置带来的几何增益可能被同步误差和双基地 RCS 吃掉；双基地 RCS 在前后向散射区可以比单基地大几十 dB，也可能在某个角度出现深零点。把这三件事分开，才能判断“双基地是否值得”。
2.7.1 双基地几何：距离和椭圆与 Cassini 卵形线
设发射站 位于 ，接收站 位于 ，基线长度 ；目标 位于 。收发距离分别为
目标处的双基地角 定义为两条视线 与 的夹角。由三角形余弦定理：
所以
表示目标在基线延长线上（前向或后向），几何上接近单基地； 表示目标在收发站之间，纯前向散射。
等距离和曲线： 是以 为焦点的椭圆，半长轴 、半焦距 、半短轴
雷达的距离门测量的是 ，所以一条等距离和曲线就是一个椭圆。目标在椭圆上的位置由角度（或双基地角）另外确定；只测距离和，目标的位置是一条椭圆，不是球面。
等信噪比曲线：由 2.7.2 的双基地方程，固定 时，
即 。这条曲线不是椭圆，而是 Cassini 卵形线。 的几何意义是“等效单基地距离”的平方：
当 （即 ）时，Cassini 曲线是一个连通的卵形，包围两个站；当 时，曲线在基线中点自交，形成双纽线；当 时，曲线分裂成两个分别围绕发射站和接收站的瓣。这个分裂对双基地设计很关键：在 的区域，雷达只能“看见”靠近某一站的目标，基线中点是几何盲区；要覆盖基线中点，必须让 。
数值：，。若目标在 、，，略小于 ，等信噪比曲线已经分裂成两个瓣，目标位于靠发射站的那一瓣。若要求覆盖基线中点（），则 ，正好在临界点；实际设计要留 3–6 dB 余量，即 比 大 1.4–2 倍。
等距离和椭圆与等信噪比 Cassini 曲线的区别，是双基地几何最容易混淆的地方。距离门沿椭圆分辨，检测性能沿 Cassini 曲线变化；两者只在单基地极限 时退化为同一个圆。
2.7.2 双基地雷达方程的完整推导
假设：
- 发射站与接收站分离，基线 已知且稳定；
- 发射天线增益 ，接收天线增益 ，收发可共用也可分开；
- 目标的双基地 RCS 为 （m²），定义为“入射方向与散射方向分开时的等效面积”；
- 传播路径分为 和 两段，大气/雨衰按两段分别计；
- 接收机噪声系数 、损耗 均折算到接收天线端口；
- 收发站时间/相位同步，残余误差单独列为 。
第一步：目标处的功率密度。 发射功率 经天线增益 ，在距离 处：
第二步：目标散射。 双基地 RCS 的定义为
其中 是接收站方向、距离 处的散射功率密度。于是
注意 已经包含了“向接收方向散射”的方向性；它不是单基地 RCS 的简单角度切片，而是入射/散射双方向角的函数。
第三步：接收功率。 接收有效面积 ：
第四步：损耗与噪声。 引入损耗 （线性，含两段传播、收发馈线、处理），接收信噪比：
若用平均功率和驻留时间，把 换成 （脉冲体制）或 的能量形式：
这就是双基地雷达方程。它与单基地方程的唯一结构差别是分母的 变成了 ；若 ，退回单基地形式。
第五步：等效单基地距离。 定义
则 ，双基地信噪比等于“在距离 处的单基地信噪比”（假设 、、损耗相同）。这把双基地问题化成了熟悉的单基地问题：
若已知单基地最大距离 （同功率、同增益、同损耗、），则双基地相对单基地的信噪比增益为
其中 是双基地额外的同步/几何/直波损耗。这个式子是判断“双基地是否值得”的核心：几何增益按 40log 距离比，RCS 增益按 10log 面积比，同步/直波损耗按 dB 直接扣。
2.7.3 几何因子：什么时候双基地比单基地强
由 ，双基地获得正增益的条件是
换句话说，只要目标到收发站的距离乘积小于“单基地最大距离的平方”，双基地在几何上就占优。这个条件很容易满足：接收站可以前推到目标附近，把 压到 10–20 km，而 仍由发射站的大功率/大孔径支撑。、、 时，，几何增益 。
但几何增益不是免费的，它被三个因子抵消：
- 双基地 RCS。 可能比 低 10–20 dB（非前向区、极化失配、散射零点），也可能高 10–30 dB（前向散射）。没有实测/仿真 RCS，不能假设 。
- 同步与直波损耗。收发分置需要时间/相位/空间同步，残余误差折算成 ；直波泄漏可能迫使接收机降低增益或使用零陷，等效 3–10 dB。
- 覆盖几何。发射站必须照到目标，接收站必须同时在目标方向；双基地的“共同覆盖区”是两个波束的交集，可能比单基地的覆盖小得多。几何增益是在“目标已被共同照射”的前提下算的，不能拿它去承诺全域覆盖。
把这三项写进增益条件：
、 时，左边几何项 14.0 dB；若 、，净增益 4.0 dB；若 、，净增益 -4.0 dB，双基地反而不如单基地。双基地的收益是“几何 + RCS - 同步”三者的净和，不是几何一项。
2.7.4 同步误差：时间、频率、相位与位置
双基地的收发站不在同一个时钟域，同步误差会直接进入测量。四类同步误差的影响不同：
时间同步。设接收站时钟相对发射站有 的偏移，则距离和测量变为
距离误差为 ，不是 ——因为距离和是单程两段之和，时钟偏移直接叠加一次。若要求距离误差小于 （例如 1.5 m 分辨率的四分之一，0.375 m），则
1.25 ns 对应自由空间 37.5 cm（电缆中约 25–30 cm）；普通 GPS 驯服时钟（几十 ns）不够，需要本地高稳晶振 + 双向时间传递/直波同步。对搜索雷达，距离精度要求低，100 ns（30 m）可能可接受；对 SAR 或精密测量，必须 sub-ns。
频率同步。设收发本振有 的频率偏移，回波相位随时间漂移：
在相干积累时间 内，要求相位漂移小于 （约 0.1 rad 量级），则
时 ； 时 ； 的 SAR 方位积累要求 。这个量级需要原子钟/GPS disciplined 振荡器或直波相位恢复。
相位同步。即使频率相同，收发链的初始相位 未知，双基地干涉/SAR 需要“相位历元”同步。残余相位误差 使相干积累损失
功率损失为 。 时功率损失 0.35 dB； 时 2.2 dB； 时 8.7 dB。相位同步不是“有或没有”，而是“误差多少 rad”。
位置同步。基线 的测量误差 直接进入 的几何计算。对距离和的影响约为 的量级；对相位的影响为 。 时，1 mm 的基线误差对应 0.21 rad 相位误差；要控制 0.2 rad，基线需要毫米级测量/标定。对搜索雷达，米级基线足够；对双基地 SAR，基线应该用厘米级甚至毫米级。
表 2-9 双基地同步误差的量级要求
| 应用 | 时间同步 | 频率同步 | 相位误差 | 基线误差 |
|---|---|---|---|---|
| 搜索/警戒 | 100 ns–1 µs | 1–10 kHz | 不要求 | 米级 |
| 跟踪 | 10–100 ns | 1–10 kHz | 0.5–1 rad | 0.1–1 m |
| 双基地 SAR | <1 ns | <0.01–0.1 Hz | <0.2 rad | 毫米–厘米 |
| 前向散射栅栏 | 1–10 ns | 10–100 Hz | 0.2–0.5 rad | 厘米–分米 |
这张表说明：双基地的“同步”不是一个指标，而是四个指标。搜索雷达可以用直波/ GPS 粗同步；SAR 必须把收发站当成一个分布式相参系统，时钟、相位、基线都要单独预算。把“同步误差 1 ns”写进搜索雷达的指标是浪费；把“同步误差 1 µs”写进双基地 SAR 的指标是灾难。
2.7.5 双基地 RCS：前向散射、阴影与零点
双基地 RCS 定义为
其中 为入射方向， 为散射方向。它与单基地 RCS 的区别不是“换个角度查表”，而是散射机制变了：
前向散射。当 （目标在收发站之间），目标挡住视线，接收站看到的是“阴影”的衍射。由 Babinet 原理，对一块面积为 的理想导体板，前向散射截面近似为
这个式子与板的材料、表面粗糙度（在光学区）无关，只与面积和波长有关。、（10 GHz）时，；（3 GHz）时，。前向散射随频率平方增长，且在小双基地角/前向对准时非常强。
前向散射的波束宽度。前向散射不是各向同性的，它的角宽约 。、 时，角宽约 0.03 rad=1.7°；目标/几何稍有偏差，前向散射就掉出主瓣。要把前向散射当作战术优势，必须把收发站和目标几何稳定在 以内，这对运动和同步提出了很高要求。
阴影与遮挡。前向散射的物理本质是“目标挡住了直达波”，所以它不能靠外形隐身完全消除：整形可以把后向散射降到很低，但阴影仍然存在。这是双基地/前向散射被认为有反隐身潜力的原因。但“阴影大”不等于“可检测”：前向散射的角宽窄、直波泄漏强、目标多普勒小，检测算法要专门设计。
双基地 RCS 的零点。在非前向区，双基地 RCS 随双基地角快速起伏，可能出现深零点。平板的镜面反射只在满足“入射角=反射角”的几何方向出现；复杂目标有多个散射中心，干涉形成瓣和零点。把单基地 RCS 的方向图旋转一个角度当双基地 RCS，是常见的错误，误差可达 10–20 dB。
极化。前向散射对理想导体近似保持极化；粗糙表面/复杂目标会使极化旋转。双基地收发极化可以不同（例如发射垂直、接收水平），用来抑制直波和杂波，但目标 RCS 也会相应下降。极化选择必须和 一起测量/仿真，不能只看天线隔离度。
2.7.6 数值算例：双基地相对单基地的增益条件
设一部 X 波段雷达，单基地参数如下：
| 参数 | 数值 |
|---|---|
| 峰值功率 | 10 kW |
| 占空比 | 10% |
| 平均功率 | 1 kW |
| 天线增益 | 30 dB（1000） |
| 波长 | 0.03 m |
| 目标 RCS | 1 m² |
| 单基地距离 | 50 km |
| 系统损耗 | 6 dB（3.981） |
| 噪声系数 | 3 dB（2.0） |
| 驻留时间 | 10 ms |
单基地信噪比：
现在把接收站前推到距目标 ，发射站仍在 ，基线约 45 km（目标靠近接收站）。假设 ，收发增益仍为 30 dB，额外同步/直波损耗 2 dB（总损耗 8 dB）。双基地信噪比：
相对单基地的增益为 。用公式核对：
两者相差 0.08 dB，来自舍入。这个例子说明：双基地的 12 dB 增益主要来自几何（14 dB），不是来自 RCS；同步/直波扣掉 2 dB 后还剩 12 dB。
增益条件：若双基地 RCS 只有单基地的 1/4（-6 dB），额外损耗 4 dB，则净增益 ，仍然值得；若 、，净增益 ，不如单基地。把条件写成：
、 时，左边 14 dB；右边是“RCS 损失 + 同步损耗”。只要右边小于 14 dB，双基地在能量上占优。注意这个条件是“在目标已被共同照射”的前提下；如果双基地的共同覆盖只有单基地的 1/4，系统层面的收益要再打折扣。
另一个几何：目标在基线中点，、、。，几何增益 13.9 dB；若前向散射 RCS 比单基地高 10 dB，理论净增益 23.9 dB（减同步损耗）。但这是纯前向散射，直波泄漏、角宽窄、多普勒小，实际可用性取决于同步和杂波抑制，不能把 24 dB 直接写进指标。
2.7.7 双基地的工程边界
双基地不是“把接收机搬到前面去”这么简单。五个工程边界必须在预算里出现：
直波泄漏。发射站的直达信号比目标回波高 60–120 dB，接收机即使天线副瓣很低，也可能饱和。解决方法：收发站空间隔离（地形遮挡/天线零陷）、时间隔离（收发分时）、编码隔离（正交波形）、极化隔离。每一种都带来损耗或覆盖限制，通常按 3–10 dB 计入 。
脉冲追赶。双基地的收发波束不能同时覆盖整个共同区域；接收波束必须按 的时延追赶发射脉冲。追赶损失、波束驻留和距离门安排会降低搜索效率。对长基线、宽空域，脉冲追赶的复杂度不亚于一部独立的接收雷达。
杂波几何。双基地杂波的等距离和是椭圆，多普勒是收发双程的矢量和，与单基地完全不同。杂波脊、盲区、STAP 训练样本都要重新建模；把单基地杂波模型套到双基地，会在低仰角出现 10 dB 以上的预测误差。
覆盖与指挥控制。发射站和接收站分开部署，共同覆盖区是两者波束的交集；目标在单基地覆盖内但不在双基地交集内，双基地就看不见。双基地的“优势”是局部的，不是全域的。
RCS 数据。双基地 RCS 的测量/仿真成本远高于单基地；没有 数据，双基地预算只能给量级，不能给承诺。工程上应先用单基地 RCS 加前向散射模型做灵敏度分析，再决定是否值得做双基地。
把这五条写进预算表，双基地的结论才是可审计的。一个常见的失败模式是：几何计算给出 14 dB 增益，RCS 假设 ，同步损耗只写 1 dB，最后外场测试发现只比单基地好 2 dB——不是方程错了，而是三个假设都偏乐观。
2.8 不确定度、敏感度与裕量
前面的预算给出的是一组标称值：、、、。评审时真正会被问的是：“这些数错 1 dB，距离差多少？”“哪个参数最值得花钱去测准？”“标称 70 km，能保证 90% 的场合不低于多少？”这三个问题分别对应敏感度、误差传播和裕量。没有这三样，预算表只是一张漂亮的算术纸。
2.8.1 对数偏导：把“差多少”变成指数
雷达方程在固定检测信噪比下可以写成幂律形式：
其中 是第 个参数（功率、增益、损耗、噪声系数、RCS、时间等）， 是它的标度指数。两边取对数：
对 求偏导：
这个无量纲数就是敏感度：参数 变化 1%，距离变化 %；参数变化 1 dB，距离变化 dB。多出的因子 2 来自“距离 dB 用 、参数 dB 用 ”的换算：，而 。把两者都写成自然对数，，，相除即得因子 2。这个细节不写清楚，敏感度表会差一倍。
对单基地雷达的距离形式
取对数并微分，得到各参数的指数：
对搜索雷达的资源形式
指数为
表 2-10 把两种形式的指数和“距离 dB/dB”放在一起。注意“增益”的指数在单基地形式中是 ，在搜索形式中如果固定有效孔径 ，增益根本不出现；如果固定增益 而改变频率，波长又以 的指数进入。同一个参数在不同约束下的敏感度不同，谈敏感度必须先说“固定什么、改变什么”。
表 2-10 雷达方程中各参数的标度指数与距离敏感度
| 参数 | （单基地） | （搜索） | 距离 dB/dB（单/搜索） | 说明 |
|---|---|---|---|---|
| 平均功率 | 0.25 | 0.25 | 0.5 / 0.5 | 1 dB 功率换 0.5 dB 距离 |
| 驻留/帧时间 | 0.25 | 0.25 | 0.5 / 0.5 | 受更新率/机动约束 |
| 天线增益 | 0.50 | 0.25（用 形式） | 1.0 / 0.5 | 单基地；搜索用 或 |
| 有效孔径 | 0.50 | 0.25 | 1.0 / 0.5 | 搜索方程按 归一化 |
| 波长 | 0.50 | 0.50（固定 ） | 1.0 / 1.0 | 固定 ；固定 见正文 |
| 目标 RCS | 0.25 | 0.25 | 0.5 / 0.5 | 不可控，但可通过极化/频率改善 |
| 损耗 | -0.25 | -0.25 | -0.5 / -0.5 | 1 dB 损耗 = 0.5 dB 距离 |
| 噪声系数 | -0.25 | -0.25 | -0.5 / -0.5 | 与 同权 |
| 检测信噪比 | -0.25 | -0.25 | -0.5 / -0.5 | 检测算法/起伏模型决定 |
| 搜索立体角 | — | -0.25 | — / -0.5 | 缩小空域等于增加距离 |
| 波位效率 | — | 0.25 | — / 0.5 | 波位编排/重叠 |
这张表最容易被误读的是“增益 1.0”。它不表示“增益比功率更值钱”，而表示“在波长固定、孔径可变的单基地雷达中，增益每提高 1 dB，距离提高 1.0 dB”。如果孔径已经固定、只能换频率，那么 ，，单基地距离按 变化（距离 dB/dB 为 -1.0）；只有搜索方程用 归一化时， 才不出现。如果增益固定、波长可变， 的指数是 0.5（距离 dB/dB 为 1.0）。工程上不能把表 2-10 的某一列无条件套用。
2.8.2 误差传播：RSS、最坏值与相关性
设每个参数有小的相对误差 ，则距离的相对误差近似为
在 dB 域，若 是参数的分贝误差，则
这是线性化公式，适用于 ；误差更大时，幂律的曲率不可忽略，应该直接算上下界。
若各参数误差独立、均值为零，则距离误差的方差为
这就是 RSS（root-sum-square）合成。若参数之间存在相关性（例如温度同时影响损耗和噪声系数，或频率同时影响增益和大气衰减），还要加协方差项：
正相关会使误差放大，负相关会抵消。工程上最常见的正相关是“温度”：天线罩损耗、LNA 噪声、电缆损耗随温度同向变化；把它们当独立变量做 RSS，会低估总误差 20–40%。
最坏值是另一极端：
最坏值适合“不能失败”的场合（安全、载人、单次任务），但它通常过于悲观：8 个独立参数各 3σ 同时朝一个方向，概率极低。RSS 适合“大量样本/长期运行”的场合，它给出的是 1σ，不是保证值。正确做法是两者都算，再根据任务要求选择分位数。
算例：搜索雷达的距离不确定度。设各参数的分贝误差（1σ）为：损耗 0.85 dB（8 项 0.3 dB 的 RSS）、噪声系数 0.30 dB、检测信噪比 0.50 dB、增益 0.40 dB、帧时间 0.10 dB、搜索立体角 0.20 dB。指数绝对值均为 0.25，系数 。则
距离的相对标准差为 。注意： 是距离域（）的 dB，对应的距离比是 1.067；同一比值在功率域是 ，即 13.9% 的功率差异。把“距离 dB”和“功率 dB”混着写，6.7% 会被误读成 13.9%，或者反过来。
90% 区间（假设正态）为 ，即距离 的 90% 区间约为 62.9–77.9 km。最坏值（各误差直接相加）为
对应 14.5%。RSS 的 1σ（6.7%）与最坏值（14.5%）相差一倍多；如果预算只写“±8%”，既不是 1σ 也不是最坏值，评审无法判断它代表什么。
2.8.3 敏感度表：哪些参数最值得投钱
敏感度指数只回答“物理上谁的影响大”，不回答“改它要花多少钱”。把两者结合，才能得到投资优先级。表 2-11 给出搜索雷达的典型判断。
表 2-11 搜索雷达参数的投资优先级
| 参数 | 距离敏感度（dB/dB） | 典型不确定度 | 改善 1 dB 的代价 | 优先级 |
|---|---|---|---|---|
| 损耗 | -0.5 | 0.5–2 dB | 设计/选材/标定，通常最低 | 最高 |
| 噪声系数 | -0.5 | 0.2–0.8 dB | LNA 选型/前端设计，中等 | 高 |
| 检测信噪比 | -0.5 | 0.5–1.5 dB | 波形/积累/CFAR 算法，低–中 | 高 |
| 波位效率 | +0.5 | 0.2–0.5 dB | 波位编排/重叠，软件为主 | 高 |
| 搜索立体角 | -0.5 | 任务决定 | 缩小空域=改变任务，不能算“改善” | 视任务 |
| 帧时间 | +0.5 | 0.1–0.5 dB | 放宽更新率，通常便宜 | 中–高 |
| 平均功率 | +0.5 | 0.2–0.5 dB | 发射机/散热/电源，昂贵 | 中 |
| 有效孔径 | +0.5 | 0.3–0.8 dB | 结构/重量/伺服，很贵 | 中–低 |
| 目标 RCS | +0.5 | 6–20 dB | 不可控；极化/频率可争取 3–6 dB | 视目标 |
| 波长 | +1.0（固定 ） | 频率选择 | 改变频段=重做天线/器件 | 低（早期决定） |
这张表的排序不是绝对的，但它揭示了三个工程事实：
- 损耗和噪声系数是“设计态”参数。同样 1 dB，减少损耗通常比增加功率便宜一个数量级；LNA 噪声系数在方案阶段选型，后期改板代价高。预算审评应该先问“这 8.5 dB 损耗里，哪 1 dB 最容易去掉”，而不是先问“功率能不能加一倍”。
- 检测信噪比是“算法态”参数。从非相参积累改成相参/多普勒滤波，可能省 3–6 dB；CFAR 从单元平均改成有序统计/杂波图，可能省 1–2 dB。这些改善不需要改硬件，但需要算力和波形自由度。
- 功率和孔径是“资源态”参数。它们按 0.5 dB/dB 换距离（指数 0.25），投入大、周期长；在方案早期改有效，后期只能微调。把 80% 的预算花在最后 1 dB 功率上，通常是最差的投资组合。
频率的陷阱：表 2-11 给波长 1.0 dB/dB 的敏感度，前提是“固定增益、只改波长”。实际改频段会同时改变天线尺寸、大气衰减、目标 RCS、器件噪声。把 1.0 当成“降频 1 dB 换 1 dB 距离”会得出错误结论；低频的波长优势往往被更大的天线和更窄的可用带宽抵消。
2.8.4 蒙特卡罗预算：从 1σ 到分布
RSS 只给均值和方差，不给分布；最坏值只给边界，不给概率。蒙特卡罗把每个参数按分布抽样，直接算距离的分布，能得到 、超差概率和参数贡献度。步骤：
- 定义输入分布：标定误差用正态；制造公差用均匀；雨衰用对数正态/威布尔；遮挡/故障用伯努利；参数间相关性用 Copula 或协方差矩阵。
- 抽样：–；每个样本算一次 。纯 Python 的 10 万次循环在秒级，足够方案阶段使用。
- 统计：均值、标准差、分位数、直方图；用 作为风险度量。
- 贡献度：固定其他参数、只让第 个参数变化，算方差贡献；或算 Spearman 秩相关。贡献度最大的参数就是最该测准/控制的参数。
- 收敛检查：分位数的标准误差约为 ；10 万样本的 5%/95% 分位数标准误差约为 0.1–0.3 dB。样本翻 4 倍，误差减半。
蒙特卡罗的价值不在于“更精确”，而在于它能处理非线性、截断和相关性。例如雨衰的分布是长尾的，RSS 会低估 95% 分位；损耗有“晴天/雨天”两个模态，均值和方差不能描述双峰；这些用蒙特卡罗一目了然。
2.8.5 裕量分配：设计裕量、统计裕量与任务风险
裕量不是“在标称值上随便加 3 dB”。至少分三类：
- 设计裕量：覆盖制造公差、老化、环境（温度、雨、多径）等已知但不可控的偏差；按最坏值或 95% 分位取。
- 统计裕量：覆盖参数估计的不确定度；按 RSS/蒙特卡罗的分布取，通常 1σ 或 90%。
- 任务裕量：覆盖任务想定中的未知（目标 RCS 比预期低、战术机动、干扰）；按作战分析取，可能是 3–6 dB。
三类裕量不能重复计算。若 已经按雨天最坏值取，就不能再加“雨天裕量”；若 已经按 Swerling 1 的 90% 取，就不能再加“起伏裕量”。审计时把每个裕量映射到它覆盖的变量，画一张“裕量—变量”矩阵，重复的项合并。
算例：要求 （90% 的任务条件下）。标称 。
- 若设计能把距离标准差控制在 （2.6%，即 0.23 dB），则
有 3.4 km 余量（约 0.41 dB 距离，对应 0.82 dB 能量）。
- 若按 2.8.2 节的 （6.7%，在 76 km 处约 5.1 km），则
差 0.5 km，不满足。要满足，要么把标称提高到 （+0.5 km，约 0.06 dB 距离），要么把 从 5.1 km 降到 （从 0.564 dB 降到 0.52 dB）。前者几乎不花钱，后者要重新做损耗标定。这个例子说明：裕量不足时，先算“加标称”和“降不确定度”两条路的代价，再决定；不要条件反射地加功率，也不要教条地降不确定度。
若标称只有 72 km、，则 ，差 0.6 km；把标称提高 0.6 km（0.07 dB 距离，0.14 dB 能量）就能满足，代价远小于把 从 2.0 降到 1.56 km。这个反例说明“先降不确定度”不是教条，要看当前裕量和改善成本。
裕量的代价：距离裕量 1 dB 需要能量 2 dB（1.585 倍）；距离裕量 3 dB 需要能量 6 dB（4 倍）。如果为了“保险”在功率上多加 3 dB 裕量，实际付出的是 6 dB 的功率资源；这 6 dB 可能已经超过整个损耗预算。正确做法是把裕量放在“不确定度最大、改善最便宜”的参数上，而不是统一乘一个 1.5 的安全系数。
表 2-12 裕量分配示例（X 波段搜索雷达）
| 裕量类型 | 覆盖变量 | 取值 | 依据 | 是否与其他项重复 |
|---|---|---|---|---|
| 损耗设计裕量 | 天线罩/雨/多径 | 2.0 dB | 95% 分位 | 已含在 内 |
| 噪声不确定度 | 、 | 0.5 dB | 实测 1σ | 已含在 |
| 检测起伏 | Swerling 1/2 | 2.0 dB | 的 90% | 已含在 |
| 目标 RCS | 未知/极化 | 3.0 dB | 任务分析 | 未含，需单列 |
| 多径/低仰角 | 搜索屏边缘 | 3.0 dB | 射线追踪 | 未含，按波位加 |
| 系统老化 | 发射/接收 | 1.0 dB | 10 年 | 未含，单列 |
把“未含”项明确列出来，比把它们塞进一个“系统裕量 6 dB”更可信。评审时可以看到：标称 70 km 是在“已含损耗/噪声/检测”的条件下，任务裕量（RCS 3 dB、多径 3 dB、老化 1 dB）另算；若任务要求这些条件同时成立，需要补偿 7 dB 的功率代价，对应距离提高 ，即能量增加 7 dB（约 5 倍）。这个数字应该出现在资源账本里，而不是隐藏在一个模糊的“安全系数”里。
2.8.6 敏感度分析的三个常见错误
错误一：把 dB/dB 当成线性比例。 1 dB 功率换 0.5 dB 距离，不是 1 dB 距离；把 0.5 当成 1，会把所需功率低估约 1.6 倍（2 dB）。
错误二：对“距离 dB”和“功率 dB”混用。 距离的 dB 是 ，功率的 dB 是 ；同一个 0.564 dB，对应距离比 1.067（+6.7%），对应功率比 1.139（+13.9%）。预算表必须注明“本表距离 dB 为 ”。
错误三：把相关误差当独立。 温度同时影响损耗和噪声，频率同时影响增益和大气；RSS 之前先问“这些误差是否同源”。同源误差应该合并成一个变量，而不是拆成多项做 RSS。
这三个错误不涉及复杂数学，但每一个都能让预算差 2–4 dB。敏感度分析的目的不是算得更花哨，而是把“哪个参数值得测、哪个裕量不能省、哪个误差被重复计算”这三件事说清楚。
2.9 完整 Python 预算工具：从公式到可复算的账本
预算表在电子表格里最容易出的错不是公式不会写，而是“同一个参数抄了三份、改了一处忘了另两处”。一个可复算的工具至少要做到四点：参数只定义一次；线性域/dB 域的转换集中在一个函数；距离、信噪比、敏感度、蒙特卡罗共用同一套方程；输出能直接贴进评审表。下面这段代码只用 Python 标准库，不依赖 NumPy/SciPy；它的默认参数就是 2.10 节 X 波段案例，输出应与正文的 1500 W、27.17 dB、90.3 km、4.42 dB 对得上；542 W 的阈值功率可用搜索方程手算核对。
2.9.1 输入参数与数据流
工具的核心是一个不可变的 SearchRadar 数据类。输入分为四组：
表 2-13 预算工具的输入参数
| 组 | 参数 | 默认值 | 单位 | 来源/说明 |
|---|---|---|---|---|
| 发射 | 峰值功率 | 41.7609 dBW（15 kW） | dBW | 发射机输出，含发射馈线 |
| 发射 | 占空比 | 0.10 | — | |
| 天线 | 增益 | 38.75 dB | dBi | 含阵面效率，不含扫描损失 |
| 天线 | 波位效率 | 0.295 | — | 波位编排，不含扫描损失 |
| 波形 | 频率 | 9.0 GHz | Hz | |
| 波形 | PRF | 1500 Hz | Hz | 决定脉冲数与距离模糊 |
| 目标 | RCS | -3.0103 dBsm（0.5 m²） | dBsm | 设计最坏值 |
| 环境 | 损耗 | 8.5 dB | dB | 表 2-6 的损耗树 |
| 接收 | 噪声系数 | 2.2 dB | dB | 天线端口定义 |
| 接收 | 噪声温度 | 290 K | K | 标准温度 |
| 搜索 | 立体角 | 0.2177 sr | sr | 360°×2° 有效值 |
| 搜索 | 净搜索时间 | 11.0 s | s | 不含调度开销 |
| 检测 | 要求信噪比 | 22.75 dB | dB | Swerling 1 + 波束形状 |
数据流是单向的：
每一步都用一个 @property 或纯函数实现，避免“在表格里手算中间量”。range_at_snr() 只做一件事：把 的表达式反解成 ；snr_at_range() 做正向检查；audit_table() 输出 dB 账本；sensitivity() 对每个参数加 1 dB 重算；monte_carlo() 按分布抽样。四个函数共用同一个 snr_at_range()。
2.9.2 完整代码
#!/usr/bin/env python3
"""ch02_budget.py — 搜索雷达链路预算、敏感度与蒙特卡罗工具。
只依赖 Python 标准库。所有功率/增益/损耗均以 dB 输入，内部转线性。
运行: python ch02_budget.py
"""
from __future__ import annotations
import math
import random
from dataclasses import dataclass, replace
K_B = 1.380649e-23 # J/K
C0 = 299_792_458.0 # m/s
def db(x: float) -> float:
return 10.0 * math.log10(x)
def undb(x: float) -> float:
return 10.0 ** (x / 10.0)
def db20(x: float) -> float:
return 20.0 * math.log10(x)
@dataclass(frozen=True)
class SearchRadar:
name: str = "X-band ground search"
pt_dbw: float = 41.7609 # 15 kW
duty: float = 0.10 # 10%
g_db: float = 38.75 # 7499
freq_hz: float = 9.0e9 # lambda = 0.03331 m
sigma_dbsm: float = -3.0103 # 0.5 m^2
loss_db: float = 8.5
nf_db: float = 2.2
t0_k: float = 290.0
omega_sr: float = 0.2177
eta_b: float = 0.295
tf_s: float = 11.0
snr_req_db: float = 22.75
prf_hz: float = 1500.0
@property
def pav_w(self) -> float:
return undb(self.pt_dbw) * self.duty
@property
def wavelength_m(self) -> float:
return C0 / self.freq_hz
@property
def gain(self) -> float:
return undb(self.g_db)
@property
def sigma_m2(self) -> float:
return undb(self.sigma_dbsm)
@property
def loss(self) -> float:
return undb(self.loss_db)
@property
def nf(self) -> float:
return undb(self.nf_db)
@property
def n0(self) -> float:
return K_B * self.t0_k * self.nf
@property
def n_beams(self) -> float:
return self.omega_sr * self.gain / (4.0 * math.pi * self.eta_b)
@property
def td_s(self) -> float:
return self.tf_s / self.n_beams
@property
def n_pulses(self) -> int:
return int(math.floor(self.td_s * self.prf_hz))
@property
def energy_per_beam_j(self) -> float:
return self.pav_w * self.td_s
@property
def energy_per_frame_j(self) -> float:
return self.pav_w * self.tf_s
def snr_at_range(self, r_m: float) -> float:
"""单波位匹配滤波信噪比（线性）。"""
num = (self.pav_w * self.td_s * self.gain ** 2
* self.wavelength_m ** 2 * self.sigma_m2)
den = ((4.0 * math.pi) ** 3 * r_m ** 4
* self.loss * self.n0)
return num / den
def range_at_snr(self, snr_db: float | None = None) -> float:
"""给定检测信噪比，反解最大距离（m）。"""
snr = undb(self.snr_req_db if snr_db is None else snr_db)
num = (self.pav_w * self.td_s * self.gain ** 2
* self.wavelength_m ** 2 * self.sigma_m2)
den = (4.0 * math.pi) ** 3 * self.loss * self.n0 * snr
return (num / den) ** 0.25
def audit_table(self) -> list[tuple[str, float, str]]:
"""返回 dB 账本：(项目, dB 值, 说明)。"""
return [
("P_av", db(self.pav_w), "平均功率（W）"),
("G^2", 2.0 * self.g_db, "天线增益平方"),
("lambda^2", db(self.wavelength_m ** 2), "波长平方"),
("sigma", self.sigma_dbsm, "目标 RCS"),
("T_d", db(self.td_s), "每波位驻留"),
("(4pi)^3", -db((4.0 * math.pi) ** 3), "球面扩散"),
("L", -self.loss_db, "系统损耗"),
("kT0F", -db(self.n0), "噪声谱密度"),
("SNR_req", -self.snr_req_db, "检测要求"),
]
def sensitivity(r: SearchRadar) -> dict[str, float]:
"""每个参数 +1 dB 时，距离变化多少 dB（20log10 定义）。"""
base = r.range_at_snr()
tests = {
"P_av": replace(r, pt_dbw=r.pt_dbw + 1.0),
"G": replace(r, g_db=r.g_db + 1.0),
"lambda": replace(r, freq_hz=r.freq_hz / undb(1.0)),
"sigma": replace(r, sigma_dbsm=r.sigma_dbsm + 1.0),
"T_d": replace(r, tf_s=r.tf_s * undb(1.0)),
"L": replace(r, loss_db=r.loss_db + 1.0),
"F": replace(r, nf_db=r.nf_db + 1.0),
"SNR_req": replace(r, snr_req_db=r.snr_req_db + 1.0),
"Omega": replace(r, omega_sr=r.omega_sr * undb(1.0)),
"eta_b": replace(r, eta_b=r.eta_b * undb(1.0)),
}
return {k: db20(v.range_at_snr() / base) for k, v in tests.items()}
def monte_carlo(r: SearchRadar, n: int = 100_000, seed: int = 2026,
sigma_target_db: float = 0.0) -> dict[str, float]:
"""独立正态误差下的距离分布；返回 dB 统计。"""
rng = random.Random(seed)
sig = {"L": 0.85, "F": 0.30, "SNR": 0.50, "G": 0.40,
"Tf": 0.10, "Omega": 0.20, "sigma": sigma_target_db}
vals: list[float] = []
for _ in range(n):
rr = replace(
r,
loss_db=r.loss_db + rng.gauss(0.0, sig["L"]),
nf_db=r.nf_db + rng.gauss(0.0, sig["F"]),
snr_req_db=r.snr_req_db + rng.gauss(0.0, sig["SNR"]),
g_db=r.g_db + rng.gauss(0.0, sig["G"]),
tf_s=r.tf_s * undb(rng.gauss(0.0, sig["Tf"])),
omega_sr=r.omega_sr * undb(rng.gauss(0.0, sig["Omega"])),
sigma_dbsm=r.sigma_dbsm + rng.gauss(0.0, sig["sigma"]),
)
vals.append(db20(rr.range_at_snr() / 1000.0)) # dB(km)
vals.sort()
def pct(p: float) -> float:
k = min(len(vals) - 1, max(0, int(round(p / 100.0 * (len(vals) - 1)))))
return vals[k]
mean = sum(vals) / len(vals)
var = sum((v - mean) ** 2 for v in vals) / (len(vals) - 1)
return {"mean_dbkm": mean, "std_db": math.sqrt(var),
"p05_dbkm": pct(5), "p50_dbkm": pct(50), "p95_dbkm": pct(95),
"risk_below_70km": sum(1 for v in vals if v < db20(70.0)) / len(vals)}
def main() -> None:
r = SearchRadar()
print(f"== {r.name} ==")
print(f"P_av={r.pav_w:.1f} W, lambda={r.wavelength_m:.5f} m, "
f"N_beams={r.n_beams:.1f}, T_d={r.td_s*1e3:.2f} ms, "
f"N_p={r.n_pulses}")
print(f"E_beam={r.energy_per_beam_j:.2f} J, "
f"E_frame={r.energy_per_frame_j/1e3:.2f} kJ")
print("\n-- dB audit --")
total = 0.0
for name, value, note in r.audit_table():
total += value
print(f"{name:>9s} {value:8.3f} dB {note}")
print(f"{'sum':>9s} {total:8.3f} dB -> 40log10(R)")
r70 = 70_000.0
snr70 = db(r.snr_at_range(r70))
rmax = r.range_at_snr()
print(f"\nSNR @70 km = {snr70:.2f} dB; margin = {snr70-r.snr_req_db:.2f} dB")
print(f"R_max @threshold = {rmax/1000:.2f} km")
print("\n-- sensitivity (dR_dB per +1 dB parameter) --")
for k, v in sensitivity(r).items():
print(f"{k:>8s}: {v:+.3f} dB")
print("\n-- Monte Carlo (system only, 100k) --")
mc = monte_carlo(r, 100_000, sigma_target_db=0.0)
for k, v in mc.items():
print(f"{k:>16s}: {v:.4f}")
print("\n-- Monte Carlo (with 3 dB target RCS sigma, 100k) --")
mc2 = monte_carlo(r, 100_000, sigma_target_db=3.0)
for k, v in mc2.items():
print(f"{k:>16s}: {v:.4f}")
if __name__ == "__main__":
main()
2.9.3 预期输出
python ch02_budget.py 约 1.2 s 跑完，输出如下（末位可能因浮点舍入不同）：
== X-band ground search ==
P_av=1500.0 W, lambda=0.03331 m, N_beams=440.4, T_d=24.98 ms, N_p=37
E_beam=37.47 J, E_frame=16.50 kJ
-- dB audit --
P_av 31.761 dB 平均功率（W）
G^2 77.500 dB 天线增益平方
lambda^2 -29.548 dB 波长平方
sigma -3.010 dB 目标 RCS
T_d -16.024 dB 每波位驻留
(4pi)^3 -32.976 dB 球面扩散
L -8.500 dB 系统损耗
kT0F 201.775 dB 噪声谱密度
SNR_req -22.750 dB 检测要求
sum 198.227 dB -> 40log10(R)
SNR @70 km = 27.17 dB; margin = 4.42 dB
R_max @threshold = 90.30 km
-- sensitivity (dR_dB per +1 dB parameter) --
P_av: +0.500 dB
G: +0.500 dB
lambda: +1.000 dB
sigma: +0.500 dB
T_d: +0.500 dB
L: -0.500 dB
F: -0.500 dB
SNR_req: -0.500 dB
Omega: -0.500 dB
eta_b: +0.500 dB
-- Monte Carlo (system only, 100k) --
mean_dbkm: 39.1124
std_db: 0.5636
p05_dbkm: 38.1829
p50_dbkm: 39.1125
p95_dbkm: 40.0379
risk_below_70km: 0.0000
-- Monte Carlo (with 3 dB target RCS sigma, 100k) --
mean_dbkm: 39.1180
std_db: 1.6005
p05_dbkm: 36.4853
p50_dbkm: 39.1176
p95_dbkm: 41.7494
risk_below_70km: 0.0833
2.9.4 四个数字的交叉核对
输出里有四个可以独立核对的数字：
- dB 账本求和 198.227 dB。它应等于 。 时，，差 0.003 dB 是舍入。若求和不等于 ，先查 是否只算了一次、 是否用了净驻留、 的符号是否写反。
- 70 km 处 27.17 dB、裕量 4.42 dB。它与 2.5.3 的 542 W 阈值功率、2.2.6 的 4.4 dB 裕量一致。若差 0.1 dB 以上，查 用的是 24.98 ms 还是 25.00 ms、 的线性值是否用 1.660。
- 敏感度 0.5/1.0 dB/dB。、、、、、、、、 的指数绝对值都是 0.25，距离敏感度应为 0.5； 的指数是 0.5，距离敏感度为 1.0。若 输出 0.5 而不是 1.0，说明代码把 写成了 ；若 输出 1.0，说明用了 的距离 dB。
- 蒙特卡罗标准差 0.5636 dB。2.8.2 的 RSS 解析值为 0.564 dB，两者应一致（独立正态、线性化范围内）。蒙特卡罗的均值 39.1124 dBkm 对应 90.30 km，与
R_max一致； dBkm 对应 81.1 km， dBkm 对应 100.5 km。含 3 dB 目标 RCS 不确定度时，标准差升到 1.60 dB，——这就是“目标 RCS 不知道”对任务风险的真实贡献。
2.9.5 把工具扩展到搜索、双基地与 SAR
这段代码是“单波位”版本；扩展到其他模式只需换三个地方：
- 搜索方程：把
td_s改为tf_s / n_beams，把n_beams = omega*g/(4*pi*eta_b)显式写出来，并在输出表里增加 三行。snr_at_range()的形式不变，因为搜索方程只是 的代入。 - 双基地：把分母的 改为 ，增加
rt_m、rr_m两个输入；range_at_snr()改为先算 ，再调用单基地反解。同步损耗作为额外loss_db加入，RCS 用sigma_b_dbsm。 - SAR NESZ：新增
nesz()函数，按 2.6.5 的几何形式或简化形式计算；输入增加bandwidth_hz、incidence_deg、velocity_mps、az_res_m。不要复用snr_at_range()的距离反解，因为 NESZ 是“给定几何算灵敏度”，不是“给定 SNR 算距离”。
工具的价值不在代码长度，而在“每个数字都能追溯到一行输入”。评审时把 SearchRadar(...) 的构造参数贴进附录，任何人换一台机器都能复算出同一张表；这比在 PPT 里写“约 70 km”可信得多。
2.10 两个完整案例：X 波段地面搜索与 S 波段宽带 SAR
这一节把前面的方程、损耗、噪声、搜索时间、敏感度和工具串成两条完整的预算链。两个案例的参数都是自洽的假设，不对应任何装备型号；所有数字都可以用 2.9 节的工具或手算复现。第一个案例与第 1 章的边境扇区案例形成对照：同样是 X 波段、同样是低空目标，但搜索屏、目标 RCS、帧时间和资源分配完全不同。第二个案例把预算对象从“点目标距离”换成“分布式目标 NESZ”，用来说明 SAR 为什么不能套搜索方程。
2.10.1 案例 A：X 波段地面搜索雷达的任务与几何
任务假设：
- 搜索屏：方位 ，俯仰 –，有效立体角 ；
- 目标：RCS ，Swerling 1，径向速度 50–300 m/s；
- 要求距离：（在 、、晴空、无干扰条件下）；
- 更新率：净搜索帧 ，帧周期约 12.4 s（调度效率 0.89）；
- 平台：固定塔，天线架高 20 m，方位机械/电扫结合，俯仰电扫；
- 环境：地杂波、低空多径、10 mm/h 雨胞（2.2 dB 双程已计入损耗）。
天线与波形：
- 阵面 ，物理面积 ，孔径效率 0.848；
- 增益 ；
- 波长 （）；
- 有效孔径 ；
- 3 dB 波束约 ，波位间距取 0.65 倍波束宽度，波位效率 ；
- 波位数 ；
- 每波位驻留 ；
- PRF ，脉冲宽度 ，占空比 10%，峰值功率 ，平均功率 ；
- 每波位 37 个脉冲，实际占用 24.67 ms，留 0.33 ms 给波束切换；
- 最大不模糊距离 ，70 km 目标不折叠，但 130 km 的强杂波会折叠到 70 km 附近，需要杂波图/参差 PRF 抑制。
损耗按表 2-6 取 8.5 dB：发射馈线 1.0、天线罩 1.0（双程）、扫描 1.5（双程）、极化 0.3（双程）、大气 0.4（双程）、雨衰 2.2（双程）、脉压加窗 1.0、CFAR 0.8、跨单元 0.3。噪声系数 （天线端口），。
检测要求 的构成：Swerling 1、、、单脉冲的理想值约 21.2 dB；加 1.55 dB 波束边缘/极化起伏。跨距离单元的 0.3 dB 已在 中，不再重复；这一点必须在表头写清楚，否则 22.75 与 8.5 会互相“吃掉”对方的裕量。
2.10.2 案例 A：逐项预算与搜索方程核对
用 2.9 节的工具，dB 账本如下。表中“符号”一列的正负号已经按“分子为正、分母为负”整理； 等于所有项之和。
表 2-14 X 波段搜索雷达的 dB 账本（70 km 工作点）
| 项目 | 数值（dB） | 说明 |
|---|---|---|
| +31.761 | 1.5 kW | |
| +77.500 | ||
| -29.548 | m | |
| -3.010 | 0.5 m² | |
| -16.024 | 24.98 ms | |
| -32.976 | 球面扩散 | |
| -8.500 | 表 2-6 | |
| +201.775 | W/Hz | |
| -22.750 | 检测要求 | |
| 合计 | +198.227 |
由合计值反解：
这是在 阈值下的最大距离。任务要求 70 km，因此设计裕量为
在 70 km 处，实际信噪比为 。用正向方程核对：
用搜索方程核对所需平均功率：
设计值 1.5 kW 是 542 W 的 2.77 倍，即 4.42 dB；与逐项预算完全一致。这个三方核对（逐项 dB 账本、正向 SNR、搜索方程）是案例 A 最重要的自检：三个数字必须同时成立，任何一个差 0.1 dB 以上都要查参考面。
逐脉冲核对：70 km 处接收功率 ；噪声谱密度 ；脉冲宽度 66.7 µs 的能量 对应单脉冲匹配滤波信噪比
37 个脉冲相参积累增益 ，总信噪比 ，与能量法的 27.17 dB 差 0.07 dB（来自 的 24.98 ms 与 37 个脉冲 24.67 ms 的取整）。这 0.07 dB 就是“驻留时间取整损失”，在预算表里应写明，而不是悄悄四舍五入。
敏感度（工具输出，参数 +1 dB 时距离变化）：
| 参数 | 距离变化（dB） | 工程含义 |
|---|---|---|
| +0.50 | 功率翻倍（+3 dB）只换 +1.5 dB 距离 | |
| +0.50 | 增益 +1 dB 换 +0.5 dB 距离 | |
| +1.00 | 固定增益时，波长 +1 dB 换 +1 dB 距离 | |
| +0.50 | RCS 减半（-3 dB）距离降到 58.9 km | |
| +0.50 | 驻留翻倍（+3 dB）换 +1.5 dB 距离 | |
| -0.50 | 损耗 +1 dB 距离降到 66.1 km | |
| -0.50 | 噪声 +1 dB 距离降到 66.1 km | |
| -0.50 | 检测要求 +1 dB 距离降到 66.1 km | |
| -0.50 | 搜索空域翻倍（+3 dB）距离降到 58.9 km | |
| +0.50 | 波位效率 +1 dB 换 +0.5 dB 距离 |
这张表最有用的读法是“1 dB 值多少公里”：在 70 km 工作点，1 dB 损耗/噪声/检测要求约等于 3.9 km 距离；1 dB 功率/增益/驻留也约等于 3.9 km 距离，但前者通常更容易通过设计改善。RCS 减半则直接把距离拉到 58.9 km，说明“目标比预期小 3 dB”比“损耗多 1 dB”严重得多。
2.10.3 案例 A 与第 1 章案例的对照
第 1 章的边境扇区案例是 12 km、0.05 m²、120°×20°、5 s、500 W 平均功率、600 个波位、8.33 ms 驻留、83 个脉冲；本案例是 70 km、0.5 m²、360°×2°、11 s、1.5 kW、440 个波位、25 ms、37 个脉冲。表 2-15 把两者放在一起。
表 2-15 两个 X 波段搜索案例的对照
| 项目 | 第 1 章边境扇区 | 本章地面搜索 |
|---|---|---|
| 作用距离 | 12 km | 70 km |
| 目标 RCS | 0.05 m² | 0.5 m² |
| 搜索空域 | 120°×20°（0.716 sr） | 360°×2°（0.2177 sr） |
| 帧时间 | 5 s | 11 s |
| 平均功率 | 500 W | 1.5 kW |
| 天线增益 | 39.5 dB | 38.75 dB |
| 波位数 | 600 | 440 |
| 每波位驻留 | 8.33 ms | 25 ms |
| 每波位脉冲 | 83 | 37 |
| 距离分辨率 | 15 m（10 MHz） | 75 m（2 MHz） |
| 主要难点 | 小 RCS、宽俯仰、短帧 | 低仰角多径、杂波、雨衰 |
两者的结论不能直接用“距离谁更远”比较，因为任务完全不同。把本章的资源（1.5 kW、38.75 dB、11 s）直接套到第 1 章的任务（120°×20°、0.05 m²），仅立体角增大 3.29 倍（5.17 dB）、RCS 降低 10 dB，两项合计 15.17 dB 能量损失，距离按 缩到 。这还没有算俯仰波束展宽、低仰角杂波和 15 m 分辨率带来的带宽/噪声增加。同一个“70 km”在另一个搜索屏和另一个目标下会变成 29 km，这不是雷达变差，而是任务变了。
反过来，第 1 章的 12 km 案例在 0.05 m²、120°×20° 下能用 500 W 做到，说明它的能量效率并不低；它的难点在“宽俯仰 + 小目标 + 5 s 帧”三者的乘积。本章案例的 4.4 dB 裕量看起来比第 1 章的 2.5 dB 宽，但本章的 8.5 dB 损耗里已经包含 2.2 dB 雨衰和 1.5 dB 扫描损失；晴天时实际裕量约 6.6 dB，雨天时才是 4.4 dB。第 1 章的 8 dB 损耗没有明确雨天假设，两者的“裕量”也不是同一口径。跨案例比较裕量之前，先比较损耗清单和检测口径。
2.10.4 案例 B：S 波段宽带 SAR 的 NESZ 预算
任务假设：
- 载频 3.2 GHz，波长 0.0937 m；
- 带宽 120 MHz，脉冲宽度 33.3 µs，PRF 3000 Hz，占空比 10%，峰值功率 10 kW，平均功率 1 kW；
- 天线增益 35 dB（3162），方位孔径 6 m；
- 平台速度 7500 m/s，作用距离 250 km，入射角 40°；
- 噪声系数 2.5 dB，系统损耗 3.5 dB；
- 单视、全孔径、条带模式，方位分辨率取 。
由 2.6.5 的推导，单视 NESZ 为
把参数代入，得到 。表 2-16 是同一结果的 dB 账本，分子项为正、分母项为负。
表 2-16 S 波段 SAR 的 NESZ dB 账本
| 项目 | 数值（dB） | 说明 |
|---|---|---|
| +39.00 | 常数 | |
| +161.94 | km | |
| +3.50 | 系统损耗 | |
| -201.48 | W/Hz | |
| +80.79 | 120 MHz | |
| +38.75 | 7500 m/s | |
| -1.92 | 40° | |
| 分子合计 | +120.58 | |
| -30.00 | 1 kW | |
| -70.00 | 35 dB | |
| +30.85 | ，作为分母项取正 | |
| -84.77 | m/s | |
| 分母合计 | -153.92 | |
| NESZ | -33.34 | 分子减分母 |
用几何形式核对：
两个形式相差 0.04 dB，来自 的取整（3162 而非 3162.3）和 的舍入。
点目标核对：同一几何下，1 m² 点目标的匹配滤波信噪比为
像素 RCS 为 ，比 1 m² 低 25.7 dB，正好把像素信噪比降到 0 dB。这就是 NESZ 的定义： 时，一个分辨单元的 SNR 为 1。
分辨率与多视：距离分辨率 1.94 m，方位分辨率 3.0 m，像素面积 5.82 m²。若做 4 视非相干平均，斑点噪声标准差降为 1/2，图像强度的相对起伏减半，但按平均功率定义的 NESZ 仍为 ；只有把 NESZ 定义为“均值信号等于噪声标准差”时，表观 NESZ 才改善 3 dB。16 视的相对起伏降为 1/4，表观 NESZ 改善 6 dB。多视的代价是方位分辨率变粗到约 6 m（或像素间距变大），单视 NESZ 与方位分辨率无关的结论不变。
2.10.5 为什么 SAR 的预算不能套搜索方程：一个 3 dB 的判据
如果把案例 B 硬套搜索方程，会得到两个错误。第一，搜索方程用 ，而 NESZ 用 。距离从 250 km 翻到 500 km 时，搜索方程预测像素信噪比下降 ，NESZ 预测恶化 ，差 3.0 dB。第二，搜索方程用点目标 ，而 SAR 的像素 RCS 随 增长（距离向地面投影和方位向合成孔径都随 变长），正好抵消一个 。把这两个错误叠加，远距离 SAR 的灵敏度会被低估 3 dB 以上。
更根本的区别在“能量怎么分”：
- 搜索雷达把一帧能量分给 个波位，每个波位只照一个分辨单元； 是硬约束。
- SAR 的波束足印内同时有成千上万个分辨单元，距离/多普勒正交分离，所有单元共享同一段照射时间； 由波束宽度和平台速度决定，不是由“波位数”除出来的。
- 搜索方程的 是“要扫多大空域”；SAR 的 NESZ 没有 ，只有分辨单元面积 和照射时间 。
- 搜索方程的检测对象是“未知是否存在的点目标”；SAR 的检测对象是“已知有散射的地面分辨单元”，NESZ 是灵敏度指标，不是检测概率。
因此，SAR 的预算可以借用雷达方程的能量形式，但不能借用搜索方程的时间/空域归一化。把 2.6.5 的几何形式记住，比记简化公式更有用：只要 、、、、 定义清楚，任何 SAR 几何（条带、聚束、滑动聚束、双基地）都能从同一个能量式出发，再乘各自的几何因子。
2.11 常见误区、评审清单、小结与习题
2.11.1 十个最常见的预算错误
表 2-17 雷达预算的十个高频错误
| # | 错误 | 典型后果 | 正确做法 |
|---|---|---|---|
| 1 | 峰值功率当平均功率，或反过来 | 距离差 3–10 dB | 先算 ，能量形式只用 |
| 2 | 天线罩/大气/雨衰只算单程 | 距离高估 0.5–2 dB | 路径上的损耗乘 2，端口内的乘 1 |
| 3 | 扫描损失既进 又进 | 重复扣 1.5–3 dB | 用法向值，扫描损失只在 出现一次 |
| 4 | 距离 dB 与功率 dB 混用 | 敏感度差一倍 | 距离用 ，功率用 ，表头注明 |
| 5 | 外部噪声/天线温度漏算 | 噪声高估 0.5–3 dB | ，再算 |
| 6 | 积累增益与驻留时间重复 | 距离高估 1.5–8 dB | 能量形式已含积累，不再加 |
| 7 | 搜索方程用 ，忘波位数 | 距离高估 3–6 dB | 搜索方程中 只出现一次，或改用 |
| 8 | 跟踪距离直接等于搜索距离 | 跟踪距离低估 1.5–6 dB | 用 的 次方 |
| 9 | SAR 套搜索方程 | NESZ 差 3–10 dB | 用 、、、 |
| 10 | 裕量重复叠加 | 资源浪费 3–6 dB | 建“裕量—变量”矩阵，同源只取一次 |
这十条里有七条不是数学错误，而是口径错误：每个数字单看都对，合在一起不成立。审计链的价值就在于把口径写在表头，让第二个人能复算。
2.11.2 评审清单
表 2-18 第 2 章预算评审清单
| # | 检查项 | 合格标准 |
|---|---|---|
| 1 | 参考面 | 表头写明 的端口；折算只做一次 |
| 2 | 功率口径 | 的关系自洽；占空比与 PRF 对得上 |
| 3 | 单/双程 | 每个损耗标注程数；路径项乘 2 |
| 4 | 噪声 | 不重复； 与波形匹配 |
| 5 | 检测 | 写明 、Swerling 模型、积累方式；不混用曲线 |
| 6 | 搜索几何 | 由积分给出； 三者乘积闭合 |
| 7 | 时间 | 净搜索时间与帧周期分开；TWS/TAS 占用已计 |
| 8 | 距离模糊 | PRF 与最大不模糊距离匹配；折叠杂波有抑制措施 |
| 9 | 跟踪 | 跟踪驻留、更新率、跟踪容量与搜索时间不冲突 |
| 10 | 双基地 | 、同步误差、 三项都有依据 |
| 11 | SAR | NESZ 用 形式；脉压/方位压缩不重复 |
| 12 | 敏感度 | 每个参数有 dB/dB 系数；最大贡献项已识别 |
| 13 | 不确定度 | 给出 1σ、90%/95% 分位或最坏值；注明分布 |
| 14 | 裕量 | 设计/统计/任务裕量分开；不重复计算 |
| 15 | 复算 | 第二个人能用表内数字复算出同一结果 |
2.11.3 本章小结
本章把雷达方程从“一个公式”拆成五条可审计的链：
- 传播与散射：；峰值、平均、能量、信噪比、距离、搜索六种形式必须选一种，不能混用。
- 噪声： 或 ； 的参考面决定它和 的边界；外部噪声在低噪声前端不可忽略。
- 损耗：路径项双程、端口项单程；8.5 dB 的损耗树必须能逐行对上物理位置。
- 搜索/跟踪/成像：搜索方程 ；跟踪距离按驻留比 次方；SAR NESZ 按 、、，不能套搜索方程。
- 不确定度：；距离 dB 敏感度 ；RSS/最坏值/蒙特卡罗三选一，裕量按变量分配。
如果只能记住一句话：雷达预算的可靠性不取决于公式的精度，而取决于每个数字的参考面、程数和不确定度是否写清楚。
2.11.4 与第 3 章的衔接
第 2 章默认了三件事：匹配滤波能达到 、噪声带宽 与波形匹配、脉压增益 可以单独计算。这三件事在第 3 章才会被严格证明：解析信号与复包络、采样定理、FFT、匹配滤波、LFM 的时宽带宽积、加窗与旁瓣。带着本章的三个数进入第 3 章——脉冲宽度 、带宽 、PRF——第 3 章会告诉你它们如何决定采样率、数据量、距离分辨率和多普勒模糊。本章的 是一个“黑箱”，第 3 章会把它打开。
2.11.5 参考文献定位
- ITU-R P.676：大气气体衰减；ITU-R P.837/P.838：降雨模型与比衰减。用于 2.4.6 的大气/雨衰量级，具体工程值应按当地气候查表。
2.11.6 习题
- 方位 、俯仰 – 的搜索屏， 是多少？若 、，波位数是多少？
- 搜索雷达 、、、、、、、，求所需 。
- 上题若跟踪驻留为 100 ms、搜索驻留为 10 ms、跟踪 SNR 要求低 2 dB，求跟踪/搜索距离比。
- 双基地 、、单基地 、、额外损耗 3 dB，求净增益；是否值得？
- 双基地时间同步误差 20 ns，距离和误差是多少？若要求小于 1 m，允许误差是多少？
- 某参数使距离的敏感度为 0.5 dB/dB；若该参数改善 2 dB，距离提高多少 dB？折合百分之多少？
- 六个独立误差分别为 0.5、0.3、0.4、0.2、0.6、0.3 dB，指数绝对值 0.25，求距离误差的 1σ（用 dB 和百分比表示）。
- S 波段 SAR：、、、、、、、、，用简化 NESZ 公式估算；若 翻倍，NESZ 变多少？
- 用 2.9 节工具把 从 11 s 改为 22 s，预测 和 70 km 处裕量，并运行验证。
- 给出一份包含“峰值功率、双程天线罩、单程 CFAR、距离用 10log”的预算表，找出至少三处口径错误并改正。
