无感观测器理论模型（NTSM-SMO-PLL 与 SMO-PLL）

无感观测器理论模型（NTSM-SMO-PLL 与 SMO-PLL）

本文给出重汽重卡 115 kW IPMSM 无感观测器的完整理论模型。 两支观测器：NTSM-SMO-PLL（非奇异终端滑模，主方案）与 SMO-PLL（线性滑模，对照组）。 所有公式与 Simulink 模型 M9_Flux_weakening 中的实现逐一对应。

阅读说明：第 3 节（NTSM-SMO）与第 6 节（PLL）从零基础写起，每引入一个概念都会先讲清"为什么需要它"， 再给公式与推导。没接触过滑模控制或锁相环的读者可直接按顺序读完这两节。

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0. 核心思路有没有变？——没有

环节	NTSM-SMO	SMO	是否改变
电流观测器结构	$L_q\,d\hat i/dt = u-R_s\hat i-v$	同左	未变
滑模控制量 $v$ 的构造	终端滑模控制律 $H$	线性切换项 $z$	未变
滑模面 / 切换函数	积分非奇异终端滑模面 $s$	电流误差饱和函数	未变
反电动势提取	$E_h=\mathrm{LPF}(H,w_c)$	$E_h=\mathrm{LPF}(z,w_c)$	未变
角度提取	$\mathrm{atan2}$ + 解卷绕 + 相位补偿	同左	未变
转速提取	$w_e=E_{mag}/\psi$（幅值法） → 二阶 PLL（锁相法）	同左	⭐ 唯一改变
等效磁链 $\psi$ 输出	仍保留供诊断	已不使用	接口未变

⇒ 本次改动只发生在"转速提取"这一个模块内部，两支观测器的滑模部分完全保持原样。 函数签名、输入输出端口数量与含义全部不变，模型连线无需改动。

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1. 被控对象模型（IPMSM 在 αβ 域）

1.1 为什么用 αβ 域

电机三相绕组在物理上是耦合的。为了做无感观测，我们希望把模型写成 "两个独立的、与转子位置无关的电路" —— 这就是 αβ（静止两相）坐标系。 它的好处是：电压、电流、反电动势都是可以直接测量或由三相量变换得到的， 而转子位置 $\theta_e$ 只出现在反电动势里，正好成为我们要估计的对象。

1.2 三相到 αβ（Clarke 变换，等幅值形式）

利用 $i_a+i_b+i_c=0$ 消去 $i_c$，可化简为模型中的实际实现：

模型实现：Clark 子系统，两个 Interpreted MATLAB Function（u(1) 与 (1/sqrt(3))*(u(1)+2*u(2))）。 该式为等幅值 Clarke 的正确等价写法，$|i_{\alpha\beta}|$ 等于相电流幅值（已在模型中核实）。

1.3 αβ 电压方程

以 $L_q$ 为电感基准（因为采用"扩展反电动势"建模，把凸极效应并入反电动势项）：

直观理解：这就是一个 RL 串联电路 —— 端电压 = 电阻压降 + 电感压降 + 反电动势。 观测器的任务，就是在不知道 $E_{ex}$ 的前提下，通过已知的 $u$ 和 $i$ 把它"抠"出来。

1.4 扩展反电动势（EEMF）

稳态（$i_d$、$i_q$ 为常数，$di_d/dt=0$）时退化为：

定义等效磁链（模型中的 psi）：

稳态下：

三条重要性质：

1. 幅值正比于转速：$|E_{ex}|=\omega_e\psi$。这是"幅值法求转速"的理论依据，也是它在高速段失效的根源（见 6.0.2 节）。
2. 方向编码了转子位置：矢量的相角就是 $\theta_e$（差一个固定的 $\pi/2$）。这是"锁相法求转速"的依据。
3. $i_d\approx0$ 时 $\psi\approx\psi_f$，反电动势幅值与凸极参数 $L_d$、$L_q$ 无关。

1.5 符号约定

模型采用余弦基准：

反电动势矢量的相角：

⇒ 从反电动势取角度时必须用 $\mathrm{atan2}(-E_\alpha,\,E_\beta)$，而不是 $\mathrm{atan2}(E_\beta,E_\alpha)$。 （前者恰好把 $\pi/2$ 偏置抵消掉。）

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2. 观测器总体结构

两支观测器共享同一套三层结构，唯一区别在第二层的构造：

┌─────────────────────────────────────────────────────────────┐
│  第一层：电流观测器                                          │
│      L_q · dî/dt = u − Rs·î − v                              │
│      这是对象模型 (1.1) 的"复制品"，v 是人为加入的修正量      │
├─────────────────────────────────────────────────────────────┤
│  第二层：滑模控制量 v                                        │
│      NTSM：v = H  ← 终端滑模控制律                            │
│      SMO ：v = z  ← 线性切换项 z = K·sat(x₁,φs)              │
├─────────────────────────────────────────────────────────────┤
│  第三层：反电动势提取与角度/转速                              │
│      E_h   = LPF(v, wc)                                      │
│      θ     = unwrap[atan2(−E_hα, E_hβ)] + atan(ωpll/wc)      │
│      ωpll  = PLL(E_h)          ← 本版改动点                   │
└─────────────────────────────────────────────────────────────┘

电流误差矢量（贯穿全文的核心变量）：

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3. NTSM-SMO 核心（主方案）

3.0 预备知识：滑模控制是什么（零基础可读）

3.0.1 基本思想

我们要让 $\hat i$ 跟踪 $i$，但不知道该施加多大的修正量 $v$（因为我们不知道 $E_{ex}$）。

滑模控制的做法是：不去"算出"这个修正量，而是让 $v$ 在两个极端值之间高速切换， 使误差 $x_1$ 被强行推向一个我们设计的曲面 $s=0$，并在上面保持。

举个最简例子：若希望 $x_1\to0$，取 $v = K\,\mathrm{sgn}(x_1)$。

• $x_1>0$ 时 $v=+K$，把误差往负方向推；
• $x_1<0$ 时 $v=-K$，把误差往正方向推。

只要 $K$ 足够大，误差就会被"夹"在 0 附近 —— 这就是最简单的滑模。

3.0.2 两个阶段

阶段	含义
到达阶段（reaching）	$s$ 从初始值被拉到 $s=0$ 的过程
滑动阶段（sliding）	到达后，系统被约束在 $s=0$ 上运动

滑动阶段有一个极其重要的性质：一旦 $s\equiv0$，系统的运动完全由曲面方程 $s=0$ 决定， 与对象参数（$R_s$、$L_q$）和外部扰动无关。

直观理解：开关量 $v$ 的"平均值"会自动调整到恰好抵消扰动的大小 —— 这正是我们想要的反电动势。这就是滑模观测器能"不求而知"反电动势的根本原因。

3.0.3 为什么叫"终端"（Terminal）

• 线性滑模面（如 $s=x_1$）：误差按指数衰减 $x_1(t)=x_1(0)e^{-\lambda t}$，理论上永远到不了零（渐近收敛）。
• 终端滑模面（含 $|x_1|^r\mathrm{sgn}(x_1)$，$0<r<1$ 的分数幂）： 误差在有限时间内精确到达零。

为什么分数幂能带来有限时间？ 考虑标量方程 $\dot x=-k|x|^r\mathrm{sgn}(x)$，$0<r<1$。分离变量积分：

⇒ 收敛时间是有限的（而指数收敛对应 $T=\infty$）。

3.0.4 为什么叫"非奇异"（Nonsingular）

最原始的终端滑模面写成：

对它求导会出现 $\dot x_1^{\,q/p-1}$，指数 $q/p-1>0$ 没问题； 但如果写成 $s=x_1+\beta\,\dot x_1^{\,p/q}$（$p/q<1$），求导后指数变成负数 $p/q-1<0$， 当 $\dot x_1\to0$ 时项趋于无穷 —— 这就是奇异问题。

本方案采用"积分型"构造规避奇异：把终端项放在积分号内部

求导后得到的是 $|x_1|^r\mathrm{sgn}(x_1)$（指数 $r=0.6>0$），在 $x_1=0$ 处不奇异 ✓

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3.1 电流误差动态

由 (1.1) 与观测器第一层：

两式相减，消去已知的 $u_{\alpha\beta}$：

读法：误差的变化率由三部分决定 —— 电阻自衰减（$-\frac{R_s}{L_q}x_1$）、我们的控制量（$-\frac{H}{L_q}$）、 以及我们想知道的扰动（$+\frac{E_{ex}}{L_q}$）。滑模的任务就是让 $H$ 恰好抵消 $E_{ex}$。

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3.2 积分非奇异终端滑模面

分数幂项：

这个函数作用在矢量上是逐分量进行的。它兼具"符号函数"（给方向）与"分数幂"（小误差处增益相对更大）两重作用。

滑模面（含两个积分项）：

离散化（前向欧拉）：

⚠️ 实现细节：模型中 $I_j$、$I_k$ 各加了 $\pm50$ 的抗饱和限幅，防止极端工况下无限累积。

两个积分项分别做什么？

项	作用
$I_j=\int j_nx_1$	消除稳态误差（积分作用），使 $x_1$ 的平均值为零
$I_k=\int k_n\|x_1\|^r\mathrm{sgn}(x_1)$	提供终端（有限时间）收敛特性

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3.3 控制律

饱和函数（边界层，用于抑制抖振）：

逐项解释：

项	名称	作用
$-R_sx_1$	电阻补偿	抵消 (3.1) 中的 $-R_sx_1$，使误差动态"干净"
$L_q\,j_nx_1$	线性积分项	与滑模面中的 $I_j$ 对应，保证滑模面可达
$L_q\,k_n\|x_1\|^r\mathrm{sgn}(x_1)$	终端项	与 $I_k$ 对应，提供有限时间收敛
$L_q\,k_1s$	线性滑模项	指数收敛到滑模面，保证到达阶段稳定
$L_q\,f\,\mathrm{sat}(s,\phi_s)$	自适应切换项	主切换项，靠它抵消未知的 $E_{ex}$

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3.4 自适应切换增益

逐段分析：

| $|s|$ | $f$ 的近似值 | 说明 | |---|---|---| | $\to0$ | $f\to0$ | 小误差处自动减小增益，抑制抖振 | | 中等 | $f\approx m\|s\|$ | 近似线性增长 | | 大 | $f\to3m$（限幅） | 防止起动大误差时 $H$ 过大 |

限幅 $3m$ 的物理意义：避免起动瞬间 $|s|$ 很大时 $H$ 出现不合理的巨大值。

⚠️ 已知特性：由于 $s\to0$ 时 $f\to0$，滑模面附近的切换能力主要由 $k_1s$ 承担。 但由 3.7 节估算，稳态 $|s|$ 约 7 A（并不小），$f$ 实际长期处于饱和区，故该特性不影响正常工作。

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3.5 到达律推导

第一步：把控制律 (3.3) 代入误差方程 (3.1)：

$-R_sx_1$ 与括号内的 $+R_sx_1$ 恰好抵消：

两边除以 $L_q$：

第二步：对滑模面 (3.2) 求时间导数：

把 (3.5) 代入，$j_nx_1$ 与 $k_n|x_1|^r\mathrm{sgn}(x_1)$ 也被抵消，得到到达律：

这就把复杂的误差动态化简成了一个标量一阶方程 —— 这就是控制律 (3.3) 中每个补偿项存在的意义。

滑模可达性：只要 $f$（或其饱和值 $3m$）在滑模面附近大于 $|E_{ex}|/L_q$，就有 $s\dot s<0$，滑模可达。

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3.6 等效控制原理 ⭐（本节是全文枢纽）

3.6.1 什么是"等效控制"

开关量 $v$（即 $H$ 中的切换部分）以极高频率在 $\pm$ 之间跳变。 虽然它本身是断续的，但它在一个开关周期内的平均值是连续且有意义的 —— 这个平均值称为等效控制 $v_{eq}$。

由 (3.6)：滑模发生时 $\dot s\approx0$（$s$ 在一个电周期内均值为零），故

3.6.2 从等效控制到反电动势

把 (3.7) 代回控制律 (3.3)，注意 (3.3) 中的括号恰好就是 (3.7) 的左端：

⇒ 当 $x_1\to0$（理想滑模）时：

3.6.3 结论与实现

(3.9) 就是"用低通滤波 $H$ 即可提取反电动势"的全部理论依据：

低通在这里承担两个角色：

1. 滤掉开关纹波（$H$ 是高频切换量，我们只要它的平均值）
2. 实现"取平均"这一数学操作（低通 = 滑动平均的连续形式）

⚠️ 实际偏差：真实系统中 $x_1$ 不严格为 0，(3.8) 中的 $-R_sx_1+L_q[j_nx_1+k_n|x_1|^r\mathrm{sgn}(x_1)]$ 会残留进入 $E_h$，使其幅值偏离真实 $E_{ex}$。 残余量与滑模紧度（$|x_1|$ 的大小）直接相关 —— 这是 6.0.2 节讨论"幅值法为何不准"的物理根源。

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3.7 稳态量级估算与参数意义

由 (3.7)，在饱和区 $f\,\mathrm{sat}(s)=3m$（取正），得

以 3000 rpm 为例：$\omega_e=1256.6$ rad/s，$|E_{ex}|=\omega_e\psi_f=229.6$ V，$L_q=12$ mH

代入 $k_1=1500$、$3m=9000$：

⇒ 稳态 $s$ 约 7 A，$f$ 实际长期处于饱和区（$f=3m$），3.4 节提到的"$f\to0$"只在过渡瞬间出现。

参数意义速查：

参数	增大后的效果	代价
$k_1$	到达更快，稳态 $\|s\|$ 更小	抖振增大
$k_n$	终端收敛更快	低速抖振
$m$	切换增益更强，滑模更紧	抖振增大
$\phi_s$	边界层加宽，抖振减小	滑模精度下降

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4. 线性 SMO 核心（对照组）

线性滑模观测器只有一个控制量：

误差方程（同 3.1，只是把 $H$ 换成 $z$）：

滑模面：$x_1=0$（一阶滑模，无终端项、无积分项）

等效控制：滑模发生时 $x_1=0$ 且 $dx_1/dt=0$，代入 (4.2)：

⇒ 比 NTSM 的推导简单得多：$z$ 的平均值直接就是 $E_{ex}$。

NTSM 与 SMO 的本质差异

	NTSM-SMO	线性 SMO
滑模面	$s=x_1+\int j_nx_1+\int k_n\|x_1\|^r\mathrm{sgn}(x_1)$	$x_1$
控制量	$H$（5 项）	$z=K\,\mathrm{sat}(x_1,\phi_s)$（1 项）
收敛性	有限时间（终端项保证）	渐近收敛
等效控制	$H\to E_{ex}$，需 $x_1\to0$	$z_{eq}=E_{ex}$，直接成立
参数个数	9 个（$j_n,k_n,p,q,k_1,m,\delta,\varepsilon_a,\phi_s$）	2 个（$K,\phi_s$）
抗参数摄动	理论上更强（滑模对匹配扰动不变）	较强
抖振	相对更大（终端项在低速段增益高）	相对更小

⇒ 对比实验要检验的核心假设：NTSM 的终端项能否带来更快的收敛与更强的鲁棒性。

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5. 反电动势提取与角度

5.1 低通滤波提取

两支均采用一阶低通：

离散化：

频域特性：一阶低通的传递函数与频率响应

⚠️ 关键认识：一阶低通对基波同时造成幅值衰减与相位滞后，二者都随转速变化。

• 相位滞后 → 5.3 节用 $\arctan(\omega_e/w_c)$ 补偿；
• 幅值衰减 → 旧版用 $corr$ 补偿，本版改用 PLL 后不再需要（见 6.0.2 节）。

数值示例（$w_c=1571$ rad/s）：1000 rpm（$\omega_e=419$）时衰减 0.966、滞后 14.9°； 3000 rpm（$\omega_e=1257$）时衰减 0.781、滞后 38.7°。

5.2 角度提取（atan2 + 解卷绕）

由 1.5 节的符号约定，反电动势矢量的角度是 $\theta_e+\pi/2$，故取角度时需先交换分量、再取负：

验算：代入 $E_{h,\alpha}=-E\sin\theta_e$、$E_{h,\beta}=E\cos\theta_e$： $\mathrm{atan2}(E\sin\theta_e,\;E\cos\theta_e)=\theta_e$ ✓

解卷绕（消除 $\mathrm{atan2}$ 固有的 $\pm\pi$ 跳变，得到连续角度）：

原理：把每步的角度增量折算到 $(-\pi,\pi]$ 内再加回上一步，从而跨过 $\pm\pi$ 边界时不跳变。 实现上 mod 若得负值需再补 $2\pi$。

5.3 相位补偿

低通造成的相位滞后 $\varphi_{lpf}=\arctan(\omega_e/w_c)$ 必须补回，否则角度会整体滞后：

⚠️ 这里用的是 PLL 输出的转速 $\omega_{e,pll}$。 旧版用幅值法得到的 $w_e$ 本身有偏差（高速段偏低约 15%），导致补偿不足 → 角度滞后； 改用 PLL 后 $\omega_{e,pll}$ 准确，补偿量随之准确 —— 这是 PLL 带来的第二个收益。

5.4 等效磁链修正（凸极）

用补偿角做 Park 变换取出 $i_d$（低通平滑），再算等效磁链：

说明：$\psi$ 在本版中已不参与转速计算（PLL 不需要它），但仍作为输出保留，供对照与诊断使用。

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6. ⭐ 转速提取：二阶 PLL（本版核心改动）

6.0 预备知识：锁相环是什么（零基础可读）

6.0.1 一个生活类比

想象你在听一个音叉（频率未知）。你手上有一个可调音叉，你想让它和对方的音完全同频同相。

你的做法：

1. 听两者的"拍频"（相位差引起的强弱变化）—— 这是鉴相器
2. 根据拍频去拧调节旋钮 —— 这是环路滤波器
3. 旋钮控制你的音叉频率 —— 这是压控振荡器

当拍频消失时，两者就"锁相"了。此时你旋钮的位置就代表了对方的频率。

PLL 就是把这个过程自动化、数学化。 在我们的场景里：

• "对方的音叉" = 反电动势矢量（它的旋转频率就是 $\omega_e$）
• "你的音叉" = 内部振荡器 $\theta_{pll}$
• 锁相完成后，$\omega_{pll}$ 就等于 $\omega_e$ —— 这就是我们要的转速

6.0.2 为什么"锁相"比"测幅"可靠 ⭐

这是本版改动的核心动机，值得讲透。

幅值法的逻辑：$|E_{ex}|=\omega_e\psi$，所以 $\omega_e=|E|/\psi$。

它依赖一个前提：我们测到的 $|E|$ 就是真实的 $|E_{ex}|$。

但实际测到的是 $E_h=\mathrm{LPF}(H)$，其中 $|E_h|$ 受两个方向相反的效应影响：

效应	物理来源	对 $\|E_h\|$ 的作用
(a) 幅值衰减	一阶低通对 $\omega_e$ 处正弦的固有衰减 $w_c/\sqrt{w_c^2+\omega_e^2}$	使其偏低
(b) 纹波整流	$H$ 中的开关纹波经 $\sqrt{E_{h\alpha}^2+E_{h\beta}^2}$ 这个非线性运算被"整流"抬高	使其偏高

⇒ 净效果 = (a) − (b)，而两者都随转速、滑模紧度、参数变化，无法用单一系数覆盖全速域。

实测结果：3000 rpm 时转速偏高约 15%。

而 PLL 锁的是"相位"：

反电动势矢量 $E_h$ 虽然有幅值误差、有纹波，但它的旋转速度（也就是相位变化率）几乎不受影响 —— 纹波是叠加在旋转矢量上的高频抖动，对"转过一圈需要多长时间"这件事影响极小。

一句话：幅值被污染了，但相位是干净的。所以要从相位里取转速，而不是从幅值里取。

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6.1 相位检测器（PD）

6.1.1 构造

我们要一个"与相位差成正比"的信号。把反电动势矢量投影到内部振荡器的 d 轴上：

6.1.2 推导

代入理想反电动势 $E_{h,\alpha}=-|E|\sin\theta_{sig}$、$E_{h,\beta}=|E|\cos\theta_{sig}$：

用到的三角恒等式：$\sin(A-B)=\sin A\cos B-\cos A\sin B$

⇒ 鉴相器输出 = 幅值 × 相位差的正弦，正是我们想要的。

当相位差很小时：$\sin(\Delta)\approx\Delta$，故 $\varepsilon_d\approx|E|\,(\theta_{pll}-\theta_{sig})$，线性鉴相 ✓

6.1.3 归一化

$\varepsilon_d$ 里含有 $|E|$，而 $|E|=\omega_e\psi$ 随转速变化 —— 若不处理，PLL 的环路增益会随转速变化（高速时增益大、易振荡，低速时增益小、响应慢）。

做法：除以幅值

⇒ 归一化后 $\varepsilon$ 直接就是"相位差（弧度）"，与转速、与幅值误差都无关 ✓

⚠️ 符号极其关键：误差必须取 $(\theta_{sig}-\theta_{pll})$，才能构成负反馈。 若取反，闭环特征方程会变成 $s^2-k_ps-k_i=0$，右半平面有根，必然发散（见 6.3 节）。

分母为何用 $\max(|E_h|,1)$：防止低速时 $|E_h|\to0$ 造成除零。 代价是极低速（$|E|<1$ V）时归一化失效，可另加"低速冻结"保护（见 6.6.2 节）。

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6.2 环路滤波器（LF）与压控振荡器（VCO）

6.2.1 为什么环路滤波器必须是 PI 而不是纯 P

先用直觉理解：

• 纯比例 P：输出频率正比于相位差。 锁定时要求相位差 $\to0$，但若输入频率与初始频率不同，必须有非零相位差才能产生频率差 —— 于是系统会稳定在"有固定相位误差"的状态（I 型系统，对频率阶跃有稳态误差）。

• PI：积分器会累积相位误差，直到它足够把频率拉到正确值，此时相位误差回到零。 ⇒ 锁定时相位误差为零，转速输出精确 ✓

6.2.2 数学表达

环路滤波器：

压控振荡器（积分器：频率 → 相位）：

离散实现：

∫ε ← ∫ε + Ts·ε
ω_pll = kp·ε + ki·∫ε
ω_pll ← clamp(ω_pll, ±ω_max)         % 限幅防跑飞
θ_pll ← θ_pll + Ts·ω_pll
θ_pll ← wrap(θ_pll) 到 (−π, π]

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6.3 闭环传递函数与稳定性

6.3.1 建立模型

设相位差 $x=\theta_{pll}-\theta_{sig}$。由 (6.3)，$\varepsilon\approx-x$。

对 (6.4)(6.5) 求导：

而 $\dot x=\dot\theta_{pll}-\dot\theta_{sig}$，$\dot\theta_{sig}=\omega_e$：

两边再求导（消去积分）：

特征方程：

6.3.2 稳定条件（劳斯判据）

二阶系统 $s^2+a_1s+a_0=0$ 稳定的充要条件是所有系数同号：

⇒ 只要 $k_p,k_i$ 取正，闭环必稳定 ✓（这也再次说明 (6.3) 的符号取对了）

6.3.3 传递函数形式

以相位为输入、相位为输出的闭环传递函数：

误差传递函数：

关键观察：$\Phi_e(s)$ 的分子含 $s^2$ —— 这意味着 直流（$s=0$）与频率阶跃（$1/s^2$）都没有稳态误差，只有频率斜坡（$1/s^3$）才有。

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6.4 参数整定

二阶系统标准形式 $s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2=0$，与 (6.7) 对照：

反解出增益：

两个参数的物理意义：

参数	物理意义	增大后
$\omega_n$	环路带宽	跟踪更快、锁定更快；但抗噪变差
$\zeta$	阻尼比	减小会超调振荡；增大响应变慢

本模型取值：

参数	值	说明
$\zeta$	0.707	工程最佳阻尼（无超调、响应最快）
$\omega_n$	$2\pi\times50=\mathbf{314.16}$ rad/s	自然频率（≈50 Hz）
$k_p$	$2\times0.707\times314.16=\mathbf{444.3}$	比例增益
$k_i$	$314.16^2=\mathbf{9.8696\times10^4}$	积分增益
$\omega_{max}$	3000 rad/s	输出限幅（防跑飞）

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6.5 加速段的稳态相位误差

6.5.1 为什么会有误差

从误差传递函数 $\Phi_e(s)=\dfrac{s^2}{s^2+k_ps+k_i}$ 出发，代入不同的输入：

输入类型	输入表达式	稳态误差
相位阶跃	$1/s$	$0$
频率阶跃	$1/s^2$	$0$（II 型系统）
频率斜坡	$1/s^3$	$\dot\omega_e/\omega_n^2$

用终值定理验算频率阶跃（$\Delta\omega$）：

用终值定理验算频率斜坡（斜率 $\dot\omega$）：

⇒ 得到

6.5.2 本模型数值

转速参考 0→3000 rpm 用 0.25 s，即 2000 rpm/s：

⇒ PLL 在加速段引入的附加相位误差仅 0.5°，可忽略。

6.5.3 带宽选择权衡

$\omega_n$	加速段相位误差	抗噪能力	适用
$2\pi\times30$	1.36°	更好	噪声大、加速慢
$2\pi\times50$（当前）	0.49°	适中	本模型
$2\pi\times80$	0.19°	较差	加速快、噪声小

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6.6 锁定过程与低速保护

6.6.1 锁定时间

二阶系统按 $\zeta\omega_n$ 的速率收敛，工程上取

⇒ 起动后约 14 ms 内锁定。

6.6.2 低速问题与保护

问题：起动瞬间反电动势接近 0，相位检测器输出被噪声主导，$\omega_{pll}$ 会乱跳 （实测起动段 0~0.2 s 曲线有密集毛刺）。

保护措施（可选，一行代码）：

if Emag_f > 5                      % EMF 足够大才闭合环路
    err = -Ed_pll / Emag_f;
else
    err = 0;                       % 低速冻结，避免噪声驱动
end

代价：引入约 100 rpm 以下的死区（本模型无影响）。

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6.7 PLL 与幅值法的完整对照

项	幅值法	PLL
提取依据	$\|E\|=\omega_e\psi$	$\dot\theta_{sig}=\omega_e$
受幅值误差影响	强（衰减 + 纹波双重污染）	弱 ✅
受纹波影响	强（经平方和非线性整流）	弱 ✅
是否需要 $\psi$	需要（且 $\psi$ 需标定）	不需要 ✅
是否需要 $corr$ 补偿	需要（且随转速变化，难标定）	不需要 ✅
相位补偿准确性	受 $w_e$ 偏差拖累	准确 ✅
加速段行为	无额外误差	有 $\dot\omega/\omega_n^2$（0.49°，可忽略）
低速行为	可用	有死区（可加保护）
实现复杂度	简单	中等（多 6 行）

实测对照（3000 rpm 稳态）：

指标	幅值法（corr 理论式, m=6000）	PLL
转速误差	+15% ❌	+2.6%（NTSM）/ +3.4%（SMO） ✅
角度误差（均值）	~0	~0 ✅
角度误差（振荡带）	±5.7°	明显收窄 ✅

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7. 完整离散算法

7.1 NTSM-SMO-PLL

输入：u_α, u_β, i_α, i_β, T_s
参数：Rs, L(=Lq), Ld, ψf, j_n, k_n, p, q, k1, m, δ, εa, φs, wc, wf

持久状态：î_α, î_β, I_j, I_k, E_hα, E_hβ, θ_prev, Emag_f, id_f, θ_pll, ∫ε

① 电流误差与分数幂
   x1 = [î_α − i_α ; î_β − i_β]
   xp = sign(x1) ⊙ |x1|^(p/q)

② 积分终端滑模面（带抗饱和）
   I_j ← I_j + Ts·j_n·x1          （限幅 ±50）
   I_k ← I_k + Ts·k_n·xp          （限幅 ±50）
   s   = x1 + I_j + I_k

③ 自适应切换增益
   f = m·|s|·(1+δ) / (δ + exp(−εa·|s|))
   f = min(f, 3m)

④ 控制律
   H = −Rs·x1 + L·[ j_n·x1 + k_n·xp + k1·s + f ⊙ sat(s, φs) ]

⑤ 电流观测器
   î ← î + Ts·(u − Rs·î − H)/L

⑥ 反电动势提取
   E_h ← E_h + wc·Ts·(H − E_h)

⑦ 角度
   θ_raw  = atan2(−E_hα, E_hβ)
   θ      = θ_prev + [mod(θ_raw − θ_prev + π, 2π) − π]
   θ_prev = θ

⑧ 幅值（仅用于 PLL 归一化）
   Emag_inst = √(E_hα² + E_hβ²)
   Emag_f   ← Emag_f + wf·Ts·(Emag_inst − Emag_f)

⑨ PLL
   ε_d = E_hα·cos(θ_pll) + E_hβ·sin(θ_pll)
   ε   = −ε_d / max(Emag_f, 1)
   ∫ε ← ∫ε + Ts·ε
   ω_pll = kp·ε + ki·∫ε
   ω_pll = clamp(ω_pll, ±ω_max)
   θ_pll ← θ_pll + Ts·ω_pll
   θ_pll ← wrap(θ_pll)

⑩ 凸极修正
   θ_comp = θ + atan(ω_pll/wc)
   id_inst = i_α·cos(θ_comp) + i_β·sin(θ_comp)
   id_f   ← id_f + wf·Ts·(id_inst − id_f)
   ψ = ψf + (Ld − L)·id_f

⑪ 输出
   θ_est = θ + atan(ω_pll/wc)
   ω_est = ω_pll
   E_α = E_hα,  E_β = E_hβ,  ψ

7.2 SMO-PLL（差异仅在 ②③④⑤⑥）

②' 线性切换项（无滑模面）
    z = K · sat(x1, φs)          ← 用原始电流误差，不滤波

③' 无自适应增益

④' 无需单独控制律：v = z

⑤' î ← î + Ts·(u − Rs·î − z)/L

⑥' E_h ← E_h + wc·Ts·(z − E_h)   ← 只滤切换项

⑦ 及其后各步与 NTSM 完全相同（含同一套 PLL 参数）。

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8. 参数表

8.1 电机参数（PMSM 模块，与 InitFcn 一致）

符号	变量	值	单位
$R_s$	Rs	0.958	Ω
$L_d$	Ld	5.25e-3	H
$L_q$	Lq / L	12e-3	H
$\psi_f$	flux	0.1827	Wb
$p$（极对数）	pole	4	—
$V_{dc}$	Vdc	311	V
$T_s$	Ts	1e-5	s

8.2 NTSM 参数

符号	变量	值	说明	调大后的效果
$j_n$	j_n	500	线性积分系数	稳态误差消除更快
$k_n$	k_n	4000	终端项系数	终端收敛更快，低速抖振增大
$p/q$	p,q	3/5	终端指数 $r=0.6$	$r$ 越小终端特性越强
$k_1$	k1	1500	线性滑模项	到达更快，稳态 $\|s\|$ 更小
$m$	m	3000	自适应增益基准	滑模更紧，$H$ 相位误差更小
$\delta$	delta	0.2	自适应律参数	—
$\varepsilon_a$	eps_a	2	自适应律参数	—
$\phi_s$	phi_s	0.5	边界层厚度	抖振减小，滑模精度下降

8.3 SMO 参数

符号	变量	值	说明
$K$	K_smo	600	切换增益
$\phi_s$	phi_s_smo	1.5	边界层厚度

8.4 滤波与 PLL 参数

符号	变量	值	说明
$w_c$	wc	$2\pi\times250=1571$	反电动势低通截止（rad/s）
$w_f$	wf	$2\pi\times150=942$	幅值 / $i_d$ 低通截止（rad/s）
$\zeta$	函数内常数	0.707	PLL 阻尼比
$\omega_n$	wn_pll（函数内）	$2\pi\times50=314.16$	PLL 自然频率（rad/s）
$k_p$	由 (6.9) 算出	444.3	PLL 比例增益
$k_i$	由 (6.9) 算出	$9.87\times10^4$	PLL 积分增益
$\omega_{max}$	we_max（函数内）	3000	PLL 输出限幅（rad/s）

⚠️ 两支观测器的 PLL 参数必须完全一致，否则对比不公平。 建议后续把 wn_pll、zeta、we_max 提到 InitFcn 由外部传入统一管理。

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9. 已知局限与后续工作

#	局限	影响	后续
1	反电动势幅值 $E_{mag}$ 仍被纹波整流抬高	仅影响诊断量，不影响转速/角度	可增大 $m$ 使滑模更紧
2	NTSM 的 $H$ 含线性项，基波相位与 $E_{ex}$ 有约 2.7° 偏差（$m=3000$）	贡献部分角度误差	增大 $m$（6000 时降到 0.15°）
3	低速（$\|E\|\lesssim5$ V）时 PLL 无有效输入	起动段转速有毛刺	加低速冻结保护（6.6.2 节）
4	PLL 增益硬编码在函数内	不便统一调参	提到 InitFcn 由外部传入
5	$p/q$、$j_n$、$k_n$、$k_1$、$m$ 等参数未做系统性整定	未必处于最优	后续做参数扫描
6	仅验证了 500~3000 rpm 区间	弱磁区（>2110 rpm 基准转速）未充分验证	补做高速工况
7	未做参数偏差鲁棒性对比	NTSM 的理论优势未验证	改 PMSM 块参数对比

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附录 A：关键公式速查

公式	编号
$u_{\alpha\beta}=R_si_{\alpha\beta}+L_q\frac{di_{\alpha\beta}}{dt}+E_{ex}$	(1.1)
$\psi=\psi_f+(L_d-L_q)i_d$	(1.2)
$E_{ex}=\omega_e\psi[-\sin\theta_e;\cos\theta_e]$，$\|E_{ex}\|=\omega_e\psi$	(1.3)
$x_1=\hat i-i$	(2.1)
$L_q\dot x_1=-R_sx_1-H+E_{ex}$	(3.1)
$s=x_1+\int j_nx_1+\int k_n\|x_1\|^r\mathrm{sgn}(x_1)$	(3.2)
$H=-R_sx_1+L_q[j_nx_1+k_n\|x_1\|^r\mathrm{sgn}(x_1)+k_1s+f\mathrm{sat}(s)]$	(3.3)
$f=\min\{m\|s\|(1+\delta)/(\delta+e^{-\varepsilon_a\|s\|}),3m\}$	(3.4)
$\dot x_1=-[j_nx_1+k_n\|x_1\|^r\mathrm{sgn}(x_1)+k_1s+f\mathrm{sat}(s)]+E_{ex}/L_q$	(3.5)
$\dot s=-k_1s-f\mathrm{sat}(s)+E_{ex}/L_q$	(3.6)
$k_1s+f\mathrm{sat}(s)=E_{ex}/L_q$（准稳态）	(3.7)
$H=-R_sx_1+L_q[j_nx_1+k_n\|x_1\|^r\mathrm{sgn}(x_1)]+E_{ex}$	(3.8)
$H\to E_{ex}$（$x_1\to0$）	(3.9)
$z=K\mathrm{sat}(x_1,\phi_s)$，$z_{eq}=E_{ex}$	(4.1)(4.3)
$E_h=\mathrm{LPF}(v,w_c)$	(5.1)
$\|G\|=w_c/\sqrt{w_c^2+\omega^2}$，$\angle G=-\arctan(\omega/w_c)$	(5.2)
$\theta=\mathrm{unwrap}[\mathrm{atan2}(-E_{h\alpha},E_{h\beta})]$	(5.3)(5.4)
$\theta_{est}=\theta+\arctan(\omega_{pll}/w_c)$	(5.5)
$\psi=\psi_f+(L_d-L_q)i_{d,f}$	(5.6)
$\varepsilon_d=E_{h\alpha}\cos\theta_{pll}+E_{h\beta}\sin\theta_{pll}=\|E\|\sin(\theta_{pll}-\theta_{sig})$	(6.1)(6.2)
$\varepsilon=-\varepsilon_d/\max(\|E_h\|,1)\approx\theta_{sig}-\theta_{pll}$	(6.3)
$\omega_{pll}=k_p\varepsilon+k_i\int\varepsilon$，$\theta_{pll}=\int\omega_{pll}$	(6.4)(6.5)
$s^2+k_ps+k_i=0$（闭环特征方程）	(6.7)
$\omega_n=\sqrt{k_i}$，$\zeta=k_p/(2\omega_n)$；$k_i=\omega_n^2$，$k_p=2\zeta\omega_n$	(6.8)(6.9)
$\Delta\theta_{ss}=\dot\omega_e/\omega_n^2$	(6.10)