《OpenFOAM 源码深度剖析》系列-第 11 章　`lduMatrix` 与线性求解器：PCG / PBiCGStab / GAMG

鶴哥只手遮天
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第 11 章　lduMatrix 与线性求解器：PCG / PBiCGStab / GAMG

第 9 章把 PDE 离散成了 fvMatrix，而 fvMatrix 直接继承自 lduMatrix。本章深入这个"下-对角-上"（Lower-Diagonal-Upper）矩阵格式，以及建立在它之上的 Krylov 迭代求解器（PCG、PBiCGStab）与多重网格求解器（GAMG）。这是 OpenFOAM 数值性能的最后一公里：把稀疏线性方程组真正解出来。

11.1 lduMatrix：三数组的稀疏矩阵

11.1.1 存储结构

LduMatrix.H（src/OpenFOAM/matrices/lduMatrix/LduMatrix/，第 30–39 行）：

Description
    lduMatrix is a general matrix class in which the coefficients are
    stored as three arrays, one for the upper triangle, one for the
    lower triangle and a third for the diagonal.

    Addressing arrays must be supplied for the upper and lower triangles.

    It might be better if this class were organised as a hierarchy starting
    from an empty matrix, then deriving diagonal, symmetric and asymmetric
    matrices.

它只有三组系数数组：

数组长度含义
diag_nCells对角
upper_nInternalFaces上三角（owner→neighbour）
lower_nInternalFaces下三角（neighbour→owner）

外加接口系数（用于并行/耦合边界）：interfaceBouCoeffs_、interfaceIntCoeffs_、interfaces（lduInterfaceFieldPtrsList）。

注释还透露了一个历史遗憾：本可以把 lduMatrix 组织成"空矩阵 → 对角 → 对称 → 非对称"的层次（即用继承区分对称/非对称），但现实中用运行期判断处理。这解释了后面 solver 为什么有 symMatrix/asymMatrix 两张表。

11.1.2 lduAddressing：寻址与 losort

lduAddressing.H（第 30–66 行）说明寻址的组织方式。除了 upperAddr()/lowerAddr()（面的 owner/neighbour），还有一个优化——owner-start 寻址：

        owner     neighbour
        0         1
        0         20
        1         2
        1         21
        ...

不重复存 owner，而是存"每个点的邻居起始位置"：

        Owner start list: 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

于是"已知 owner 和 neighbour 找面索引"变得高效：从 ownerStart[owner] 开始，线性扫描到 ownerStart[owner+1]，匹配到 neighbour 即得面号。

另一个关键概念是 losort：由于矩阵在 upper/lower 里分别按 owner/neighbour 排序，遍历时需要两套顺序（losortAddr()），以便在两个方向上都能顺序访问。这套寻址设计是针对有限体积的"面-体"结构量身定制的。

11.1.3 Amul：矩阵乘向量

求解器迭代的核心是"计算 A·ψ"。LduMatrixATmul.C 第 122–137 行给出最直观的版本：

for (label cell=0; cell<nCells; cell++)
{
    ApsiPtr[cell] = diagPtr[cell]*psiPtr[cell];
}

const label nFaces = upper().size();

for (label face=0; face<nFaces; face++)
{
    ApsiPtr[uPtr[face]] += lowerPtr[face]*psiPtr[lPtr[face]];
    ApsiPtr[lPtr[face]] += upperPtr[face]*psiPtr[uPtr[face]];
}

即：

(Aψ)_i = diag[i]·ψ_i  +  Σ_{面 f: owner(f)=i} lower[f]·ψ_{neighbour(f)}
                      +  Σ_{面 f: neighbour(f)=i} upper[f]·ψ_{owner(f)}

还有一个cell-based 变体（第 76–121 行，hasLowerCSR() 分支）：把 lower 转成 CSR（按单元分组）以改善缓存局部性。两种实现都出现在 Amul 里，按矩阵特征选择。所有指针都标了 __restrict__，提示编译器可积极向量化——这是 OpenFOAM 内层循环的标准手法。

并行/耦合边界的贡献由 initMatrixInterfaces / updateMatrixInterfaces 在两个方向上处理（第 61–72、139–149 行）。

11.2 solverPerformance：迭代的"仪表盘"

每个求解器都返回 solverPerformance，它记录 initialResidual()、finalResidual()、nIterations()，并提供 checkConvergence(tolerance, relTol, log)、checkSingularity()、great_（一个极大的初值）。

收敛判据是"相对收敛"：当 finalResidual < tolerance 或 finalResidual/initialResidual < relTol 时停止。这正是 fvSolution 里 tolerance 与 relTol 的语义——relTol 0.05 表示"残差降到初始的 5% 即可"（用于外迭代内层，省时间）。

11.3 PCG：对称矩阵的共轭梯度

11.3.1 算法

PCG（Preconditioned Conjugate Gradient）用于对称正定矩阵（如拉普拉斯离散出的矩阵）。PCG.C（solvers/PCG/）的 scalarSolve（第 69–217 行）逐行对应标准 CG 公式：

数学代码（PCG.C）
r = b − AψrA = source - wA（wA = A·psi，第 97–100 行）
归一化残差gSumMag(rA)/normFactor（第 119–121 行）
w = M⁻¹r（预条件）preconPtr_->precondition(wA, rA, cmpt)（第 148 行）
ρ = r·wwArA = gSumProd(wA, rA, ...)（第 151 行）
p = w（首步）/ p = w + βpbeta = wArA/wArAold; p = w + beta*p（第 162–167 行）
Apmatrix_.Amul(wA, pA, ...)（第 172 行）
α = ρ / (p·Ap)wApA = gSumProd(wA, pA); alpha = wArA/wApA（第 174、182 行）
ψ += αp；r −= αAppsi += alpha*p; rA -= alpha*w（第 186–187 行）

代码与公式一一对应，这是理解 OpenFOAM 求解器最省力的部分。注意：

  • gSumProd / gSumMag 是并行归约（第 12 章）：它们把所有进程的局部内积/范数求和，得到全局值。这保证并行下收敛判据一致。
  • 求解器用 solveScalar 类型而非 scalar——在 SPDP 混合精度构建下，存储用单精度、求解用双精度，兼顾内存与精度。

11.3.2 预条件子

PCG 通过 lduMatrix::preconditioner::New(*this, controlDict_) 创建预条件子（第 132–139 行），由 RTS 按字典里的名字选择。对称矩阵的常用预条件子是 DIC（对角不完全 Cholesky）。位置：src/OpenFOAM/matrices/lduMatrix/Preconditioners/：

预条件子适用特点
DIC对称对角不完全 Cholesky
DILU非对称对角不完全 LU
FDIC / FDILU—"final" 变体（用于分离式/特定场景）
diagonal通用仅用对角
GAMG通用用 GAMG 作预条件子
none通用无预条件

用法（fvSolution）：

solvers
{
    p
    {
        solver          PCG;
        preconditioner  DIC;
        tolerance       1e-06;
        relTol          0.05;
    }
}

11.4 PBiCGStab：非对称矩阵的稳定双共轭梯度

11.4.1 为什么需要它

对流项（div）离散出的矩阵是非对称的，PCG 不适用。PBiCGStab（Preconditioned Bi-Conjugate Gradient Stabilized）用"稳定化"策略处理非对称系统。PBiCGStab.C 的 scalarSolve（第 73–260 行）核心公式与代码对应：

数学代码
r = b − Aψ；r₀ = rrA = source - yA；rA0(rA)（第 100、144 行）
ρ = r₀·rrA0rA = gSumProd(rA0, rA)（第 167 行）
β = (ρ/ρ_old)(α/ω)beta = (rA0rA/rA0rAold)*(alpha/omega)（第 191 行）
p = r + β(p − ω·Ap)pA = rA + beta*(pA - omega*AyA)（第 195–196 行）
ŷ = M⁻¹p；Aŷprecondition(yA, pA)；Amul(AyA, yA)（第 201、204 行）
α = ρ / (r₀·Aŷ)alpha = rA0rA/rA0AyA（第 209 行）
s = r − α·AŷsA = rA - alpha*AyA（第 214 行）
ż = M⁻¹s；t = Ażprecondition(zA, sA)；Amul(tA, zA)（第 238、241 行）
ω = (t·s)/(t·t)（下一段）

并在中途用 s 的范数判断是否已收敛（第 218–235 行：若收敛，先更新 ψ 再返回）。这套"每次迭代做两步（BiCG + 稳定化 ω）"的结构，就是 "Stabilized" 的含义。

OpenFOAM 还有一批变体求解器：PBiCG、PBiCICG、PBiCCCG（solvers/ 目录），分别对应不同的双共轭/共轭形式，供特定场景选用。

11.5 GAMG：几何聚合代数多重网格

11.5.1 定位与特征

GAMGSolver.H（第 33–49 行）给出了它的全部特征：

Description
    Geometric agglomerated algebraic multigrid solver.

    Characteristics:
      - Requires positive definite, diagonally dominant matrix.
      - Agglomeration algorithm: selectable and optionally cached.
      - Restriction operator: summation.
      - Prolongation operator: injection.
      - Smoother: Gauss-Seidel.
      - Coarse matrix creation: central coefficient: summation of fine grid
        central coefficients with the removal of intra-cluster face;
        off-diagonal coefficient: summation of off-diagonal faces.
      - Coarse matrix scaling: performed by correction scaling, using steepest
        descent optimisation.
      - Type of cycle: V-cycle with optional pre-smoothing.
      - Coarsest-level matrix solved using any lduSolver (PCG, PBiCGStab,
        smoothSolver) or direct solver on master processor

逐条解读：

  • 几何聚合（agglomerated）：不像纯代数多重网格那样从矩阵结构推导粗化，而是基于网格几何把相邻单元聚成簇（cluster），逐层粗化。聚合算法可配置（GAMGAgglomeration 派生：pairGAMGAgglomeration、algebraicPairGAMGAgglomeration 等）。
  • 限制算子 = 求和（summation）：细层残差在簇内求和成粗层。
  • 延拓算子 = 注入（injection）：粗层解直接注入到簇内。
  • 平滑器 = Gauss-Seidel：粗/细层都用 Gauss-Seidel 平滑。
  • 粗矩阵构造：簇内面的系数被"消去"（对角吸收簇内耦合），簇间面系数求和为粗矩阵的 off-diagonal。
  • V-cycle：可选前置平滑，标准 V 形循环。
  • 最粗层：用任意 lduSolver（PCG/PBiCGStab/smoothSolver）或直接求解器（主进程上用 LUscalarMatrix 做 LU 分解直接解）求解。

GAMGSolver 的私有数据（第 84–102 行）暴露了大量旋钮：nPreSweeps_、preSweepsLevelMultiplier_、maxPreSweeps_、nPostSweeps_、postSweepsLevelMultiplier_、maxPostSweeps_、nFinestSweeps_……这些正对应 fvSolution 里 GAMG 的高级参数（nPreSweeps、nPostSweeps、nFinestSweeps、cacheAgglomeration、agglomerator、nCellsInCoarsestLevel、mergeLevels 等）。

GAMG 对压力方程（大、椭圆、病态）通常是最快的，所以几乎每个求解器的 p 方程都会用 GAMG 或 GAMG + DIC。

11.6 平滑求解器与对角求解器

求解器用途
SmoothSolver各种平滑迭代（Gauss-Seidel、symGaussSeidel、DIC、DILU…），常作预条件/平滑
DiagonalSolver只解对角（对角占优/显式场景）
PPCG/PPCR并行/投影类变体
PCICG/PBiCICG带不完全 Cholesky 的 CG 变体
FPCG"flexible" PCG

11.7 求解器如何被选中：RTS 与 fvSolution

回到第 4 章：lduMatrix::solver 有两张 RTS 表（symMatrix / asymMatrix）。当 fvSolution 里写：

solvers
{
    p   { solver PCG;   preconditioner DIC;  tolerance 1e-06; relTol 0.01; }
    U   { solver PBiCGStab; preconditioner DILU; tolerance 1e-06; relTol 0.1; }
    k   { solver PBiCGStab; preconditioner DILU; tolerance 1e-08; relTol 0.1; }
    "(U|k|epsilon)" { solver smoothSolver; smoother symGaussSeidel; ... }
}
  • 矩阵对称（拉普拉斯类）→ 查 symMatrix 表；
  • 矩阵非对称（对流类）→ 查 asymMatrix 表；
  • 具体类由 solver 名字经 RTS 构造。

solution 类还支持正则表达式的场名匹配（"(U|k|epsilon)"），这靠 HashPtrTable + 模式匹配实现（第 9 章）。

11.8 归约与精度：两个易被忽视的细节

  1. 归约（reduction）：gSumProd、gSumMag 等把局部内积/范数汇总为全局值。没有它们，并行下各进程会各自判断收敛，导致不一致。这是"求解器正确性依赖并行框架"的直接体现（第 12 章）。
  2. solveScalar：求解器内部用 solveScalar，它在 SPDP 构建下可以与 scalar 不同（存储单精度、求解双精度），用于在超大网格上平衡内存与精度。

11.9 小结：一条完整的求解链

把第 9–11 章连起来，一个方程从离散到求解的全流程是：

PDE
 └─(fvSchemes 选格式)─▶ fvMatrix （= lduMatrix：diag/upper/lower + 边界系数）
        └─(fvSolution 选 solver)─▶ lduMatrix::solver（RTS）
              ├─ Amul  ← 网格拓扑决定的稀疏乘
              ├─ preconditioner（RTS：DIC/DILU/GAMG…）
              ├─ reduction（gSumProd/gSumMag）→ 并行一致
              └─ PCG / PBiCGStab / GAMG … 
                     └─▶ solverPerformance（残差/迭代数）

"有限体积离散"与"线性代数求解"在 lduMatrix 处无缝衔接，这正是 OpenFOAM 架构之美：同一套矩阵格式既服务离散器，又服务求解器。

本章要点回顾

  • lduMatrix 用三个数组（diag/upper/lower）+ 接口系数表达任意网格上的离散矩阵；lduAddressing 提供 owner/neighbour、owner-start 寻址与 losort。
  • Amul 实现 A·ψ（有 cell-based/CSR 与 face-based 两种），是迭代的基石。
  • solverPerformance 记录残差与迭代数；收敛判据是相对残差（tolerance/relTol）。
  • PCG（对称，配 DIC）与 PBiCGStab（非对称，配 DILU）的迭代公式与代码一一对应；变体有 PBiCG/PBiCICG/PBiCCCG/PPCG/PPCR/FPCG。
  • GAMG：几何聚合多重网格，限制=求和、延拓=注入、平滑=Gauss-Seidel、V-cycle、最粗层用直接解；是压力方程的首选。
  • 求解器与预条件子都由 RTS 从 fvSolution 选择；并行一致性依赖 gSumProd/gSumMag 归约；求解用 solveScalar 支持混合精度。
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