洛伦兹变换推导推导前提 1.时空均匀性：时空各处性质均匀，因此坐标变换必须是线性变换； 2.相对性原理：所有惯性系物

1.时空均匀性： 时空各处性质均匀，因此坐标变换必须是线性变换； 2.相对性原理： 所有惯性系物理规律形式相同，正、逆变换形式对称； 3.光速不变原理： 真空中光速在所有惯性系中恒为 $c$ 。

x'=A\cdot x+B\cdot t

其中A、B是仅和相对速度u有关的待定常数。 2. $S'$ 系的坐标原点 $(x'=0)$ 在 $S$ 系中以速度 $u$ 匀速运动，它的运动方程为：

x=ut

将 $x'=0，x=ut$ 代入线性通式：

0=Aut+Bt\\ \Rightarrow B=-Au

代回通式得：

x'=Ax-Aut\\ \Rightarrow x'=A(x-ut)

我们把待定系数A记作 $\gamma$ (洛伦兹因子)，即

x'=\gamma\cdot(x-ut)\tag1

利用相对性原理，写出逆变换。相据相对性原理，所有惯性系平权， $S$ 系相对于 $S’$ 系以速度-u运动，因此逆变换只需把 $u$ 换成 $-u$ ，同时互换 $x\leftrightarrow x',t\leftrightarrow t'$ ，形式完全对称：

x=\gamma\cdot(x'+ut')\tag2

将 $x=ct,x'=ct'$ 代入正变换式 $(1)$ ：

x'=\gamma\cdot(x-ut)\\ \Rightarrow ct'=\gamma\cdot(ct-ut)\\ \Rightarrow ct'=\gamma t(c-u)\tag3

将 $x=ct,x'=ct'$ 代入逆变换式 $(2)$ ：

x=\gamma\cdot(x'+ut')\\ \Rightarrow ct=\gamma\cdot(ct'+ut')\\ \Rightarrow ct=\gamma\cdot t'(c+u)\tag4

将 $(3)(4)$ 两式左右两边分别相乘，消去 $t$ 和 $t'$ :

c^2\cdot tt'=\gamma^2\cdot tt'\cdot(c-u)(c+u)

约去 $tt'$ 后整理得：

c^2=\gamma^2\cdot(c^2-u^2)

因此洛伦兹因子为：

\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}

x'=\frac{x-ut}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}\tag5

$(1)(2)$ 联立，消去 $x'$ 得：

x=\gamma[\gamma(x-ut)+ut']\\ \Rightarrow x=\gamma^2(x-ut)+\gamma ut'\\ \Rightarrow \gamma ut'=x-\gamma^2x+\gamma^2ut\\ \Rightarrow t'=\frac{x(1-\gamma^2)}{\gamma u}+\gamma t\tag6

先计算 $1-\gamma^2$ :

1-\gamma^2=1-\frac{1}{1-\frac{u^2}{c^2}}=\frac{-\frac{u^2}{c^2}}{1-\frac{u^2}{c^2}}=-\gamma^2\cdot\frac{u^2}{c^2}

将此结果代入 $(6)$ 式得：

t'=-\gamma\cdot\frac{ux}{c^2}+\gamma t=\gamma(t-\frac{ux}{c^2})=\frac{t-\frac{ux}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}