斐波那契数列的前 k 项和

结论

• $F_n$ 的前 $k$ 项和满足

• $F_n$ 的前 $k$ 个奇数项的和满足

• $F_n$ 的前 $k$ 个偶数项的和满足

正文

斐波那契数列

$F_1=1,F_2=1$，对满足 $n\ge 3$ 的 $n$ 而言，$F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$。满足这样的规则的数列，我们称其为斐波那契数列。

简单的分析

对比较小的 $n$ 来说，$F_n$ 以及前 $n$ 项和 $S_n=\sum_{i=1}^{i=n}{F_i}$ 的值列举如下 ⬇️

$n$	$F_n$	$S_n$
$1$	$1$	$1$
$2$	$1$	$2$
$3$	$2$	$4$
$4$	$3$	$7$
$5$	$5$	$12$
$6$	$8$	$20$
$7$	$13$	$33$
$8$	$21$	$54$
$9$	$34$	$88$
$10$	$55$	$143$
$11$	$89$	$232$
$12$	$144$	$376$
$13$	$233$	$609$
$14$	$377$	$986$
$15$	$610$	$1596$
$16$	$987$	$2583$
$17$	$1597$	$4180$
$18$	$2584$	$6764$
$19$	$4181$	$10945$
$20$	$6765$	$17710$

生成上方表格的 $Python3$ 代码如下 ⬇️

print(r'| $n$ | $F_n$ | $S_n$ |')
print('| --- | --- | --- | ')

curr = 1
next = 1
sum = 0
for i in range(1, 21):
    sum += curr
    print(f'| ${i}$ | ${curr}$ | ${sum}$ |')
    curr, next = next, (curr + next)

通过观察这个表格，您也许会发现（如果没发现也没关系）$S_n=F_{n+2}-1$ 似乎总是成立。

用数学归纳法

用数学归纳法也许可以证明它，我们来试试。

当 $n=1$ 时，$S_1=1=F_{3}-1=2-1$ 成立。

假设 $S_n=F_{n+2}-1$ 对 $n=1,2,3,\cdots,k$ 都成立。

我们来看看 $n=k+1$ 时的情况。

所以 $n=k+1$ 时，$S_n=F_{n+2}-1$ 也成立，那么 $S_n=F_{n+2}-1$ 对任意正整数 $n$ 都成立。

不用数学归纳法

不用数学归纳法，也可以证明 $S_n=F_{n+2}-1$，一个可行的方案如下

• $F_1=F_3-F_2$
• $F_2=F_4-F_3$
• $F_3=F_5-F_4$
• $\cdots$
• $F_n=F_{n+2}-F_{n+1}$

对以上 $n$ 个等式求和，可以得到

$F_n$ 中前 k 个奇数项的和

我们再来观察一下 $F_n$ 中前 $k$ 个奇数项的和有什么规律。 对比较小的 $k$ 来说，前 $k$ 个奇数项的和的值列举如下 ⬇️

$k$	$2k-1$	$F_{2k-1}$	$F_{2k}$	前$k$个奇数项的和
$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
$2$	$3$	$2$	$3$	$3$
$3$	$5$	$5$	$8$	$8$
$4$	$7$	$13$	$21$	$21$
$5$	$9$	$34$	$55$	$55$
$6$	$11$	$89$	$144$	$144$
$7$	$13$	$233$	$377$	$377$
$8$	$15$	$610$	$987$	$987$
$9$	$17$	$1597$	$2584$	$2584$
$10$	$19$	$4181$	$6765$	$6765$

生成上方表格的 $Python3$ 代码如下 ⬇️

print(r'| $k$ | $2k-1$ | $F_{2k-1}$ | $F_{2k}$ | 前$k$个奇数项的和 |')
print('| --- | --- | --- | --- | --- |')

curr = 1
next = 1
sum = 0
for i in range(1, 21):
    if i % 2 == 1:
        sum += curr
        print(f'| ${(i+1)//2}$ | ${i}$ | ${curr}$ | ${next}$ | ${sum}$ |')
    curr, next = next, (curr + next)

前 $k$ 个奇数项的和似乎总是等于 $F_{2k}$。

用数学归纳法

估计也可以用数学归纳法来证明。我们试一试。

当 $k=1$ 时，$F_1=1=F_2=1$ 成立

假设前 $k$ 个奇数项的和等于 $F_{2k}$ 成立，那么我们看看 $k+1$ 时的情况。

所以 $k+1$ 时，我们的猜测也成立。于是，$F_n$ 的前 $k$ 个奇数项的和等于 $F_{2k}$ 对任意正整数 $k$ 都成立。

不用数学归纳法

不用数学归纳法，也可以证明 $\sum_{i=1}^{i=n}{F_{2i-1}}=F_{2n}$，一个可行的方案如下

• $F_1=F_2-0$
• $F_3=F_4-F_2$
• $F_5=F_6-F_4$
• $\cdots$
• $F_{2n-1}=F_{2n}-F_{2n-2}$

对以上 $n$ 个等式求和，可以得到

$F_n$ 中前 k 个偶数项的和

我们再来观察一下 $F_n$ 中前 $k$ 个偶数项的和有什么规律。 对比较小的 $k$ 来说，前 $k$ 个偶数项的和的值列举如下 ⬇️

$k$	$2k$	$F_{2k}$	$F_{2k+1}$	前$k$个偶数项的和
$1$	$2$	$1$	$2$	$1$
$2$	$4$	$3$	$5$	$4$
$3$	$6$	$8$	$13$	$12$
$4$	$8$	$21$	$34$	$33$
$5$	$10$	$55$	$89$	$88$
$6$	$12$	$144$	$233$	$232$
$7$	$14$	$377$	$610$	$609$
$8$	$16$	$987$	$1597$	$1596$
$9$	$18$	$2584$	$4181$	$4180$
$10$	$20$	$6765$	$10946$	$10945$

生成上方表格的 $Python3$ 代码如下 ⬇️

print(r'| $k$ | $2k$ | $F_{2k}$ | $F_{2k+1}$ | 前$k$个偶数项的和 |')
print('| --- | --- | --- | --- | --- |')

curr = 1
next = 1
sum = 0
for i in range(1, 21):
    if i % 2 == 0:
        sum += curr
        print(f'| ${i//2}$ | ${i}$ | ${curr}$ | ${next}$ | ${sum}$ |')
    curr, next = next, (curr + next)

前 $k$ 个偶数项的和似乎总是等于 $F_{2k+1}-1$。

用数学归纳法

我们试试用数学归纳法来证明它。

当 $k=1$ 时，$F_2=1=F_3-1$ 成立

假设前 $k$ 个偶项的和等于 $F_{2k+1}-1$ 成立，那么我们看看 $k+1$ 时的情况。

所以 $k+1$ 时，我们的猜测也成立。于是，$F_n$ 的前 $k$ 个偶数项的和等于 $F_{2k+1}-1$ 对任意正整数 $k$ 都成立。

不用数学归纳法

不用数学归纳法，也可以证明 $\sum_{i=1}^{i=n}{F_{2i}}=F_{2n+1}-1$，一个可行的方案如下

• $F_2=F_3-F_1$
• $F_4=F_5-F_3$
• $F_6=F_7-F_5$
• $\cdots$
• $F_{2n}=F_{2n+1}-F_{2n-1}$

对以上 $n$ 个等式求和，可以得到