考研408数据结构｜最短路径｜BFS｜Dijkstra｜Floyd
这几个算法真的太容易混了😭
尤其是看到“最短路径”四个字就开始纠结：
到底用BFS？Dijkstra？还是Floyd？
我把这几个算法按照**「能不能带权 → 求几对顶点 → 怎么写」**整理了一遍，考试直接按这个思路判断！
🧠 一、先记住：最短路径算法就这三个核心
408里最常见的最短路径算法：
| 算法 | 适用图 | 求什么 |
| 🚶 BFS | 无权图 | 单源最短路径 |
| 🚗 Dijkstra | 带权图，边权非负 | 单源最短路径 |
| 🌐 Floyd | 带权/无权都可以 | 任意两点之间最短路径 |
一句话记忆👇
无权 → BFS
有权 → Dijkstra
所有点两两之间 → Floyd
⚠️ 注意一个特别容易考的点：
Dijkstra不能处理存在负权边的图！
🚶 二、BFS为什么可以求无权图最短路径？
因为BFS是一层一层往外扩展的。
假设从源点 0 出发：
0
/ \
1 2
/ \
3 4
BFS访问顺序大概就是：
0 → 1、2 → 3、4
也就是说：
- 第0层：距离0
- 第1层：距离1
- 第2层：距离2
- 第3层：距离3
所以：
BFS第一次访问到某个顶点时，得到的就是它距离源点的最短边数。
这就是为什么无权图求最短路径可以直接用BFS。
✍️ BFS求最短路径怎么写？
核心就是两个数组：
dist[]：记录源点到各顶点的最短距离
path[]：记录每个顶点是从谁走过来的
初始化：
dist[i] = -1
path[i] = -1
源点：
dist[s] = 0
然后把源点加入队列。
BFS循环：
每次从队列中取出一个顶点 u：
遍历 u 的所有邻接点 v：
如果：
dist[v] == -1
说明 v还没有被访问过。
那么：
dist[v] = dist[u] + 1
path[v] = u
然后：
v入队
最后通过 path[] 就可以把最短路径倒推出来。
🚗 三、Dijkstra：带权图最短路径的王者
如果图变成这样：
2
0 ─────→ 1
│ │
5│ │1
↓ ↓
2 ─────→ 3
2
这时候就不能简单用BFS了。
因为：
边有不同的权值，走一步不代表距离只增加1。
这时候就轮到：
⭐ Dijkstra算法
它解决的是：
一个源点 → 其他所有顶点的最短路径
也就是：
单源最短路径。
📝 Dijkstra最重要的三个数组
和你笔记里整理的一样，可以重点记：
dist[]
path[]
final[]
① dist[]
记录：
源点到每个顶点当前已知的最短距离
例如：
dist[3] = 7
表示目前知道：
源点 → 3 的最短距离是7。
② path[]
记录：
最短路径上，该顶点的前驱结点是谁
比如：
path[3] = 2
说明：
…… → 2 → 3
所以最后可以利用 path[] 把完整路径还原出来。
③ final[]
这个非常重要‼️
final[i] = true
表示：
顶点i的最短距离已经最终确定。
也就是说，后面不会再修改它。
🔥 Dijkstra到底在干什么？
其实就一句话：
每次从“还没确定最短路的顶点”中，挑一个 dist 最小的出来，把它确定下来，然后利用它去更新其他顶点。
这个过程叫：
「选最小 + 松弛」
Dijkstra步骤直接背👇
① 初始化
dist[i] = ∞
path[i] = -1
final[i] = false
源点：
dist[s] = 0
② 选择当前dist最小的顶点
从所有：
final[i] == false
的顶点中，
找到：
dist[i]
最小的那个。
记作：
u
然后：
final[u] = true
③ 用u更新其他顶点
遍历 u 的邻接点 v：
如果发现：
dist[u] + arc[u][v] < dist[v]
那么更新：
dist[v] = dist[u] + arc[u][v]
path[v] = u
这一步就是传说中的：
「松弛操作」
④ 重复
重复：
选最小 → 确定 → 松弛
直到所有顶点都确定。
通常重复 n-1次 就可以得到最终结果。
🌐 四、Floyd：直接把“所有点到所有点”一次性算出来
如果题目问：
求任意两个顶点之间的最短路径
这时候Dijkstra就不够方便了。
因为Dijkstra是：
一个源点 → 所有点
如果你要：
1 → 2
1 → 3
1 → 4
2 → 1
2 → 3
2 → 4
……
那就要对每个顶点都跑一次Dijkstra。
这时候可以直接使用：
⭐ Floyd算法
🧠 Floyd的核心思想
Floyd特别适合用一句话理解：
尝试让某个顶点k作为中间点，看经过k是不是比原来的路更短。
例如原来：
i ─────────→ j
10
如果发现：
i → k = 3
k → j = 4
那么：
i → k → j = 3 + 4 = 7
比原来的10更短。
于是更新：
dist[i][j] = 7
也就是：
dist[i][j]
=
min(dist[i][j],
dist[i][k] + dist[k][j])
🔥 这就是Floyd最核心的公式！
📌 Floyd为什么是三个for循环？
因为它要依次考虑：
k = 0,1,2,...,n-1
作为中间点。
核心代码逻辑就是：
for k
for i
for j
dist[i][j] =
min(dist[i][j],
dist[i][k] + dist[k][j])
所以时间复杂度：
⏱️ O(n³)
⚡ 五、三种算法到底怎么选？
这张表建议直接保存👇
| 题目条件 | 算法 |
| 无权图 + 一个源点 | BFS |
| 带权图 + 一个源点 | Dijkstra |
| 带权图 + 任意两点 | Floyd |
| 无权图 + 任意两点 | Floyd也可以 |
| 存在负权边 | ❌ 不能用Dijkstra |
🚨 六、408最容易掉进去的几个坑
❌ 坑1：最短路径都用Dijkstra
不是！
无权图优先想到BFS。
❌ 坑2：Dijkstra能处理负权边
不能。
Dijkstra的重要前提：
边权不能为负。
❌ 坑3：Floyd只能用于带权图
也不是。
无权图也可以使用，只需要把：
有边 → 1
无边 → ∞
即可。
❌ 坑4：BFS只能求遍历顺序
错！
BFS除了遍历，还可以解决：
无权图的单源最短路径问题。
🧩 七、最后给你一个“考场判断口诀”
看到最短路径题，先别急着写代码。
先问自己三个问题：
① 有没有权值？
没有权值 → BFS
② 有权值，但是问一个源点到其他所有点？
Dijkstra
③ 问任意两个顶点之间？
Floyd
直接记：
🟢 无权看BFS
🔵 带权看Dijkstra
🟣 全点看Floyd
📖 408最短路径，真正要掌握的其实就这几件事
BFS：
dist[]
path[]
队列
逐层扩展
Dijkstra：
dist[]
path[]
final[]
选最小
松弛
Floyd：
dist[][]
k作为中间点
min更新
三重循环
不要一上来就死背代码。
先把“这道题到底应该用谁”判断对，代码基本就已经成功一半了。 🚀
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